WXH-斐波那契數(shù)列

1、試驗一 斐波那契數(shù)列一、 實驗?zāi)康呐c要求1 認(rèn)識Fibonacci數(shù)列，體驗發(fā)現(xiàn)其通項公式的過程；2 了解matlab軟件中進行數(shù)據(jù)顯示與數(shù)據(jù)擬合的方式；3 掌握matlab軟件中plot, polyfit等函數(shù)的基本用法；4 提高對數(shù)據(jù)進行分析與處理的能力。二、 問題描述某人養(yǎng)了一對兔，一個月后生育了一對小兔。假設(shè)小兔一個月后就可以長大成熟，而每對成熟的兔每月都將生育一對小兔，且兔子不會死亡。問：一年后共有多少對兔子？三、 問題分析這個問題，最早由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著作珠算原理中提出。根據(jù)問題的假設(shè)，兔子的總數(shù)目是如下數(shù)列：1，1，2，3，5，8，1

2、3，21，34，55，89，144，233，問題的答案就是此數(shù)列的第12項，即一年后共有144對兔子。這個數(shù)列通常被稱為斐波那契(Fibonacci)數(shù)列，研究這個問題就是研究Fibonacci數(shù)列。把這個問題作更深入的研究，我們會問：第n個月后，總共有多少對兔子？即Fibonacci數(shù)列的第n項是多少？這就需要我們探素Fibonacci數(shù)列的通項公式。根據(jù)問題的描述，我們知道第n+2個月后兔子的對數(shù)，等于第n+1個月后兔子的對數(shù)（表示原來就有的老兔子對數(shù)），加上第n個月后兔子的對數(shù)（表示生育出來的新兔子對數(shù)）。這樣就得到關(guān)于Fibonacci數(shù)列的一個遞推公式：利用matlab軟件的數(shù)據(jù)可視

3、化功能將這些數(shù)據(jù)顯示成平面曲線的形式后，我們可以觀察到Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律；通過matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，我們可以大概知道Fibonacci數(shù)列的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合上面的遞推公式，就可以推導(dǎo)出來Fibonacci數(shù)列的通項公式。四、 背景知識介紹1 數(shù)據(jù)的可視化。將離散的數(shù)據(jù)：，看成平面坐標(biāo)系里的點：，利用matlab軟件的plot函數(shù)在平面坐標(biāo)系里劃出一個點列，就可以實現(xiàn)離散數(shù)據(jù)的可視化。plot函數(shù)的基本使用格式為：plot(y)，其中參數(shù)y表示豎坐標(biāo)，即需要顯示的數(shù)據(jù)。例1 y=1:20;y=y.3;plot(y)2 數(shù)據(jù)的擬合。數(shù)據(jù)擬合就是尋找一個目標(biāo)函數(shù)，作為被擬合數(shù)

4、據(jù)的近似函數(shù)關(guān)系。目標(biāo)函數(shù)的類型，可以是多項式、指數(shù)函數(shù)等。作數(shù)據(jù)擬合，首先需要估計目標(biāo)函數(shù)的類型，這一點可以通過數(shù)據(jù)可視化來觀察得到，而一階多項式是最常見的目標(biāo)函數(shù)，此時稱為線性回歸。確定擬合系數(shù)的原則是最小二乘法，即所有誤差的平方和取最小值。在matlab軟件中以多項式為目標(biāo)函數(shù)作數(shù)據(jù)擬合的函數(shù)是polyfit，它的基本使用格式為：polyfit (x,y,n)。其中(x,y)是被擬合的數(shù)據(jù)，即平面上的一個點列，而n是事先確定的多項式的階數(shù)。例2 x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4; polyfit (x,y,2)結(jié)果：3 數(shù)列的通項公式。尋

5、找一個整標(biāo)函數(shù)，使得它在n處的函數(shù)值，等于數(shù)列的第n項的值，這個函數(shù)就是數(shù)列的通項公式。4 黃金分割。把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比（如下圖）。其比值是一個無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分協(xié)調(diào)美觀，因此稱之為黃金分割。五、 實驗過程本試驗將Fibonacci數(shù)列的有限項，看成是待處理的數(shù)據(jù)。首先利用matlab軟件的可視化功能，將這些數(shù)據(jù)顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察其圖形類似什么曲線，結(jié)論是：指數(shù)函數(shù)的曲線。進一步，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的互逆關(guān)系，將原有數(shù)據(jù)取對數(shù)，再觀察其曲線形狀是否類似直線，以驗證原來的觀察是否正確

6、。通過觀察到的目標(biāo)函數(shù)，然后利用matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，得到Fibonacci數(shù)列通項公式的近似關(guān)系。最后，從近似關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出來Fibonacci數(shù)列的通項公式。1 觀察數(shù)據(jù)的大概函數(shù)關(guān)系。為了研究Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律，我們?nèi)〈藬?shù)列的前30項來觀察。利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能，將這些數(shù)據(jù)顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察其中蘊涵的函數(shù)關(guān)系。具體的實現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn；（2）顯示數(shù)組fn。具體的代碼如下：function plotfibo(n) %定義函數(shù)顯示Fibonacci數(shù)列前n項fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第

7、3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束plot(fn) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來這個函數(shù)的調(diào)用方式是：plotfibo(30)，顯示出來的圖像為圖1，經(jīng)觀察，覺得曲線的形狀象指數(shù)函數(shù)的曲線，其數(shù)據(jù)無限增大?？梢愿淖儏?shù)n的值，反復(fù)觀察。 圖1 n=30 圖2 n=50 圖3 n=500 圖4 n=10002 進一步驗證上一步得到的結(jié)論。經(jīng)過上一步的觀察，覺得這些數(shù)據(jù)應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)的形式。為了進一步驗證這個結(jié)論是否正確，可以利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的互逆關(guān)系。如果這些數(shù)據(jù)確實是指數(shù)函數(shù)的形式，則經(jīng)過取對數(shù)后應(yīng)該是一個線性關(guān)系

8、，即一階多項式，從圖形上看應(yīng)該象一條直線。因此，再利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能，將這些數(shù)據(jù)取對數(shù)后顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察它是否象一條直線。具體的實現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn；（2）數(shù)組fn取對數(shù)；（3）顯示數(shù)組fn。具體的代碼如下：function plotlnfibo(n) %顯示取對數(shù)后的前n項fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束fn=log(fn) %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)plot(fn) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來這個函數(shù)的調(diào)用方

9、式是：plotlnfibo(30)，顯示出來的圖像為圖5，經(jīng)觀察，覺得它確實象一條直線。可以改變參數(shù)n的值，反復(fù)觀察。 圖5 n=30 圖6 n=50 圖7 n=500 圖8 n=10003 獲得數(shù)據(jù)的近似關(guān)系式。經(jīng)過以上第一步的觀察，確定Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，第二步驗證了第一步得到的結(jié)論，因此我們認(rèn)為Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)關(guān)系就是指數(shù)函數(shù)，取對數(shù)后就是線性函數(shù)，即一階多項式。利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，通過取對數(shù)后的數(shù)據(jù)，用一階多項式擬合出它的函數(shù)關(guān)系式，可以得到Fibonacci數(shù)列通項公式的一個近似表達式。具體的實現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn；（2）

10、數(shù)組fn取對數(shù)；（3）用一階多項式擬合數(shù)組fn。具體的代碼如下：function fitlnfibo(n) %根據(jù)取對數(shù)后的數(shù)據(jù)，擬合出線性表達式fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束xn=1:n; %定義橫坐標(biāo)fn=log(fn) %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)polyfit(xn,fn,1) %擬合裝有數(shù)列前n項的數(shù)組這個函數(shù)的調(diào)用方式是：fitlnfibo(30)，運行后返回結(jié)果是：0.4799， -0.7768。這兩個數(shù)據(jù)就是一階多項式的系數(shù)，即：為了提高

11、精度，可以加大n的值。取n1000時得到：從上面的表達式，可以得到數(shù)列通項公式的近似：4 觀察擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的吻合程度。經(jīng)過第三步的擬合，得到了Fibonacci數(shù)列近似的通項公式，為了觀察其吻合程度，我們將Fibonacci數(shù)列的擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的圖形顯示出來，進行對比觀察。具體的實現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn1,fn2；（2）顯示數(shù)組fn1,fn2。具體的代碼如下：function plotfibo2(n) %顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項fn1=; %裝擬合數(shù)據(jù)的數(shù)組for i=1:n %fn1的第1項到第n項 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %將第i項添加到數(shù)組fn

12、1中end fn2=1,1; %裝原始數(shù)據(jù)的數(shù)組，前兩項放到數(shù)組fn2中for i=3:n %fn2的第3項到第n項 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*') %顯示, fn1蘭線，fn2紅星這個函數(shù)的調(diào)用方式是：fitlnfibo2(20)，顯示出來的圖像為圖9，或fitlnfibo2(50)，顯示出來的圖像為圖10。 圖9 n=20 圖10 n=505 推導(dǎo)Fibonacci數(shù)列的通項公式(1)。通過以上的觀察和分析，我們知道Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)大概是指數(shù)函數(shù)的

13、關(guān)系。因此，我們猜測它的通項公式具有形式：。將這個表達式代入遞推公式中，得到：。經(jīng)過簡化得到：這是一個一元二次的代數(shù)方程，其兩個根形式如下：考慮到Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)無限增大，我們?nèi)?，于是得到通項公式如下：上面的公式對嗎？我們可以來驗證。取n=1和n=2代入上面的公式中計算，顯然得不到，因此它不是Fibonacci數(shù)列的通項公式。但這個公式并非一無是處，我們可以來考慮這個公式與Fibonacci數(shù)列到底相差多少。因此，我們引入以下一個數(shù)列：可以驗證，這個新的數(shù)列也滿足同樣的遞推公式：，因此我們猜測它同樣是指數(shù)函數(shù)的形式，可以假設(shè)其表達式為：，代入遞推公式后，同樣可以得到：。這里的r顯然

14、不同于上面的r，故這個r取值為：，從而得到：。故有：由條件確定其中的常數(shù)，得到：可以證明，它確實就是Fibonacci數(shù)列的通項公式。這個公式是法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)(Binet)在1843年發(fā)現(xiàn)的，稱為比內(nèi)公式。6 推導(dǎo)Fibonacci數(shù)列的通項公式(2)。Fibonacci數(shù)列具有如下遞推關(guān)系：這個等式實際上是一個二階常系數(shù)線性齊次差分方程，可以仿照二階常系數(shù)線性齊次微分方程來求解。首先由遞推等式得到如下特征方程：這是一個一元二次的代數(shù)方程，其兩個根形式如下：因此，我們得到差分方程的通解如下：取n=1和n=2代入上面的公式中，解得：從而得到：可以證明，它確實就是Fibonacci數(shù)列的通項公式。

15、六、 結(jié)論與應(yīng)用1 Fibonacci數(shù)列的階。通過以上試驗過程，我們得到了Fibonacci數(shù)列的通項公式，它類似一個指數(shù)函數(shù)，當(dāng)n無限增大時，其數(shù)據(jù)也無限增大，變化的階是：在Fibonacci數(shù)列的通項公式中，出現(xiàn)了和等無理數(shù)，而它們運算以后的結(jié)果確是正整數(shù)，多么奇妙啊。2 Fibonacci數(shù)列與黃金分割數(shù)的關(guān)系。上面的兩個無理數(shù)之間，存在著這樣的關(guān)系：而就是著名的黃金分割數(shù)。因此，F(xiàn)ibonacci數(shù)列的通項公式又可以寫成如下形式：可以驗證，F(xiàn)ibonacci數(shù)列與黃金分割數(shù)之間還有如下的關(guān)系：3 Fibonacci數(shù)列通項公式的其它形式。Fibonacci數(shù)列的通項公式還有其它形式，

16、比如：4 自然界中的Fibonacci數(shù)列。Fibonacci數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象有著緊密的聯(lián)系，比如：植物的分枝生長、向日葵種子的排列、花瓣的數(shù)量、晶體的結(jié)構(gòu)等?；ò甑臄?shù)量，一般都是Fibonacci數(shù)以斐波那契螺旋方式的排列如果順時針與逆時針螺旋的數(shù)目，是斐波那契數(shù)列中相鄰的2項，可稱其為斐波那契螺旋，也被稱作黃金螺旋。這樣的布局能使植物的生長疏密得當(dāng)、最充分地利用陽光和空氣。5 應(yīng)用。Fibonacci數(shù)列在純粹數(shù)學(xué)、運籌優(yōu)化、計算機科學(xué)等領(lǐng)域具有重大的應(yīng)用價值。本試驗研究的是Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律，而數(shù)列本質(zhì)上就是一些數(shù)據(jù)。因此，對于一般的數(shù)據(jù)（比如：從調(diào)查中獲得的數(shù)據(jù)、從試驗中獲得的數(shù)據(jù)）,我們也可以參照這樣的方式