吉林省名校2019年高考一模數(shù)學文科試題解析卷

1、吉林省名校2019年高考一模數(shù)學文科試題解析卷一、選擇題。1 .設復數(shù)z=(5+i)(1i) (i為虛數(shù)單位)，則z的虛部是()A. 4iB. 4C. -4iD. -4【答案】D【分析】由復數(shù)z=(5+i ；(1-i )=64i,即可得到復數(shù)的虛部，得到答案?！驹斀狻坑深}意，復數(shù)z = (5 + i )(1 i )= 5 - 5i+ii2 =64i ,所以復數(shù)z的虛部為_4,故選D?！军c睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的概念，其中解答中熟記復數(shù)的乘法運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題。2 .已知集合 A = x|y = J2x2, xWR, B=x|1MxM3, xZ

2、集合 AflB中元素的個數(shù)為()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集的運算，求得 A - B - -1,0,1),即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，可得集合 A=x|J2MxwJ2 , B=1,0,1,2,3,則 ACB = 1,0,1,故選B?！军c睛】本題主要考查了集合的運算，以及構成集合的元素的個數(shù)的判定，其中解答中熟記集合的交集的 運算，得到集合 APlB是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題。2 2x y3 .已知曲線 可2=1 (a>0, b>0)的一條漸近線經(jīng)過點 a b(72, J6),則該雙曲線的離心率為()A. 2B. 2C.

3、3【解析】【分析】將點（J2, J6）代入雙曲線的漸近線方程，由此求得 b的值，進而求得雙曲線的離心率.a【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為 y =P x ,將點（J2, 76 Y弋入雙曲線的漸近線方程得 捉=鼠近, aab=>/3,故 e = 1/b） =sjV+3 =2，故選 A. a. a【點睛】 本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線的離心率的求法，屬于基礎題4.某機構對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進行了調(diào)查，人數(shù)如表所示:/、喜歡喜歡男性青年觀眾3010女性青年觀眾3050現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了6

4、人，則n =（）A. 12B. 16C. 24D. 32【答案】C【解析】【分析】先求得總人數(shù)，然后根據(jù)總人數(shù)中“不喜歡的男性青年觀眾”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人數(shù)【詳解】依題意，總、人數(shù)為30+30+10+50 = 120,其中“不喜歡的男性青年觀眾”有 30人，故306 口 ,，口=-,解得n = 24.所以本小題選 C.120 n【點睛】本小題主要考查分層抽樣的有關計算，考查圖表分析能力，屬于基礎題 5 .若一個圓錐軸截面是面積為 1的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（）A. ,2-：B. 2 2C. 2-D. 4二【答案】A【解析】【分析】由軸截面是面積為1的等腰直角三角形

5、，得到底面半徑及母線長即可得到該圓錐的側面積.【詳解】設圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為1,由題可知，r=h= 1 ,則 1 x(V2r ) =1 , , r =1, 1 =、, 2側面積為71rl = J2n故選：A【點睛】本題考查圓錐的計算；得到圓錐的底面半徑是解決本題的突破點；注意圓錐的側面積 =淚的應用.x 2y-4<0,6 .設x, y滿足約束條件<xy1E0,，則z= 2x + y的最大值是()2x y 1 _ 0,A. 1B. 4C. 6D. 7【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z = -2x+y表示直線在y軸上的截距，只需

6、求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可.【詳解】由條件畫出可行域如圖：z = -2x+y表示直線在y軸上的截距，當l ： y=2x + z平移到過點 A時，z最大,x 2y =4又由 y2x y 1=0,解得A -2,3此時,zmax = 7 .故選D.【點睛】 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題.sin x, x -47.已知函數(shù)f(x)=4 ,則下列結論正確的是()|兀cosx, x 一4A. f(x)是周期函數(shù)jiC. f(x)的圖象關于直線 x=一對稱4【答案】C【解析】B. f(x)奇函數(shù)一、45 二D. f(x)在x=處取得最大值2作出函數(shù)f x的圖象

7、，結合函數(shù)的周期性，奇偶性、對稱性以及最值的性質(zhì)，分別進行判斷，即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，作出函數(shù) f (x)的圖象，如圖所示,則由圖象可知函數(shù) f (x )不是周期函數(shù)，所以 A不正確;同時圖象不關于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，所以B不正確;2右 x>0,貝 U f(一十 x)= cos(+ x)=(cos x -sin x),442EL二 (cosx-sin x),此時 f ( + x)24fjx),2右 xE0,則 f (+x) =sin(+x)=(cosx+sinx),442f(4-x)=cos(4.x) =(cosx+sin x),此時 f (一 + x) = f (一 x)

8、, 44綜上恒有f (一+x) = f(x),即圖象關于x =一對稱，所以C是正確的； 4445 二5 二5 二由當x=時，函數(shù)f x = f()=cos=0不是函數(shù)的最大值，所以 D錯誤,222故選Co【點睛】本題主要考查了與三角函數(shù)有關的命題的真假判定問題，其中解答中涉及到三角函數(shù)的周期性、 奇偶性、對稱性以及函數(shù)的最值問題，其中正確作出函數(shù)的圖象是解答本題的關鍵，著重考查了數(shù)形結合 思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題。8.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的B =A = l#=O否丁 輸HlA. 4B. 13C. 40D. 41【答案】C【解析】【分析】運行程序，進行計算，當

9、A >5時退出循環(huán)，輸出 B的值.【詳解】B=1, A=2; B = 4, A=3; B=13, A=4; B=40, a = 5.因為 54,所以輸出8 =40.【點睛】本小題主要考查程序框圖，考查計算程序框圖輸出的結果9 .在 AABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a，b, c，若 b = 1, a(2sin B - J3 cosc) = J3cos A ,點D是邊BC的中點，且AD =晅，則MBC的面積為()C.5或2百D.基或V328【解析】2 -1 T T -, 21 F 2【詳解】 由題可知 2sinAsinB V3sinAcosC =5/3sinCcosA , 2

10、sinAsinB = V3sinB ,則 SinA =A = 一或3.因為 AD =一(AB +AC ),所以 AD = (AB + AC ),即 3242 1 2 2n一13 后AD = b +c +2bccosA ,當 A=時，c = 3,所以 AABC的面積為一bcsinA = " ;當 43242 二1一A =時，c=4,所以AABC的面積為bcsinA=J3. 32故答案為：D.【點睛】 這個題考查了三角函數(shù)兩角和差公式的逆用，以及向量的模長的應用，三角函數(shù)的面積公式的應 用，題型比較綜合.10.已知拋物線C : y2 =6x,直線l過點P（2,2）,且與拋物線 C交于M

11、, N兩點，若線段 MN的中點恰好為點 P ,則直線l的斜率為（）A. 1B. 5C. 3D.-3424【答案】C【解析】【分析】由題意可知設M （xi, yi） , N（X2, y2）,代入拋物線方程作差求得：（必+丫2 Xyi _丫2 ）=6（Xi X2 ）,由中點坐標公式可知：Xi+X2=4, yi+y2 = 4,代入求得直線MN勺斜率.2V； = 6Xi 1y2 =6X2 2【詳解】設 M（X1,y,）, N（X2,y2 ）代入 C ： y2=6X,得,(1)-(2)得(y1 +y2 Xw )=6(k -X2 ).因為線段MN的中點恰好為點yy2 = 4從而4（y1 一y2 ）=6（x

12、1 一X2 ）,即l的斜率為X - y2 _3XI -x22故選C.【點睛】本題考查中點弦所在直線的斜率求法，考查“點差法”的應用，中點坐標公式的應用，考查運算 能力，屬于中檔題.11.函數(shù)f (x) =xsin2x+cosx的大致圖象有可能是()【答案】A根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除 D選項.根據(jù)f (x ) = cosx(2xsinx+1 )的零點個數(shù)，對選項進行排除，由此得出正確選項【詳解】 函數(shù)f(x )是偶函數(shù)，排除D；由f (x ) = 2xsinxcosx+cosx = cosx(2xsinx + 1),知當二冗 3 九 人八.，1.1x = (0,2n 附，cosx = 0有兩個解 一

13、，一，令 2xsinx+1 = 0,sinx =,而 y =sinx與 y =在2 22x2x(0,2幾疳兩個不同的交點(如下圖所示)，故函數(shù)在(0,2口上有4個零點，故選 A.12.已知x >0,函數(shù)f(x)=x 22（e 一“ +（e +a）的最小值為6,則a =x . xe -eA. -2【答案】B【解析】【分析】B. - 1 或7C. 1 或-7D. 2將f （x枇簡成ex _eY 2a22,4,廣，/ +§z2-2a ,利用基本不等式求得最小值，即可得到a.ex -e【詳解】f x =2_2x-2xx-x2x-x. x-x2e e 12a e -e 廠2a e -e

14、-2a e -e 2a 2x-xe -e-x-e=ef 三一 2ae -e>2V2a2+2-2a=6，(當且僅當 ex -e-=J2a2十2時等號成立），即 a2 -6a -7 =0,解得 a =T或7.故選B.【點睛】 本題考查了函數(shù)的最值，考查了基本不等式的應用，將函數(shù)進行合理變形是關鍵，屬于中檔題、填空題。.一 ,. M t.，一 13 .已知向重a, b不共線，m =2a -3b，n = 3a +kb，如果m n ,則k =【解析】【分析】由向量mn,所以2a3，=九(3甘+諾),得到3九=2且？* = 3,即可求解，得到答案。【詳解】由題意，向量mn,所以2a-3_=九(3目+

15、島,9則3九=2且力-k = 3,斛佝k =2k, 【點睛】本題主要考查了向量的共線條件的應用，其中解答中熟記向量共線條件，列出關于 的關系式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題。x14 .已知函數(shù)f(x)滿足f =x -3x ,則曲線y=f(x)在點(1, f (1)處的切線萬程為 2【答案】18x-y-16=0【解析】【分析】先求得f(x)及f(1)，再求導求得f '(1 )即為切線的斜率，最后利用點斜式寫出曲線在點(1, f (1 )處的切線方程.x_3.3【詳斛】令t =一，則 x =2t ,所以 f (t )=8t 6t，即 f (x ) = 8x 6x.2且f

16、 (1尸2 ,_3又 f'(x) = 24x -6,f ' 1 =18.所以切線方程為y2 = 18(x1),即 18x -y -16 =0.故答案為18x -y -16 =0.【點睛】 本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查了導數(shù)的運算法則和導數(shù)幾何意義，屬于中檔題.15.已知 sin10 o+mcos100=-2cos40 °,貝U m=.【答案】一 3【解析】【分析】利用兩角和差余弦公式展開，利用對應關系求出 m的值即可.【詳解】由 sin10' +mcos10 = -2cos403 得：【答案】20二【解析】 【分析】E,由幾何體的直觀圖為三棱錐 A-BCD

17、 ,其中 MBD的外接圓的圓心為 F , ABCD的外接圓的圓心為A BCD的球心為O,球的半徑為 R,且OE，平面BCD , OF，平面ABD ,在 MBD和BCD 中，分別求得FA=2和OF =1,根據(jù)球的性質(zhì)，求得求得半徑，即可求解外接球的表面積?！驹斀狻坑扇晥D可推知，幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD ,如圖所示，其中AABD的外接圓的圓心為 F , ABCD的外接圓的圓心為 E, ABCD的球心為O,球的半徑為 R ,且OE _L平面BCD , OF上平面ABD .因為 MBD是頂角為120°的等腰三角形，BD所以 MBD的外接圓的直徑為2r =一BD一=4，即r = 2,

18、即FA = 2 ,sin. BAD又由ABCD為邊長為2 J3的等邊三角形，所以 EH =1,即OF =1,根據(jù)球的性質(zhì)，可得 R = JFA2+OF2 = J2F =疾，2所以外接球的表面積為 4二、.5)： =20二.0 C【點睛】本題主要考查了球的表面積的計算，以及三棱錐外接球的性質(zhì)的應用，其中解答中根據(jù)幾何體的 結構特征和球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于 中檔試題。三、解答題。17.已知數(shù)列 Qn為等差數(shù)列，a7-a2 =10 ,且a1，a6, a21依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列Ln的通項公式；12(2)設bn =,數(shù)列bn的前n項和為

19、Sn ,若Sn =，求n的值.anan 125【答案】(1) an =2n 3 (2) n =10【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為 d,運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項性質(zhì)，解方程可得首項和公差，即 可得到所求通項公式；1 11（2）求得bn = 1一），運用裂項相消求和可得 S,解方程可得n.2 2n 3 2n 5【詳解】解：（1）設數(shù)列an為公差為d的等差數(shù)列，a7-a2=10,即 5d = 10,即 d = 2,a1, a6, a21依次成等比數(shù)列,可得a6?= a1a21,即（氏+10） 2 =%（為+40）,解得a1 = 5,則an=5+2 （n - 1） = 2n+3；

20、_ .11111（2） bn =-= 一 （-）,anan 12n 3 2n 52 2n 3 2n 5、，11111 11即有前 n項和為 Sn = 1 （1 -1 +- -1 +|H+-一二）25 7 7 9 2n 3 2n 5111n2 5 2n 55 2n 5-2.由 Sn=,可得 5n=4n+10,25解得n= 10.【點睛】 本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項相消求和，以及方程思想 和運算能力，屬于基礎題.y （單位：人）與時間ti18.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購已經(jīng)逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西，在 網(wǎng)上付款即可，兩三天就會送到

21、自己的家門口，如果近的話當天買當天就能送到，或者第二天就能送到，所以網(wǎng)購是非常方便的購物方式.某公司組織統(tǒng)計了近五年來該公司網(wǎng)購的人數(shù)（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下:ti12345y2427416479(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請計算相關系數(shù) r并加以說明(計算結果精確到0.01) .(若|r卜0.75,則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合)x tiyi -nty附：相關系數(shù)公式vti-t 2 vyi-y2if5695 75.47(2)建立y關于回歸方程,并預測第六年該公司的網(wǎng)購人數(shù)(計算結果精確到整數(shù)).ti -tyi -y q ty-nty【答案】(

22、1)見解析;(1)由已知數(shù)據(jù)求得的關系.(2)求出(1)由題知t =3,“ti2一 nf2i 1(2)網(wǎng)購人數(shù)約為r值，由接近1可得yb?與i?的值，得到線852 ,1以用線性回歸模型擬合y與tn一“ i J -t yin 2iJi -t二47目關程度很高，從歸方程，取=6求得y值v ti-ti=1x nJtiYi - nty10 , JZ (yi-y)2 =/2278,i=1：yi -y)2inq-小:0.97 0.75.147147147.一 = 1胃227802 < 5695150.94故y與t的線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合.n, ，口 .?-nty (2)由(1)得 b

23、?=-ZT=14.7，“甘_討3=47-14.7 3 =2.9.所以y與t的回歸方程為y=i4.7t+2.9.將t =6帶入回歸方程，得 y =91.191,所以預測第6年該公司的網(wǎng)購人數(shù)約為91人.【點睛】本題考查線性回歸方程，考查學生讀取圖表的能力及運算求解能力，是中檔題.19.在四柱ABCD AB1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形， AA _L平面ABCD . AB = 2AD = 4 ,冗.DAB 二一3(1)證明：平面D1BC _L平面D1BD ；(2)若直線D】B與底面ABCD所成角為M , N , Q分別為BD, CD , DD的中點，求三棱錐 6C -MNQ的體積.【答案】

24、(1)見證明；(2) V =6C -MINQ6【解析】【分析】(1)推導出DDL平面ABCD DM BC ADL BD由AD/ BC得BC± BD從而BCL平面DBD由此能證明平面DBC1平面DBD(2)由DiD _L平面ABCD得/DiBD可以計算出DD ,再利用錐體體積公式求得6VQ _CMN , 根據(jù)等體積法即為VC JMNQ .【詳解】(1) .DiD _L平面ABCD , BCu平面ABCD,D1D _ BC .一 _ H又 AB=4, AD =2, /DAB=一,3BD = i 22 42 一2 2 4 cos =2.3 ,AD2+BD2 =AB2， AD -L BD .

25、又 AD/BC ,BC _ BD .又. D1DCBD=D, BDu 平面 D1BD, D1DU 平面 D1BD,BC _L平面 D1BD ,而 BC 仁平面 D1BC ,平面 D1BC _L 平面 D1BD ；(2) D1D _L 平面 ABCD ,/D1BD即為直線D1B與底面ABCD所成的角，即/D1BD=一,6而 BD =2向， DD1 =2 .又 VC JMNQ_ 1-VQ _CMN =二 VQ _BDC )4VC JMNQ=-1 1 2,3 2 1=34 3 26【點睛】 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的定義及求法，考查了三棱錐體積的常用求法，涉及空間 中線線、線面、面面間的位

26、置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.2220.順次連接橢圓C： +4=1但：0)的四個頂點恰好構成了一個邊長為J3且面積為2J2a b的棱形.(1)求橢圓C勺方程；(2)過點Q(0, 2)的直線l與橢圓C交于A, B兩點，%人koB=1 ,其中O為坐標原點，求|AB|.【答案】(1)£+y2=1 ab =41211【解析】【分析】(1)利用已知建立a, b的方程，解出a, b即可.(2)先考慮斜率不存在時，則koA與koB不存在，可設直線為y =kx-2 ,與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理結合條件解得k,再利用弦長公式計算AB即可.【詳解】(1)由題可知2ab=2無，a2+b2=3

27、,解得 a=V2，b=2所以橢圓C的方程為L + y2 =1 . 2(2)設 A(X1,y1)，BN, V2),當直線l斜率不存在時，明顯不符合題意，故設l的方程為y =kx-2 ,2代入方程 x- + y2=i,整理得(1+2k2 )x28kx+6=0. 222_33由 =64k 24 2k +1 >0,解得 k2> 28k6所以 為, x2 =2 , x1x2 =2 .12k12k,2y1y2 k xx2 -2k xi x24 koA koB = - 1 ,x1 x2x1 x2解得k2 =5 .AB=1 k2x1一x2入二巨11【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位

28、置關系，設而不求，利用韋達定理是解決此類問 題的常見方法，考查運算能力，屬于中檔題. , 、，12,、121.已知函數(shù) f(x)=lnx + -x (m+1)x+m + 22(1)設x=2是函數(shù)f(x)的極值點，求 m的值，并求f(x)gm調(diào)區(qū)間；若對任意的xw(1p, f(x)>0恒成立，求m11【答案】(1) f(x)在(0,1)和(2,收)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減.(2) m£1 221.(1)由題意，求得函數(shù)的導致f (x)=x+m1,根據(jù)x=2是函數(shù)f(x)的極值點，求得xm=3,利用導數(shù)符號，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2所以f (x)在(2,上單調(diào)遞增，在1

29、.-,2上單調(diào)遞減.21. . ,一 由函數(shù)的導致f (x) = x+m1,當m<1時，得到f(x )在(1,收)上單調(diào)遞增，又由 xf (x )> f (1 )=0,即可證明，當 m >1時，f (x)先減后增，不符合題意，即可得到答案。1 21【詳斛】(1)由題忌，函數(shù) f(x)=lnx+xm+1 )x+ m+(x>0),1則 f (x )=x + -m -1, x13因為x=2是函數(shù)f x的極值點，所以f'（2）=2+m1=0,故m = 3, 22即 f'(x)=x+l5,令-5x+2 解得 0<x<1或 x>2. x 2x 2

30、2x2-2令 f，(x)=2x 5x 2 <0,解得-<x<2, 2x2所以f (x)在10, ,2（2,上單調(diào)遞增，在1-,2 |上單調(diào)遞減.一 一.1(2)由 f (x)=x+m1, x當m M1時，f x )>0 ,則f (x )在(1,")上單調(diào)遞增,1 21又 f (1)=0，所以 lnx+x (m+1)x + m+ a0恒成立； 22.1.當m>1時，易知f (x )=x+m1在(1,依)上單調(diào)遞增, x故存在x0 w(1, y'使得f '(沏)=0 ,所以f（X ）在（1,% ）上單調(diào)遞減，在（x。，"）上單調(diào)遞增

31、, 又f （1） = 0,則f （凡）0,這與f （x ）0恒成立矛盾.綜上，m m 1.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、 邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應 的不等關系式，求解參數(shù)的取值范圍；有時也可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問 題._ x = a(1 Sint)22.在直角坐標系xOy中，曲線C1 ：4(a>0, t為參數(shù)).在以坐標原點為極點，xy =acoSt軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2 ： 0 = ( P R).6(1)說明Ci是哪一種曲線，并將 G的方程化為極坐標方程；(2)若直線C3的方程為y = J3x，設C2與Ci的交點為O, M , C3與Ci的交點為O, N ,若AOMN的面積為2 J3 ,求a的值.【答案】(1) Ci是以(a,0)為圓心，a為半徑的圓.Ci的極坐標方程 P =2acosH .(2) a = 2【解析】【分析】(i)消去參數(shù)