解題基本技巧之因式分解

1、解題基本技巧之因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學習了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)運用這

2、兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1) (2) 說明：(1) 在運用立方和(差)公式分解因式時，經(jīng)常要逆用冪的運算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運用立方和(差)公式分解因式時，一定要看準因式中各項的符號【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1) (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公

3、因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時另一個因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式解：說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試【例4】把分解因式分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結(jié)合律，而為了合理分組

4、，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用2分組后能直接運用公式【例5】把分解因式分析：把第一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運用平方差公式分解因式，其中一個因式是；把第三、四項作為另一組，在提出公因式后，另一個因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：說明：從例5、例6可以看出：如果一個多項式的項分組后，各組都能直接運用公式或提取公因式進行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有公因式，那么這個多項式就可以分組分解法

5、來分解因式三、十字相乘法1型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：(1) 二次項系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和因此，運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式【例7】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同【例8】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項為負數(shù)時，應分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同【例9】把下列各式因式分解：(1) (2) 分

6、析：(1) 把看成的二次三項式，這時常數(shù)項是，一次項系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數(shù) (2) 由換元思想，只要把整體看作一個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式解：(1) (2) 2一般二次三項式型的因式分解大家知道，反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解【例1

7、0】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要當二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負號四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解當然，本題還有其它方法，請大家試驗2拆、添項法【例12】分解因式分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行細查式中無一次項，如果它能分解

8、成幾個因式的積，那么進行乘法運算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4) 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止因式分解的十二種方法 : 把一個多項式化成幾個整式的積的形

9、式；這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣；現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式；那么就可以把這個公因式提出來；從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系；如果把乘法公式反過來；那么就可以用來把某些多項式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分組分解法 要把多項式am+an+bm+bn分解因式；可以先把它前兩項分成一組；并提出

10、公因式a；把它后兩項分成一組；并提出公因式b；從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n；從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對于mx +px+q形式的多項式；如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p；則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）

11、(x-3)5、配方法 對于那些不能利用公式法的多項式；有的可以利用將其配成一個完全平方式；然后再利用平方差公式；就能將其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添項法 可以把多項式拆成若干部分；再用進行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

12、=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時在分解因式時；可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)；然后進行因式分解；最后再轉(zhuǎn)換回來。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x

13、-1)(x-2) 8、 求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通過綜合除法可知；f(x)=0根為 ；-3；-2；1 則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖象法 令y=f(x)；做出函數(shù)y=f(x)的圖象；找到函數(shù)圖象與X軸的交點x ,x ,x ,x ；則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-

14、x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其圖象；見右圖；與x軸交點為-3；-1；2 則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個字母為主元；然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列；再進行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此題可選定a為主元；將其按次數(shù)從高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 將

15、2或10代入x；求出數(shù)P；將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)；將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合；并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式；將2或10還原成x；即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2；則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積；即105=3×5×7 注意到多項式中最高項的系數(shù)為1；而3、5、7分別為x+1；x+3；x+5；在x=2時的值 則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式；然后設(shè)出相應整式的字母系數(shù)；求出字母系數(shù)；從而把多項式因式分解

16、。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知這個多項式?jīng)]有一次因式；因而只能分解為兩個二次因式。 解：設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)13.、雙十字相乘法 雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù) 用一道例題來說明如何使用。 例：分解因式：x2+5xy+6y2+8

17、x+18y+12 分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可 x 2y 2 x 3y 6 原式=(x+2y+2)(x+3y+6) 雙十字相乘法其步驟為： 先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 先依一個字母（如y）的一次系數(shù)分數(shù)常數(shù)項。如十字相乘圖中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； 再按另一個字母（如x）的一次系數(shù)進行檢驗，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出錯。編輯本段多項式因式分解的一般步驟： 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； 如果各項沒有公因式

18、，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適?！?幾道例題 1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補項） =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方） =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y

19、)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2求證：對于任何實數(shù)x,y，下式的值都不會為33： x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =

20、(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) （分解因式的過程也可以參看右圖。） 當y=0時，原式=x5不等于33；當y不等于0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。 3.ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、b、c是ABC的三條邊， a2bc0 ac0， 即ac，ABC為等腰三角形。 4把-12x2n×yn+18x(n+2)y(n+1)-6xn×y(n-1)分解因式。 解：-12x2n×yn+18x(n+2)y(n+1)-6xn×y(n-1) =-6xn×y(