VAR模型與協(xié)整

1、VAR模型與協(xié)整張曉峒南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院天津 300071xttfyt1. VAR（向量自回歸）模型定義2. VAR模型的特點(diǎn)3. VAR模型穩(wěn)定的條件4. VAR模型的分解5. VAR模型滯后期的選擇6. 脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解7. 格蘭杰（Granger）非因果性檢驗(yàn)8. VAR模型與協(xié)整9. VAR模型中協(xié)整向量的估計(jì)與檢驗(yàn)10. 案例分析1980年Sims提出向量自回歸模型（vector autoregressive model）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)。在模型的每一個(gè)方程中，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生變量的滯后項(xiàng)進(jìn)行回歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系。1.

2、VAR（向量自回歸）模型定義以兩個(gè)變量y1t，y2t滯后1期的VAR模型為例，y1， t = c1 + p11.1 y1， t-1 + p12.1 y2， t-1 + u1ty2， t = c2 + p21.1 y1， t-1 + p22.1 y2， t-1 + u2t其中u1 t， u2 t IID （0， s 2）， Cov（u1 t， u2 t） = 0。寫(xiě)成矩陣形式是， =+ 設(shè)Yt =， c =， P1 =， ut =，則，Yt = c + P1 Yt-1 + ut （1.3）含有N個(gè)變量滯后k期的VAR模型表示如下：Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk

3、 Yt-k + ut， ut IID （0， W）其中，Yt = （y1， t y2， t yN， t）'， c = （c1 c2 cN）' Pj =， j = 1， 2， ， k ut = （u1 t u2，t uN t）'，不同方程對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間可能存在相關(guān)。因VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)，他們與ut是漸近不相關(guān)的，所以可以用OLS法依次估計(jì)每一個(gè)方程，得到的參數(shù)估計(jì)量都具有一致性。2. VAR模型的特點(diǎn)（1）不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。（2）VAR模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量。（3）VAR模型對(duì)參數(shù)不施加零約束。（4）VAR模型有相當(dāng)

4、多的參數(shù)需要估計(jì)。（5）VAR模型預(yù)測(cè)方便、準(zhǔn)確（附圖）。（6）可做格蘭杰檢驗(yàn)、脈沖響應(yīng)分析、方差分析。（7）西姆斯（Sims）認(rèn)為VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來(lái)也有學(xué)者認(rèn)為具有單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入VAR模型。 附： 圖1 油價(jià)與靜態(tài)擬合值 圖2 油價(jià)與靜態(tài)擬合值3. VAR模型穩(wěn)定的條件對(duì)于VAR（1），Yt = c + P1 Yt-1 + ut模型穩(wěn)定的條件是特征方程 |P1-l I |=0的根都在單位圓以內(nèi)，或相反的特征方程|ILP1|= 0的根都要在單位圓以外。對(duì)于k>1的VAR（k）模型可以通過(guò)矩陣變換改寫(xiě)成分塊矩陣的VAR（1）模型形式。Yt

5、 = C + A Yt -1 + Ut模型穩(wěn)定的條件是特征方程 |A-lI| =0的根都在單位圓以內(nèi)，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在單位圓以外。附：矩陣變換。給出k階VAR模型，Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut 再配上如下等式，Yt -1 = Yt -1Yt -2 = Yt -2Yt-k+1 = Yt-k+1把以上k個(gè)等式寫(xiě)成分塊矩陣形式，=+ 其中每一個(gè)元素都表示一個(gè)向量或矩陣。上式可寫(xiě)為Yt = C + A Yt -1 + Ut附：VAR模型的特征根4. VAR模型的分解以VAR（1）模型Yt = c + P1 Yt-

6、1 + ut 為例，用遞推的方法最終可把Yt分解為三部分：Yt = （I + P1 + P12 + + P1t-1） c + P1t Y0 + ut-i = （I-P1）-1c + P1t Y0 + ut-i5. VAR模型滯后期的選擇1 用F統(tǒng)計(jì)量選擇k值。F統(tǒng)計(jì)量定義為， F（ m ， T k ）2 用LR統(tǒng)計(jì)量選擇k值。LR（似然比）統(tǒng)計(jì)量定義為， LR = - 2 （log L（k） - log L（k+1） ） 3 用赤池（Akaike）信息準(zhǔn)則 （AIC） 選擇k值。AIC = -2+4.用施瓦茨（Schwartz）準(zhǔn)則 （SC） 選擇k值。SC =-2+5.用Hannan-Qui

7、nn信息準(zhǔn)則選擇k值。附：選擇k值評(píng)價(jià)結(jié)果是建立VAR（2）模型。6. VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解（1）脈沖響應(yīng)函數(shù)：對(duì)于任何一個(gè)VAR模型都可以表示成為一個(gè)無(wú)限階的向量MA（）過(guò)程。Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其它誤差項(xiàng)在任何時(shí)期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個(gè)變量yj t對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)uj t在t期受到一個(gè)單位的沖擊后，對(duì)第i個(gè)內(nèi)生變量yit在t + s期造成的影響。把Y s中第i行第j列元素看作是滯后期s的函數(shù)， s = 1， 2， 3， 稱(chēng)作脈沖響應(yīng)函數(shù)（impulse-

8、response function），脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了其它變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi， t+s對(duì) uj， t時(shí)一次沖擊的響應(yīng)過(guò)程。（2）方差分解MSE（） = E（Yt+s -） （Yt+s -）'= W + Y1WY1' + Y2WY2 ' + +Y s-1WY s-1' （5）其中W = E（ut ut' ）。下面考察每一個(gè)正交化誤差項(xiàng)對(duì)MSE（）的貢獻(xiàn)。把ut變換為正交化誤差項(xiàng)vt。ut = M vt = m1v1t + m2v2t + mN vN tW = E（ut ut' ） = （m1v1t + m2v2t + m

9、N vN t） （ m1v1t + m2v2t + mN vN t） '= m1 m1'Var（v1t）+ m2 m2'Var（v2t） + mN mN'Var（vNt） 把用上式表達(dá)的W代入（5） 式，并合并同期項(xiàng)，MSE（） =則表示正交化的第j個(gè)新息對(duì)前s期預(yù)測(cè)量方差的貢獻(xiàn)百分比。附：脈沖響應(yīng)函數(shù) 圖1 油價(jià)對(duì)3個(gè)誤差項(xiàng)的響應(yīng) 圖2 油產(chǎn)量對(duì)3個(gè)誤差項(xiàng)的響應(yīng)圖3 油儲(chǔ)量對(duì)3個(gè)誤差項(xiàng)的響應(yīng)附：方差分解圖4 油價(jià)的方差分解圖5 油產(chǎn)量的方差分解圖6 油儲(chǔ)量的方差分解7. 格蘭杰（Granger）非因果性檢驗(yàn)格蘭杰非因果性：如果由yt和xt滯后值所決定的yt的條

10、件分布與僅由yt滯后值所決定的條件分布相同，即¦（ yt | yt -1， ， xt -1， ） = ¦（ yt | yt -1， ）則稱(chēng)xt -1對(duì)yt存在格蘭杰非因果性。格蘭杰非因果性的另一種表述是其它條件不變，若加上x(chóng)t的滯后變量后對(duì)yt的預(yù)測(cè)精度不存在顯著性改善，則稱(chēng)xt -1對(duì)yt存在格蘭杰非因果性關(guān)系。為簡(jiǎn)便，通常總是把xt-1 對(duì)yt存在非因果關(guān)系表述為xt（去掉下標(biāo)-1）對(duì)yt存在非因果關(guān)系（嚴(yán)格講，這種表述是不正確的）。檢驗(yàn)式（VAR模型方程之一）是H0： b1 = b2 = = bk = 0。檢驗(yàn)可用F統(tǒng)計(jì)量完成。 F（ k， T - k N ）注意：滯

11、后期k的選取是任意的。（1）以xt和yt為例，如果xt-1對(duì)yt存在顯著性影響，則不必再做滯后期更長(zhǎng)的檢驗(yàn)。（2）如果xt-1對(duì)yt不存在顯著性影響，則應(yīng)該再做滯后期更長(zhǎng)的檢驗(yàn)。且結(jié)論相同時(shí)，才可以最終下結(jié)論。附：格蘭杰非因果性檢驗(yàn)結(jié)果8. VAR模型與協(xié)整如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut， ut IID （0， W）的內(nèi)生變量都含有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個(gè)平穩(wěn)的VAR模型。DYt = P1* DYt-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* （新）然而，當(dāng)這些變量存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，采

12、用差分的方法構(gòu)造VAR模型雖然是平穩(wěn)的，但不是最好的選擇。向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是DYt = （P1 +P2 +Pk - I ） Yt -1- （P2 +P3 +Pk） DYt-1- （P3 +Pk） DYt-2 - Pk DYt - （k-1） +ut令 Gj = -， j = 1， 2， ， k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk I則上式寫(xiě)為DYt = P Yt-1 + G1DYt-1 + G2DYt-2 + + Gk-1DYt-（k-1） + ut根據(jù)Granger定理，向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是A（L） DYt = a b

13、' Yt-1 + d （L） ut其中A（L） 是多項(xiàng)式矩陣A（L）分離出因子（1- L）后降低一階的多項(xiàng)式矩陣，d （L）是由滯后算子表示的多項(xiàng)式矩陣。 Yt-k有如下三種可能。1.當(dāng)Yt 的分量不存在協(xié)整關(guān)系，P的特征根為零，P = 0。2.若rank （P） = N（滿秩），保證 P Yt-k平穩(wěn)的唯一一種可能是Yt I（0）。3.當(dāng)Yt I（1），若保證 P Yt-k平穩(wěn)，只有一種可能，即Yt 的分量存在協(xié)整關(guān)系。例1： P Yt-1 = a b 'Yt-1 = = 例2：設(shè)三個(gè)變量的VAR（1）的誤差修正模型如下（含兩個(gè)協(xié)整關(guān)系）， = + 代數(shù)形式是D y1， t

14、= - （1/2） y1， t-1 - （1/8） y2 t-1 + （1/4） y2， t-1 - （1/4） y3 t-1 + u1 t D y2， t = （1/8） y1， t-1 - （1/8） y2 t-1 （5/8） y2， t-1 - （1/4） y3 t-1 + u2 t D y3， t = （1/4） y1， t-1 - （1/8） y2 t-1 + （3/8） y2， t-1 - （1/4） y3 t-1 + u3 t9. VAR模型中協(xié)整向量的估計(jì)與檢驗(yàn)檢驗(yàn)協(xié)整關(guān)系的零假設(shè)是H0： rk（P） £ r 或 P = a b ' 統(tǒng)計(jì)量是 LR = - 2

15、 （logL（）r - logL（）u） = - T （1- li ） ， r = 0， 1， ， N - 1LR統(tǒng)計(jì)量在零假設(shè) 0 < r < N 或“存在N - r個(gè)單位根”成立條件下不服從c2分布。Johansen證明LR統(tǒng)計(jì)量漸近服從如下分布。tr其中tr （·） 表示跡，W（i） 是N-r維的Wiener過(guò)程。上述統(tǒng)計(jì)量也稱(chēng)作跡統(tǒng)計(jì)量。右單端檢驗(yàn)。上述 LR檢驗(yàn)，H0： rk（P） £ r，是一個(gè)連續(xù)檢驗(yàn)過(guò)程。例： N = 3 的VAR模型的3個(gè)特征根分別是l1 = 0.9， l2 = 0.5， l3 = 0.04。樣本容量T = 100，練習(xí)協(xié)整向量

16、個(gè)數(shù)的檢驗(yàn)過(guò)程。表協(xié)整檢驗(yàn)過(guò)程零假設(shè)N - r 特征值跡統(tǒng)計(jì)量5%水平臨界值r = rk（P ） = 030.90303.6 >34.91r = rk（P ） £ 120.5073.30 >19.96r = rk（P ） £ 210.044.082 <9.24注：LR = - T （1- li ） 。結(jié)論是該VAR模型中存在2個(gè)協(xié)整向量。附：計(jì)算過(guò)程。首先檢驗(yàn)r = 0。 LR = - T （1- li ） = - 100= -100 log（0.1）+ log（0.5）+ log（0.96）= -100 （-2.302-0.693-0.04） = 303

17、.6 > 34.91（臨界值）接著檢驗(yàn)r = 1。 LR = - 100= -100 log（0.5）+ log（0.96）= -100 （-0.693-0.04） = 73.30 > 19.96（臨界值）接著檢驗(yàn)r = 2。 LR = - 100 Ln （1- l3 ） = -100 log（0.96）= -100 （-0.04） = 4.082 < 9.24（臨界值）因?yàn)閞 £ 1已經(jīng)被拒絕，但r £ 2未能被拒絕，所以結(jié)論是該VAR模型中存在2個(gè)協(xié)整向量。例：輸出結(jié)果說(shuō)明3個(gè)變量之間存在一個(gè)協(xié)整關(guān)系。附：說(shuō)明（1） 首先從檢驗(yàn)r = 0開(kāi)始。意即在V

18、AR模型中不存在協(xié)整向量（含有N個(gè)單位根）。如果r = 0不能被拒絕（LR < 臨界值），說(shuō)明N個(gè)變量間不存在協(xié)整關(guān)系。檢驗(yàn)到此終止。不能建立VEC模型。如果r = 0被拒絕（LR > 臨界值），則應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行下面的檢驗(yàn)。（2） r £ 1。意即在VAR模型中存在1個(gè)協(xié)整向量（含有N-1個(gè)單位根）。如果r £ 1不能被拒絕（LR < 臨界值），檢驗(yàn)到此終止。如果r £ 1被拒絕，則應(yīng)進(jìn)一步作如下檢驗(yàn)。（3） r £ N 1。意即在VAR模型中存在N 1個(gè)協(xié)整向量（含有1個(gè)單位根）。如果r £ N 1不能被拒絕（LR < 臨

19、界值），檢驗(yàn)到此終止。如果r £ N 1被拒絕，說(shuō)明r =N。在檢驗(yàn)過(guò)程中，比如r £ r*-1已經(jīng)被拒絕，但r £ r*不能被拒絕，則結(jié)論是VAR模型中存在r*個(gè)協(xié)整向量。（4）協(xié)整檢驗(yàn)過(guò)程中的每一步檢驗(yàn)都屬于右單端檢驗(yàn)。案例分析：英國(guó)購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)和利率平價(jià)的協(xié)整性分析，Johansen-Juselius （1992） 。祥見(jiàn)Journal of Econometrics（計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志）第53卷，211-244頁(yè)。1.購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)和利率平價(jià)同種商品在不同國(guó)家應(yīng)該保持相同價(jià)格。否則就會(huì)存在套利問(wèn)題。但是當(dāng)匯率可以自由浮動(dòng)時(shí)，套利問(wèn)題就會(huì)消除。用Pt表示國(guó)內(nèi)商品價(jià)格，

20、Pt*表示國(guó)外同類(lèi)商品價(jià)格，Et表示購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)，則有Et = Pt / Pt*即一個(gè)單位的外國(guó)貨幣相當(dāng)于多少本國(guó)貨幣。對(duì)數(shù)形式是LnEt = Ln Pt - LnPt*3個(gè)變量的長(zhǎng)期均衡關(guān)系是Ln Pt - LnPt* - LnEt = u1t其中ut表示非均衡誤差，是一個(gè)均值為零，平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。在均衡點(diǎn)處有ut = 0。下面考慮與商品有關(guān)的資本市場(chǎng)條件。生產(chǎn)商品必然與金融資產(chǎn)相聯(lián)系。而金融資產(chǎn)可以用金融債券度量。國(guó)內(nèi)外對(duì)這些債券的利息率是不一樣的。分別用Rt，Rt*表示。資本市場(chǎng)的套利行為對(duì)匯率形成壓力。制定匯率必須使國(guó)內(nèi)外利率差與t+1期、t期之間匯率差相等，即保證Rt - Rt* =

21、E（t） （Et+1） - Et = u2t其中Et 表示名義匯率（貨幣的購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)）。E（t） （Et+1）表示t期對(duì)t+1期匯率的期望。u2t是非均衡誤差，是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。保持Rt，Rt*相等稱(chēng)為利率平價(jià)。2.協(xié)整關(guān)系的預(yù)分析如果用Yt = （LnPt LnPt* LnEt Rt Rt*）'表示變量列向量，希望能存在兩個(gè)協(xié)整關(guān)系。b1 = （1 -1 -1 0 0）'b2 = （0 0 0 1 -1）'b1表示購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)協(xié)整向量，b2表示利率平價(jià)協(xié)整向量。3.估計(jì)協(xié)整向量個(gè)數(shù)r。用Pt表示英國(guó)商品綜合批發(fā)價(jià)格指數(shù)。Pt*表示進(jìn)口商品綜合批發(fā)價(jià)格指數(shù)。Et表示英

22、國(guó)實(shí)際匯率。Rt表示三個(gè)月的金融債券利率。Rt*表示三個(gè)月的歐元利率。樣本數(shù)據(jù)范圍是1972：1-1987：2。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)走勢(shì)的分析，認(rèn)為批發(fā)價(jià)格指數(shù)序列中存在線性趨勢(shì)。所以在VAR模型中應(yīng)該有一個(gè)非約束常數(shù)項(xiàng)（既進(jìn)入?yún)f(xié)整空間，也進(jìn)入數(shù)據(jù)空間）。2階VAR模型估計(jì)結(jié)果顯示殘差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），為非正態(tài)分布。殘差序列的方差很大主要是由于世界石油價(jià)格的變化造成的。用石油價(jià)格調(diào)整批發(fā)價(jià)格指數(shù)，再次估計(jì)2階VAR模型。VAR模型殘差序列的診斷檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1。表1 VAR模型殘差的診斷檢驗(yàn)方程內(nèi)生變量標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度-3JB統(tǒng)計(jì)量序列相關(guān)檢驗(yàn)，LM（20）1LnPt0.0070.291.2

23、74.84 （<5.99）6.09 （<31.41）2LnPt*0.0070.282.1612.44 （>5.99）9.59 （<31.41）3LnEt0.0300.300.170.95 （<5.99）13.54 （<31.41）4Rt0.0110.580.253.55 （<5.99）9.11 （<31.41）5Rt*0.013-0.513.7637.95 （>5.99）16.41 （<31.41） 注： c20.05 （2） = 5.99， c20.05 （20） = 31.41序列相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果顯示5個(gè)方程的隨機(jī)誤差序列都不存在自相關(guān)。但Rt和Rt*仍表現(xiàn)為非正態(tài)性。這是由于它們的弱外生性造成的。在上述2階VAR模型基礎(chǔ)上進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)（見(jiàn)表2）。結(jié)果顯示協(xié)整向量個(gè)數(shù)r = 2。表2 協(xié)整向量個(gè)數(shù)r的檢驗(yàn)H0H1特征根跡統(tǒng)計(jì)量協(xié)整檢驗(yàn)臨界值，a=0.0