第十二章排隊(duì)論

1、第十二章第十二章 排隊(duì)論排隊(duì)論(Queueing Theory)1 基本概念2 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布3 單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析4 多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)地分析5 一般服務(wù)時(shí)間M/G/1模型6 經(jīng)濟(jì)分析排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化重點(diǎn)和難點(diǎn)一、重點(diǎn)1、排隊(duì)論(系統(tǒng))的基本問題 排隊(duì)系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)問題 排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題 排隊(duì)系統(tǒng)的識(shí)別(辨識(shí)或推斷)問題2、排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成(1)輸入過程 顧客的總體(個(gè)數(shù)) 顧客到達(dá)的方式(單個(gè)或成批) 顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間(確定型或隨機(jī)型) 顧客到達(dá)時(shí)獨(dú)立的或關(guān)聯(lián)的 輸入過程是平穩(wěn)的或非平穩(wěn)的(2)排隊(duì)規(guī)則 即時(shí)制或等待制 等待制的服務(wù)次序

2、先到先服務(wù) 后到先服務(wù) 隨機(jī)服務(wù) 有優(yōu)先權(quán)的服務(wù) 排隊(duì)的隊(duì)列有形的或無形的 排隊(duì)的容量是有限的還是無限的 隊(duì)列的數(shù)目是單列還是隊(duì)列(3)服務(wù)機(jī)構(gòu) 有形的服務(wù)員或無形的服務(wù)員 一個(gè)服務(wù)員(服務(wù)臺(tái))或多個(gè)服務(wù)員 多個(gè)服務(wù)臺(tái)并列或串列 服務(wù)方式是單個(gè)服務(wù)或是成批服務(wù) 服務(wù)時(shí)間是確定型或隨機(jī)型 服務(wù)時(shí)間的分布式平穩(wěn)的或非平穩(wěn)的3、排隊(duì)系統(tǒng)的分類與表示：X/Y/Z/A/B/C4、排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo)：對(duì)長(zhǎng)Ls,排隊(duì)長(zhǎng)Lq,逗留時(shí)間Ws,等待時(shí)間Wq,忙期，服務(wù)強(qiáng)度5、平均到達(dá)率，平均服務(wù)率，平均間隔時(shí)間、平均服務(wù)時(shí)間6、普阿松流的性質(zhì)7、普阿松分布的概率分布和數(shù)字特征8、負(fù)指數(shù)分布的分布和密度函數(shù)與數(shù)字特征9

3、、k階愛爾朗分布的性質(zhì)與特征 單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析 M/M/1 M/M/1/N/ M/M/1/m Lingo 8.0 sn:etza-8AMg-3bHp-?f7v-?%Q4-4gAt-Xkyj-Y#5D-Zk43-aGe#-D?z211 排隊(duì)過程的一般表示 圖12-1 就是排隊(duì)過程的一般模型 。各個(gè)顧客由顧客源（總體）出發(fā)，到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)臺(tái)、服務(wù)員）前排隊(duì)等侯接受服務(wù)，服務(wù)完了后就離開。排隊(duì)結(jié)構(gòu)指隊(duì)列的數(shù)目和排列方式，排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)規(guī)則是說明顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則、次序接受服務(wù)的。我們所說的排隊(duì)系統(tǒng)就指圖中虛線所包括的部分。 顧客源顧客到達(dá)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)

4、顧客離去在現(xiàn)實(shí)中的排隊(duì)現(xiàn)象是多種多樣的 在現(xiàn)實(shí)中的排隊(duì)現(xiàn)象是多種多樣的，對(duì)上面所說的“顧客”和“服務(wù)員”，要作廣泛地理解，它現(xiàn)可以是人，也可以是非生物； 隊(duì)列可以是具體地排列，也可以是無形的（例如向電話交換臺(tái)要求通話的呼喚）； 顧客可以走向服務(wù)機(jī)構(gòu)，也可以相反（如送貨上門）。 下面舉一些例子說明實(shí)現(xiàn)中形形色色的排隊(duì)系統(tǒng)（見表12-1）表12-1 到達(dá)的顧客要求服務(wù)內(nèi)容服務(wù)機(jī)構(gòu)1不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器2修理技工3病人4電話呼喚5文件稿6提貨單7到達(dá)機(jī)場(chǎng)上空的飛機(jī)8駛?cè)敫劭诘呢洿?上游河水進(jìn)入水庫(kù)10進(jìn)入我方陣地的敵機(jī)修理領(lǐng)取修配零件診斷或動(dòng)手術(shù)通話打字提取存貨降落裝（卸）貨放水，調(diào)整水位我方高射炮進(jìn)行射

5、擊修理技工發(fā)放修配零件的管理員醫(yī)生（或包括手術(shù)臺(tái)）交換臺(tái)打字員倉(cāng)為管理員跑道裝（卸）貨碼頭(泊位)水閘管理員我方高射炮12 排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征 一般的排隊(duì)系統(tǒng)都有三個(gè)基本組成部分 1.輸入過程； 2.排隊(duì)規(guī)則； 3.服務(wù)機(jī)構(gòu)。輸入過程 現(xiàn)在分別說明各部分的特征： （1）輸入過程：輸入即指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)?？赡苡邢铝懈鞣N不同情況，當(dāng)然這些情況并不是彼此排斥的。 （a）顧客的總體（稱為顧客源）的組成可能是有限的，也可能是無限的。工廠內(nèi)停機(jī)待修的機(jī)器顯然是有限的總體。 （b）顧客到來的方式可能是一個(gè)一個(gè)的，也可能是成批的。例如到餐廳就餐就有單個(gè)到來的顧客和受邀請(qǐng)來參加宴會(huì)的成批

6、顧客，我們將只研究單個(gè)至來的情形。 輸入過程 （c）顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間可以是確定型的，也可以是隨機(jī)型的。 如在自動(dòng)裝配線上裝配的各部件就必須按確定的時(shí)間間隔到達(dá)裝配點(diǎn)，定期運(yùn)行的班車、班輪、班機(jī)的到達(dá)也都是確定型的。 但一般到商店購(gòu)物的顧客、到醫(yī)院診病的病人、通過路口的車輛等，它們的到達(dá)都是隨機(jī)型的。 對(duì)于隨機(jī)型的情形，要知道單位時(shí)間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)或相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的概率分布（圖12-2）顧客到達(dá)時(shí)間ti-1titi+1輸入過程 (d)顧客的到達(dá)可以是相互獨(dú)立的。 就是說，以前的到達(dá)情況對(duì)以后顧客的到來沒有影響，否則不是有關(guān)聯(lián)的。 例如，工廠內(nèi)的機(jī)器在一個(gè)短的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)停機(jī)（顧客到達(dá)）的

7、概率就受已經(jīng)待修或被修理的機(jī)器數(shù)目的影響。 我們主要討論的是相互獨(dú)立的情形。輸入過程 （e）輸入過程可以是平衡的，或稱對(duì)時(shí)間是齊次的，是指描述相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時(shí)間無關(guān)的，否則稱為非平衡的，非平穩(wěn)情形的數(shù)學(xué)處理是很困難的。（2）排隊(duì)規(guī)則 （a）顧客到達(dá)時(shí)，如所有服務(wù)臺(tái)都正被占用，在這種情形下顧客可以隨即離去，也可以排隊(duì)等侯。 隨即離去的稱為即時(shí)制或稱損失制，因?yàn)檫@將失掉許多顧客； 排隊(duì)等侯的稱為等待制。 普通市內(nèi)電話的呼喚屬于前者，而登記市外長(zhǎng)途電話的呼喚屬于后者。 排隊(duì)規(guī)則 對(duì)于等待制，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以采用下列各種規(guī)則： 先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，

8、隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)等。 先到先服務(wù)(FCFS)，即按到達(dá)次序接受服務(wù)，這是通常的情形。 后到先服務(wù)(LCFS)，如乘用電梯的顧客常是后人先出的。倉(cāng)庫(kù)中存放的厚鋼板也是如此。在情報(bào)系統(tǒng)中，最后到達(dá)的信息往往是最有價(jià)值的，因而常采用后到先服務(wù)（指被采用）的規(guī)則。排隊(duì)規(guī)則 隨機(jī)服務(wù)，指服務(wù)員從等待的顧客中隨機(jī)地選取其一進(jìn)行服務(wù)，而不管到達(dá)的先后，如電話交換臺(tái)接通呼喚的電話就是如此。 有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)，如醫(yī)院對(duì)于病情嚴(yán)重的患者將給予優(yōu)先治療。 （b）從占有的空間來看，隊(duì)列可以排在具體的處所（如售票處、候診室等），也可以是抽象的（如向電話交換臺(tái)要求通話的呼喚）。 由于空間的限制或其它原因，有的系統(tǒng)要

9、規(guī)定容量（即允許進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)的顧客數(shù)）的最大限；有的沒有這種限制（即認(rèn)為容量可以是無限的）。排隊(duì)規(guī)則 （c）從隊(duì)列的數(shù)目看，可以是單列，也可以是多列。 在多列的情形，各列間的顧客有的可以互相轉(zhuǎn)移，有的不能（如用繩子或欄桿隔開）。 有的排隊(duì)顧客因等候時(shí)間過長(zhǎng)而中途退出，有的不能退出（如高速公路上的汽車流），必須堅(jiān)持到被服務(wù)為止。 我們將只討論各列間不能互相轉(zhuǎn)移、也不能中途退出的情形。3）服務(wù)機(jī)構(gòu) 從服務(wù)機(jī)構(gòu)的形式和工作情況來看有以下幾種情況。 （a）服務(wù)機(jī)構(gòu)可以沒有服務(wù)員，也可以有一個(gè)或多個(gè)服務(wù)員（服務(wù)臺(tái)、通道、窗口等）. 例如，在敞架售書的書店，顧客選書時(shí)就沒有服務(wù)員，但交款時(shí)可能有多個(gè)服務(wù)員

10、。服務(wù)機(jī)構(gòu) （b）在有多個(gè)服務(wù)臺(tái)的情形中，它們可以是平行排列（并列）的，可以是前后排列（串列）的，也可以是混合的。圖12-3說明這些情形。 圖a是單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)，圖b是多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)，圖c是單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)（并列）的情形，圖d是多服務(wù)臺(tái)（串列）的情形，圖e是多服務(wù)臺(tái)（混合）的情形。112cc1212cabcd111e服務(wù)機(jī)構(gòu) (d) 服務(wù)方式可以對(duì)單個(gè)顧客進(jìn)行，也可以對(duì)成批顧客進(jìn)行，公共汽車對(duì)站臺(tái)等候的顧客就成批進(jìn)行服務(wù)，我們將只研究單個(gè)單個(gè)地服務(wù)方式。 （e）和輸入過程一樣，服務(wù)時(shí)間也分確定型的和隨機(jī)型的。自動(dòng)沖洗（服務(wù)）的時(shí)間就是確定 ，但大多數(shù)情形的服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)型的。對(duì)于隨機(jī)型的服務(wù)時(shí)間，需要

11、知道它的概率分布。 （f）和輸入過程一樣，服務(wù)時(shí)間的分布我們總假定是平穩(wěn)的，即分布的期望值、方差等參數(shù)都不受時(shí)間的影響。1.3 排隊(duì)模型的分類 D.G.Kendall在1953年提出一個(gè)分類方法，按照上述各部分的特征中最主要的、影響最大的三個(gè)，即 1相繼顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布； 2服務(wù)時(shí)間的分布； 3服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)。排隊(duì)模型的分類 按照這三個(gè)特征分類，并用一定符號(hào)表示，稱為Kendall記號(hào)。這只對(duì)并列的服務(wù)臺(tái)（如果服務(wù)臺(tái)是多于一個(gè)的話）的情形，他用的符號(hào)形式是： X/Y/Z 其中X處填寫表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間的分布， Y處填寫表示服務(wù)時(shí)間的分布， Z處填寫并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)目。排隊(duì)模型的分類 表示相繼

12、到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的各種分布的符號(hào)是： M負(fù)指數(shù)分布（M是Markov的字頭，因?yàn)樨?fù)指數(shù)分布具有無記憶性，即Markov性） D確定定型（Deterministic） Ekk階受爾朗(Frlang)分布 GI般相互獨(dú)立（General Independent）的時(shí)間間隔的分布 G一般（General）服務(wù)時(shí)間的分布排隊(duì)模型的分類 例如： MMl表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間負(fù)指數(shù)分布、單服務(wù)臺(tái)的模型； DMc表示確定的到達(dá)間隔、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、c個(gè)平行服務(wù)臺(tái)（但顧客是一隊(duì)）的模型。 排隊(duì)模型的分類 以后，在1971年一次關(guān)于排隊(duì)論符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)議上決定，將Kendall符號(hào)

13、擴(kuò)充成為： XYZABC 形式，其中前三項(xiàng)意義不變， A處填寫系統(tǒng)容量限制N， B處填寫顧客源數(shù)目m， C處填寫服務(wù)規(guī)則，如先到服務(wù)FCFS，后到先服務(wù)LCFS 等。 并約定，如略去后三項(xiàng)，即指XYZFCFS的情形。在本書中，因只討論先到先服務(wù)FCFS的情形，所以略去第六項(xiàng)。 14 排隊(duì)問題的求解 一個(gè)實(shí)際問題作為排隊(duì)問題求解時(shí)，首先要研究它屬于哪個(gè)模型，其中只有顧客到達(dá)的間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布需要實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)來確定，其它因素都是在問題提出時(shí)給定的。解排隊(duì)問題的目的 解排隊(duì)問題的目的，是研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理、研究設(shè)計(jì)改進(jìn)措施等。

14、 所以必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，解排隊(duì)問題就是首先求出這些數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征數(shù)。 排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo) 這些指標(biāo)通常是： （1）隊(duì)長(zhǎng)，指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記作Ls； 排隊(duì)長(zhǎng)（隊(duì)列長(zhǎng)，指在系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，它的期望值記作Lq; 一般情形，Ls（或Lq）越大，說明服務(wù)率越低，排隊(duì)成龍，是顧客最厭煩的。的顧客數(shù)正被服務(wù)服務(wù)的顧客數(shù)在隊(duì)列中等待顧客數(shù)系統(tǒng)中排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo) （2）逗留時(shí)間，指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，它的期望值記作Ws； （3）等待時(shí)間，指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，它的期望值記作Wq， 服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間逗留時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo) 在機(jī)器故障問題中

15、，無論是等待修理或正在修理都使工廠受到停工的損失，所以逗留時(shí)間（停工時(shí)間）是主要的；但一般購(gòu)物、診病等問題中僅僅等待時(shí)間常是顧客們所關(guān)心的。 排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo) 此外，還有忙期(Busy Period)指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑止這段時(shí)間長(zhǎng)度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間長(zhǎng)度，它關(guān)系到服務(wù)員的工作強(qiáng)度，忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)。排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo) 在即時(shí)制或排隊(duì)有限缺點(diǎn)情形，還有由于顧客被拒絕而使企業(yè)受到損失的損失率以及以后經(jīng)常遇到的服務(wù)強(qiáng)度等，這些都是很重要的指標(biāo)。排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài) 計(jì)算這些指標(biāo)的基礎(chǔ)是表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的概率，所謂系統(tǒng)的狀態(tài)即指系統(tǒng)中顧客數(shù)

16、，如系統(tǒng)中有n個(gè)顧客就說系統(tǒng)的狀態(tài)是n，它的可能值是 （1）隊(duì)長(zhǎng)沒有限制時(shí)，n0，1，2 （2）隊(duì)長(zhǎng)有限制，最大數(shù)為N時(shí)，n0，1，2，N, （3）即時(shí)制，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)是c時(shí)，n=0，1，2，c。 后者，狀態(tài)n又表示正在工作（繁忙）的服務(wù)臺(tái)數(shù)。 排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài) 這些狀態(tài)的概率一般是隨時(shí)刻t 而變化，所以在時(shí)刻t、系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率用Pn（t）表示。 求狀態(tài)概率Pn(t)的方法，首先要建立含Pn（t）的關(guān)系式見圖12-4,因t為是連續(xù)變量，而n只取非負(fù)整數(shù)，所以建立的Pn（t）的關(guān)系式一般是微分差分方程（關(guān)于t微分瞬態(tài)解是不容易的，一般地，即使求出也很難利用，因此我們常用它的極限（如果存在的話）

17、稱為穩(wěn)態(tài)（Steady state），或稱統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)(Statistical Equilibrium State)的解。nntPtP)(lim排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài) 穩(wěn)態(tài)的物理含義是，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行了無限長(zhǎng)的時(shí)間之后，初始(t=0)出發(fā)狀態(tài)的概率分布（Pn(0)，n0）的影響將消失，而且系統(tǒng)的狀態(tài)概率分布不再隨時(shí)間變化。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)問題，系統(tǒng)會(huì)很快趨于穩(wěn)態(tài)，而無需等到t以后。但永遠(yuǎn)達(dá)不到穩(wěn)態(tài)的情形也確實(shí)是存在的。 求穩(wěn)態(tài)概率Pn時(shí)，并不一定求t時(shí)Pn（t）的極限，而只需令導(dǎo)數(shù)Pn=0即可，我們以下著重研究穩(wěn)態(tài)的情形。2 到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布 解決排隊(duì)問題首先要根據(jù)原始資料做出顧客到

18、達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布，然后按照統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法（例如x2檢驗(yàn)法）以確定合于那種理論分布，并估計(jì)它的參數(shù)值。本節(jié)先舉例說明經(jīng)驗(yàn)分布，然后介紹常無的理論分布普阿松分布、負(fù)指數(shù)分布和愛爾朗（Erlang）分布。 21 經(jīng)驗(yàn)分布 現(xiàn)在舉例說明原始資源的整理。 例1 大連港大港區(qū)1979年載貨500噸以上船舶到達(dá)（不包括定期到達(dá)的船舶）逐日記錄見表12-2。 將表12-2整理成船舶到達(dá)數(shù)的分布表（表12-3）表12-3 船舶到達(dá)數(shù)分布表（大連港大港區(qū)1979）船舶到達(dá)數(shù)n頻數(shù)（天）頻率l012345678910以上12436474714926194210.0330.1180.1750.2030.195

19、0.1340.0710.0520.0110.0050.003合計(jì)3651.000 更原始的資料是記錄各顧客到達(dá)的時(shí)刻和對(duì)各顧客的服務(wù)時(shí)間，以i表示第i號(hào)顧客到達(dá)的時(shí)刻，以si表示對(duì)它的服務(wù)時(shí)間，這樣可算出相繼到達(dá)的間隔時(shí)間ti(ti=i+1 -i)和排隊(duì)等待時(shí)間wi，它們的關(guān)系見圖12-5。（艘天）總天數(shù)到達(dá)總數(shù)平均到達(dá)率48. 33651271 從圖12-5中看出 間隔 ti=i+1 -i 等待時(shí)間 (12.1) 0, 00,1iiiiiiiiiitswtswtsww當(dāng)當(dāng) 例2 某服務(wù)機(jī)構(gòu)是單服務(wù)臺(tái)，先到先服務(wù)，對(duì)41個(gè)顧客記錄到達(dá)時(shí)刻r和服務(wù)時(shí)間s（單位：分鐘）如表12-4，在表中以第1號(hào)

20、顧客到達(dá)時(shí)刻為0。全部服務(wù)時(shí)間為127（分鐘）。表125 到達(dá)間隔分布表 到達(dá)間隔(分鐘)次數(shù)12345678910以上61086322111合計(jì)40表12-6 服務(wù)時(shí)間分布表到達(dá)間隔(分鐘)次數(shù)123456789以上 10107542111合計(jì)41 現(xiàn)將上面的原始記錄整理成表12-5和表12-6。 平均間隔時(shí)間142403.55（分鐘人） 平均到達(dá)率411420.28（人分鐘） 平均服務(wù)時(shí)間1274131.2（分鐘人） 平均服務(wù)率411270.32（人分鐘） 22 普阿松流普阿松流 設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間0,t內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)（t0）， 令Pn（t1,t2）表示在時(shí)間區(qū)間t1,t2(t2t1

21、)內(nèi)有n(0)個(gè)顧客到達(dá)（這當(dāng)然是隨機(jī)事件）的概率，即 0,()()(),(121221nttntNtNPttPn 當(dāng)Pn(t1,t2)合于下列三個(gè)條件時(shí)，我們說顧客的到達(dá)形成普阿松流，這三個(gè)條件是： （1）在不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到和是相互獨(dú)立的，我們稱這性質(zhì)為無后效性； （2）對(duì)充分小的t，在時(shí)間區(qū)間t，tt）內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無關(guān)，而約與區(qū)間長(zhǎng)t成正比，即 (12.2) 其中o(t)，當(dāng)t0,旱關(guān)于t的高階無窮小，0是常數(shù)，它表示單位時(shí)間有一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱為概率強(qiáng)度。 )(),(1tottttP （3）對(duì)于充分小的t，在時(shí)間區(qū)間t,t+t)內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率

22、極小，以致可以忽略，即 (12.3) 在上述條件下，我們研究顧客到達(dá)數(shù)n的概率分布。)(),(2totttPnn 在上述條件下，我們研究顧客到達(dá)數(shù)n的概率分布。 由條件20，我們總可以取時(shí)間0算起，并簡(jiǎn)記pn（0,t）Pn(t)。 由條件20，30，容易推得在t,t+t)區(qū)間內(nèi)沒有顧客到達(dá)的概率 (12.4) )(1),(0tottttp 在求Pn(t)時(shí)，用通常建立未知函數(shù)的微分方程的方法，先求未知函數(shù)Pn(t)由時(shí)刻t到t+t的改變量，從而建立t時(shí)刻的概率分布與t+t時(shí)刻概率分布的關(guān)系方程。 對(duì)于區(qū)間0,t+t)，可分成兩個(gè)互不重迭的區(qū)間0,t)和t,t+t)?，F(xiàn)在到達(dá)總數(shù)是n分別出現(xiàn)在這

23、兩區(qū)間上，不外下列三種情況，各種情況出現(xiàn)個(gè)數(shù)和概率見表12-7。 在o,t+t)內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客應(yīng)是表中三個(gè)互不相容的情況之一，所以概率Pn(t+t)應(yīng)是表中三個(gè)概率之和(和o(t)合為一項(xiàng))， )()()1)()(1tottPttPttPnnnttotPtPttpttPnnnn)()()()()(1表 12-7 區(qū)間 情況o,t)t,t+t)o,t+xt)個(gè)數(shù)概率個(gè)數(shù)概率個(gè)數(shù)概率（A）（B） （C） nn-1n-2n-30Pn(t)pn-1(t)Pn-2(t)Pn-3(t)Po(t)0123n 1- t+o(t) t 0(t)nnnnnPn(t)(1-t)P-n-1(t)t 0(t) 令t0，

24、得下列方程，并注意到初始條件，則有 n1 （12.5） 解(12.5)和(12.6)就得 t0 (12.7):0)(),()()(1oPtPtPdttdpnnnb, 2 , 1 , 0,!)()(nenttptnn Pn(t)表示為t的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率，由(12.7)式，象在概率論中所學(xué)過的，我們說隨機(jī)變量服從普松頒上。它的數(shù)期望和方差分別是 EN(t)=t; VarN(t)=t （12.8）期望值和方差相等，是普阿松分布的一個(gè)重要特征，我們可以利用它對(duì)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)布是否合于普阿松進(jìn)行初步的識(shí)別。 23 負(fù)指數(shù)分布 隨機(jī)變量T的概率密度若是 (12.9) 則稱T服從負(fù)指數(shù)分布，它的分布

25、函數(shù)是 （12.10） 數(shù)學(xué)期望ET= ,方差VarT= ， 標(biāo)準(zhǔn)差T= 。 0, 00,)(tttfteT0, 00,1)(ttetFtT1121 負(fù)指數(shù)分布有下列性質(zhì)： （1）由條件概率公式容易證明 (12.11) 這性質(zhì)稱為無記憶性或馬爾柯夫性，若T表示排隊(duì)系統(tǒng)中顧客到達(dá)的間隔時(shí)間，那么這個(gè)性質(zhì)說明一個(gè)顧客到來所需的時(shí)間與過去一個(gè)顧客到來所需時(shí)間s無關(guān)，所以說這情形下的顧客到達(dá)是純隨機(jī)的。 tTPsTstTP| （2）當(dāng)輸入過程是普阿松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T必服從負(fù)指數(shù)分布。這時(shí)因?yàn)閷?duì)于普阿松流，在0,t)區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率是： 而這概率又可表示為 結(jié)合(12.1

26、0)，這性質(zhì)得到證明。0,1)(10tetPt)(tFtTPt 因此，相繼到達(dá)的間隔時(shí)間是獨(dú)立且為同負(fù)指數(shù)分布（密度函數(shù), ,t0），與輸入過程為普阿松流（參數(shù)為）是等價(jià)的。所以在Kendall記號(hào)中就都用M表示。 te 對(duì)于普阿松流，表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，所以1就表示相繼顧客到達(dá)平均間隔時(shí)間，而這正和ET的意義相符。服務(wù)時(shí)間v的分布，對(duì)一顧客的服務(wù)時(shí)間也就在忙期相繼離開系統(tǒng)的兩顧客的間隔時(shí)間，有時(shí)也服從負(fù)指數(shù)分布。這時(shí)設(shè)它的分布函數(shù)和密度分別是 （12.12）其中u表示單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，稱為平均服務(wù)數(shù)，而表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間，這里平均就是期望值。 tvtvuetfe

27、tF)(,1)()(1vE 24 愛爾朗（Erlang）分布 設(shè)v1,v2,vk是k個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù) 的負(fù)指數(shù)分布，那么： Tv1+v2+vk 的概率密度是 （12.13） （證明略）我們說了T服從k階愛爾朗分布。0,)!1()()(1tekkktbktktkk (12.14) 這是因?yàn)?21;1kTVarTEkikvEi，2 , 1,1ktivETE11)( 例如串列的k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)ku），那么一顧客走完k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間就服從上述的k階愛朗分布。 注意：愛爾朗分布族提供更為廣泛的模型類。比指數(shù)分布有更大的適應(yīng)性。事實(shí)

28、上，當(dāng)k=1時(shí)，愛爾朗分布化為負(fù)指數(shù)分布，這可看成是完全隨機(jī)時(shí)；當(dāng)k增大時(shí)，愛爾朗分布的圖形逐漸變?yōu)閷?duì)稱為；當(dāng)k30時(shí)愛爾朗分布近似于正態(tài)分布；k時(shí)；由（12.14）看出VarT0，因此這時(shí)愛爾朗分布化為確定型分布（參看圖12-6），所以一般k階愛爾朗分布可看成完全隨機(jī)與完全確定的中間型，能對(duì)現(xiàn)實(shí)世界提供更為廣泛的適應(yīng)性。3 單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析 在本節(jié)中將討論輸入過程是服從普阿松分布過程、服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)，現(xiàn)將其分為： （1）標(biāo)準(zhǔn)的MM1模型，即(M/M/1/); （2）系統(tǒng)的容量有限制，即（MM1N/）； （3）顧客源為有限，即（MM1m） 三種情形討

29、論。 3.1 標(biāo)準(zhǔn)的/MM1模型（MM1/） 標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型，是指適合下列條件的排隊(duì)系統(tǒng)： （1）輸入過程顧客源是無限的，顧客單個(gè)到來，相互獨(dú)立，一定時(shí)間的到達(dá)數(shù)服從普阿松分布，到達(dá)過程已是平穩(wěn)的。 （2）排隊(duì)規(guī)則單隊(duì)，且對(duì)隊(duì)長(zhǎng)沒有限制，先到先服務(wù)。 （3）服務(wù)機(jī)構(gòu)單服務(wù)臺(tái)，各顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的服從相同的負(fù)指數(shù)分布。 此外，還假定到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。 在分析標(biāo)準(zhǔn)的MM1模型時(shí)，首先要求出系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的狀態(tài)為n（系統(tǒng)中有n個(gè)顧客）的概率Pn(t)，它決定了系統(tǒng)運(yùn)行的特征。 因已知到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)為的普阿松過程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，所以在t,t+t）時(shí)間區(qū)

30、間內(nèi)分為： （1）有1個(gè)顧客到達(dá)的概率為to（t）；沒有顧客到達(dá)的概率就是1-to（t） （2）當(dāng)有顧客在接受服務(wù)時(shí)，1個(gè)顧客被服務(wù)完了（離去）的概率是1t+o(t). (3)多于一個(gè)顧客的到達(dá)或離去的概率是o(t)，可忽略。 在時(shí)刻t+t，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客(n0)存在下列四種情況（到達(dá)或離去是2個(gè)以上的沒列入,可忽略）： 在時(shí)刻t+t，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客(n0)情況在時(shí)刻t顧客數(shù)在區(qū)間(t,t+t)在時(shí)刻rt顧客數(shù)到達(dá)離去（A）（B）（C）（D）nn+1n-1nnnnn 表示發(fā)生（1個(gè)），表示沒有發(fā)生 它們的概率分別是（略去o(t)）: 情況（A） pn(t)(1-t)（1-t） （B） Pn

31、+1(t)(1-t)t （C） Pn-1(t)t(1-t) （D） Pn(t)tt 由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+t)應(yīng)是這四項(xiàng)之和，即（將關(guān)于t的高階無窮小合成一項(xiàng)）： )()()()1)()(11tottPttPtttPttPnnnnttotPtptPttPttPnnnnn)()()()()()()(11 令t0，得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程 (12.15) 當(dāng)n0，則只有上表中(A),（B）兩種情況，即 類似地求得 (12.16) 這樣系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)間變化過程是稱為生滅過程的一個(gè)特殊情形。, 2 , 1)()()()()(11ntPtPtPdttdpnnnntttPtt

32、PttP)1)()1)()100（)()()(10tPtPdttdpo 解方程（12.15）(12.16)是很麻煩的，求得的解(瞬態(tài)解)中因?yàn)楹行拚呢愘惗瘮?shù)，也不便于應(yīng)用，我們只研究穩(wěn)態(tài)的情況，這時(shí)Pn(t)與t無關(guān)，可寫成Pn，它的導(dǎo)數(shù)為0,由于(12.15),（12，16）式可得 這是關(guān)于Pn的差分方程。它表明了各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系。用圖12-7表示。)18.12(10)()17.12(01110nPPPPPnnn 由圖12-7可見，狀態(tài)0轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移率為P0，狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0的轉(zhuǎn)移率為P1，對(duì)狀態(tài)0必須滿足以下平衡方程 P0=P1 同樣對(duì)任何n1的狀態(tài)，可得到(12.18)的平

33、衡方程。求解(12.17)得 P1（）P0 將它代入(12.18)，令n1, P1=（）（/）P0 P2（）2P0 同理依次推得 今設(shè) （否則隊(duì)列將排至無限遠(yuǎn)），又由概率的性質(zhì)知 正則性方程 0)/(Ppnn101nnP 將Pn的關(guān)系代入 得 （12.19） 這是系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率。111000PPnn11,)1 (10nPPnn 上式的有其實(shí)際意義。根據(jù)表達(dá)式的不同，可以有不同的解釋， 當(dāng)表達(dá)時(shí)，它是平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比；即在相同時(shí)區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)與被服務(wù)的平均數(shù)之比。 若表示為（1/）/(1/)，它是為一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間與到達(dá)間隔時(shí)間之比：稱為服務(wù)強(qiáng)度（traffic inte

34、nsity）。或稱為話務(wù)強(qiáng)度。這是因?yàn)樵缙谂抨?duì)論是愛爾朗等人在研究電話理論時(shí)用的術(shù)語(yǔ)，一直沿用至今。 由(12.19)式，1P0，它刻劃了服務(wù)機(jī)構(gòu)的繁忙程度；所以又稱服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率。讀者可考慮由于的大小不同值，將會(huì)產(chǎn)生顧客與服務(wù)員之間、服務(wù)員與管理員之間怎樣不同的反應(yīng)或矛盾。 以(12.19)為基礎(chǔ)可以算出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)： （1）在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值）， 或 01)1 (nnnsnnpL1012()32(323232，）sL （2）在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)(隊(duì)列長(zhǎng)期望值) 關(guān)于顧客在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間Ws（隨機(jī)變量），在MM1情形下，它服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，即 (12.20)1)

35、 1(2111snnnnnnqLPnPPnL0)()(1)()()(weuwfewFww概率密度分布函數(shù) 于是得 （3）在系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間的期望值 （4）在隊(duì)列中顧客等待時(shí)間的期望值 1WEWs1sqWW 現(xiàn)將以上各式歸納如下： (12.21) 它們相互的關(guān)系如下： （12.22） 上式稱為L(zhǎng)ittle(1961年）公式。qsqsWWLL)3(1)3()2() 1 (qsqsqqssLLWWWLWL)4(1)3()2() 1 (例3 某醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)病人來診和完成手術(shù)時(shí)間的記錄，任意抽查100個(gè)工作小時(shí)，每小時(shí)來就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表12-8，又任意抽查了100個(gè)院成手術(shù)的病歷，所用時(shí)

36、間v（小時(shí)）出現(xiàn)的次數(shù)如表12-9。 表128 到達(dá)的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)fn0123456以上102029161061合計(jì)100表12-9為病人完成手術(shù)時(shí)間v（小時(shí)）出現(xiàn)次數(shù)fv0.0-0.20.2-0.40.4-0.60.6-0.80.8-11.0-1.21.2.以上3825179650合計(jì)100（1）算出每小時(shí)病人平均到達(dá)率 （人小時(shí)） 每次手術(shù)平均時(shí)間 （小時(shí)人） 每小時(shí)完成手術(shù)人數(shù)（平均服務(wù)率） （人小時(shí)） （2）取2.1，u2.5，可以通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法（例如x2檢驗(yàn)法），認(rèn)為病人到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為2.1的普阿松分布，手術(shù)時(shí)間服從參數(shù)為2.5的負(fù)指數(shù)分布。 1 . 2100nfn4 .

37、0100vfv5 . 24 . 01 （3） 它說明服務(wù)機(jī)構(gòu)（手術(shù)室）有84時(shí)間是繁忙(被利用)，有16%的時(shí)間是空閑的。84. 05 . 21 . 2 （4）依次代入(12.21)，算出各指標(biāo)： 在病房中病人數(shù) （期望值） 排隊(duì)等待病人數(shù) （期望值） 病人在病房中逗留時(shí)間 （期望值） 病人排隊(duì)等待時(shí)間 （期望值） 人）(25. 51 . 25 . 21 . 2sL（人） 41. 425. 584. 0qL小時(shí)）(5 . 21 . 25 . 21sW小時(shí)）(1 . 21 . 25 . 284. 0qW 不同的服務(wù)規(guī)則（先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)）它們的不同點(diǎn)主要反映在等待時(shí)間的分布函數(shù)的

38、不同，而一些期望值是相同的。我們上面討論的各種指標(biāo)，因?yàn)槎际瞧谕?，所以這些指標(biāo)的計(jì)算公式對(duì)三種服務(wù)規(guī)則都適用（但對(duì)有優(yōu)先權(quán)的規(guī)則不適用）。32 系統(tǒng)的容量有限制的情形（MM1N 如果系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧 客最多為N1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)（如圖12-8）。 當(dāng)N1時(shí)為即時(shí)制的情形；當(dāng)N，為容量無限制的精形。 若只考虛穩(wěn)態(tài)的情形，可作各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系圖見圖圖12-9。 根據(jù)圖12-9，列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程： （12.23）1,)(11101NnPPuPuPuPPuPnNNnn 解這差分方程與解(12.1

39、7)，(12.18)是很類似的，所不同的是， P0+P1+PN=1 仍令 ，因而得 (12.24) 這里略去情形的討論（參閱習(xí)題第9題）。u/NnPPnNnN11011111 在對(duì)容量沒有限制的情形，我們?cè)O(shè)1，這不僅是實(shí)際問題的需要，也是無窮級(jí)數(shù)收斂所必需的。在容量為有限數(shù)N的情形下，這個(gè)條件就沒有必要了。（為什么？）不過當(dāng) 1時(shí)，表示損失率的PN（或表示被拒絕排隊(duì)的顧客平均數(shù)pN（或表示被拒絕排隊(duì)的顧客平均數(shù)pN-）將是很大的。 根據(jù)(12.24)我們可以導(dǎo)出系統(tǒng)的各種指標(biāo)：（計(jì)算過程略） （1）隊(duì)長(zhǎng)（期望值） （2）隊(duì)列長(zhǎng)（期望值） 11) 1(1011NmMNnsNnPL)1 () 1

40、(01PLPnLsNnnq 當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時(shí)間Ws和在隊(duì)列中平均等待時(shí)間Wq時(shí)，雖然(12.22)公式仍可利用，但要注意平均到達(dá)率在系統(tǒng)中有空時(shí)的平均到達(dá)率，當(dāng)系統(tǒng)已滿（n=N）時(shí)，則到達(dá)率為0，因此需要求出有效到達(dá)率e=(1-PN)?？梢则?yàn)證： 1P0e/ 于是 （3）顧客逗留時(shí)間（期望值） （4）顧客等待時(shí)間（期望值） Wq=Ws-1/1)1 ()1 (0NqssPLPuLW 現(xiàn)在把MM1N型的指標(biāo)歸納如下（當(dāng)時(shí)）： (12.25) /1)1()1(1)1(10011sqsssqNNsWWPLWPLLNL 例4 單人理發(fā)館有六個(gè)椅子接待人們排隊(duì)等待理發(fā)。當(dāng)6個(gè)椅子都坐滿時(shí)，后來到

41、的顧客不進(jìn)店就離開。顧客平均到達(dá)率為3人小時(shí)，理發(fā)需時(shí)平均15分鐘，則N7為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，3人小時(shí)，4人小時(shí)。 （1）求某顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率。 這種情形相當(dāng)于理發(fā)館內(nèi)沒有顧客，所求概率 （2）求需要等待的顧客數(shù)的期望值。 2778. 0)4/3(14/3180P11. 2)4/3(1)4/3(84/314/388sL39. 1)2778. 01 (11. 2)1 (0PLLtq （3）求有效到達(dá)率。 （4）求一顧客在理發(fā)館內(nèi)逗留的期望時(shí)間。 人小時(shí)89. 2)2778. 01 (11. 2)1 (0Pe小時(shí)73. 089. 2/11. 2/essLw （5）在可能到來的顧客中有百分

42、之幾不等待就離開？ 這就是求系統(tǒng)中有7個(gè)顧客的概率， 這也是理發(fā)館的損失率。 %7 . 343143143)/(1/1(8787uuuPr3.3 顧客源為有限的情形（MM1m） 現(xiàn)以最常風(fēng)的機(jī)器因故障停機(jī)修的問題來說明。設(shè)共有m臺(tái)機(jī)器（顧客總體），機(jī)器因故障停機(jī)表示“到達(dá)”，待修的機(jī)器形成隊(duì)列，修理工人是服務(wù)員，本節(jié)只討論單服務(wù)員工情形。 類似的例子還有m個(gè)打字員共用一臺(tái)打字機(jī)，m個(gè)會(huì)計(jì)分析員同用一個(gè)計(jì)算機(jī)終端等等。顧客總體雖只有m個(gè)，但每個(gè)顧客到來并經(jīng)過服務(wù)后，仍回到原來總體，所以仍然可以到來。在機(jī)器故障問題中，同一臺(tái)機(jī)器出了故障（到來）并經(jīng)修好（服務(wù)完了）仍可再出故障（如圖12-10）。模

43、型的符號(hào)中第4項(xiàng)，寫了，這表示對(duì)系統(tǒng)的容量沒有限制，但實(shí)際它永不會(huì)超過m，所以和寫成(M/M/1/mm)的意義相同。 關(guān)于平均到達(dá)率，在無限源的情形是按全體顧客來考慮的；在有限源的情形必須按每個(gè)顧客來考慮。為簡(jiǎn)單起見，設(shè)各個(gè)顧客的到達(dá)率都是相同的（在這里的含義是每臺(tái)機(jī)器單位運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的概率或平均次數(shù)），這時(shí)在系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為mLs,對(duì)系統(tǒng)的有效到達(dá)率e應(yīng)是 (12.26) )(seLm 對(duì)于（MM1m）模型的分析可用前述的方法，在穩(wěn)態(tài)的情況下，考慮狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移率。當(dāng)由狀態(tài)0轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1，每臺(tái)設(shè)備由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)移為故障狀態(tài)，其轉(zhuǎn)移率為P0,現(xiàn)有m臺(tái)設(shè)備由無故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移為有一臺(tái)設(shè)備（不論

44、哪一臺(tái)）發(fā)生故障，其轉(zhuǎn)移率為mP0。至于由狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移率為P1。 所以在狀態(tài)0時(shí)有平衡方程mP0uP1。其關(guān)系可用圖12-11表示，由圖12-11可得到各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移差分方程。1110111 ,)() 1(mmnmnPPmnPnmPnmPPmP 解這差分方程，用遞推方法，并注意到 （因而不要求/u1） 得 （12.27） 10miiP)1 ()!(!)!(!1000mnPnmmPimmPnbmii 求得系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)為 (12.28) /11)1 ()1 ()1)()1 (0000sqssqsWWPmWPLPmLPmL 在機(jī)器故障問題中Ls就是平均故障臺(tái)數(shù)，而 表示正常運(yùn)轉(zhuǎn)的

45、平均臺(tái)數(shù))1 (0PuLms 例5 某車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間15分鐘，有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。 求（1）修理工空閑的概率； （2）五臺(tái)機(jī)器都出故障的概率； （3）出故障的平均臺(tái)數(shù)； （4）等待修理的平均臺(tái)數(shù)； （5）平均停工時(shí)間； （6）平均等待修理時(shí)間； （7）評(píng)價(jià)這些結(jié)果。 解：m=5,=1/15，u=1/12，u=0.8（1） （2）（3） （臺(tái)） （4） （臺(tái)） （5） （分鐘）1543200)8 . 0(! 0! 5)8 . 0(! 1! 5)8 . 0(! 2! 5)8 . 0(! 4! 5)8 .

46、 0(! 5! 5P073. 08 .136/1287. 0)8 . 0(! 0! 505PPs76. 3)073. 01 (8 . 015sL77. 2993. 076. 3qL4615)007. 01 (1215sW （6） （分鐘） （7）機(jī)器停工時(shí)間過長(zhǎng)，修理工幾乎沒有空閑時(shí)間，應(yīng)當(dāng)提高服務(wù)率減少修理時(shí)間或增加修理工人。 341246qW4 多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析 現(xiàn)在討論單隊(duì)、并列的多服務(wù)臺(tái)（服務(wù)臺(tái)數(shù)c）的情形，我們?nèi)苑?（ 1 ） 標(biāo) 準(zhǔn) 的 M M c 模 型（M/M/c/）； （ 2 ） 系 統(tǒng) 容 量 有 限 制（M/M/c/N/）； （3）有限顧客源（M/M/c/m） 4.1 標(biāo)準(zhǔn)