立體幾何的體積和表面積輔導講義

1、學科教師輔導教案 學員姓名 年 級高一 輔導科目數(shù) 學授課老師課時數(shù)2h 第 次課授課日期及時段 2016年 月 日 ： ： 空間幾何體的表面積和體積 1空間幾何體的結構特征多面體(1)棱柱的側棱都平行且相等，上、下底面是全等的多邊形. (2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形. (3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.旋轉體(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉得到. (2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉得到. (3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.

2、 (4)球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉得到.2.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正，高平齊，寬相等直觀圖空間幾何的直觀圖：常用斜二測畫法來畫. 基本步驟是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x軸，y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.3.柱、錐、臺和球的表面積和體積 名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側S底VSh臺體(棱臺和圓臺

3、)S表面積S側S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐(×)(3)用斜二測畫法畫水平放置的A時，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90°，則在直觀圖中，A45°.(×)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同(×)(5)圓柱的側面展開圖是矩形()(6)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差來計算()1下列說法正確的是()A相等的角在直觀圖中

4、仍然相等B相等的線段在直觀圖中仍然相等C正方形的直觀圖是正方形D若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行答案D解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行性不變2某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A圓柱 B圓錐 C四面體 D三棱柱答案A解析由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形，故選A.3將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是()A4 B3 C2 D答案C解析底面圓半徑為1，高為1，側面積S2rh2×1×12.故選C.4將邊長為a的正方形

5、ABCD沿對角線AC折起，使得BDa，則三棱錐DABC的體積為()A. B. C.a3 D.a3答案D解析O是AC的中點，連接DO，BO，ADC，ABC都是等腰直角三角形因為DOBOa，BDa，所以BDO也是等腰直角三角形又因為DOAC，DOBO，ACBOO，所以DO平面ABC，即DO就是三棱錐DABC的高因為SABCa2，所以三棱錐DABC的體積為××a2×aa3，故選D.題型一空間幾何體的結構特征例1給出下列命題：棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該

6、四棱柱為直四棱柱；存在每個面都是直角三角形的四面體；棱臺的側棱延長后交于一點其中正確命題的序號是_答案解析不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面構成的三個平面的二面角都是直二面角；正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體AC1中的三棱錐C1ABC，四個面都是直角三角形；正確，由棱臺的概念可知思維升華(1)解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據(jù)條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的

7、幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學會利用反例對概念類的命題進行辨析 給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等其中正確命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案A解析不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；不一定，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖1所示；不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2所

8、示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等 圖1圖2題型二空間幾何體的三視圖和直觀圖例2(1)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是()(2)正三角形AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖的面積是_思維點撥(1)由上向下看，可見線段都應畫出；(2)與x軸平行或重合的線段長度不變，與y軸平行或重合的線段長度為原來的.解析(1)該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相

9、等，因此選B.(2)畫出坐標系xOy，作出OAB的直觀圖OAB(如圖)D為OA的中點易知DBDB(D為OA的中點)，SOAB×SOAB×a2a2.思維升華(1)三視圖中，正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬，即“長對正，寬相等，高平齊”；(2)解決有關“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標系，盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關鍵線段長度的關系 (1)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A三棱錐 B三棱柱 C四棱錐 D四棱柱(2)如圖

10、，矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是()A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四邊形答案(1)B(2)C解析(1)如圖，幾何體為三棱柱(2)如圖，在原圖形OABC中，應有OD2OD2×24 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四邊形OABC是菱形題型三空間幾何體的表面積與體積例3(1）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為() A. B. C. D.(2)一個多面體的

11、三視圖如圖所示，則該多面體的體積為() A. B. C6 D7(3)有三個球，第一個球內切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，則這三個球的表面積之比為_思維點撥(1)由側視圖，可想到幾何體為兩圓柱的組合體；(2)考慮實、虛線的意義答案(1)C(2)A(3)123解析(1)由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個圓柱的組合體其中左面圓柱的高為4 cm，底面半徑為2 cm，右面圓柱的高為2 cm，底面半徑為3 cm，則組合體的體積V1×22×4×32×2161834(cm3)，原毛坯體積V2×32×654(

12、cm3)，則所求比值為.(2)該幾何體是正方體去掉兩個角所形成的多面體，其體積為V2×2×22×××1×1×1.(3)設正方體的棱長為a，正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面如圖所示，有2r1a，r1，S14ra2.球與正方體的各條棱的切點在各棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面如圖所示，有2r2a，r2a，S24r2a2.正方體的各頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面如圖所示，有2r3a，r3a，S34r3a2.綜上可得，S1S2S3123.思維升華(1)解決組合體問題關鍵

13、是分清該幾何體是由哪些簡單的幾何體組成的以及這些簡單的幾何體的組合情況；(2)由三視圖求幾何體的面積、體積，關鍵是由三視圖還原幾何體，同時還需掌握求體積的常用技巧如：割補法和等價轉化法 (1)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328 C488 D80(2)把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成三棱錐CABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為()A. B. C. D.答案(1)C(2)C解析(1)由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底面，

14、上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側面是矩形，寬為4，長為.所以S表422×4×(24)×4×24××2488.(2)因為C在平面ABD上的射影為BD的中點O，在邊長為1的正方形ABCD中，AOCOAC，所以側視圖的面積等于SAOCCO·AO××，故選C.三視圖識圖中的易誤辨析典例：將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為()易誤分析(1)不能正確把握投影方向、角度致誤；(2)不能正確確定點、線的投影位置；(3)不能正確應用實虛線區(qū)分可見線與非可見線解析側視圖

15、中能夠看到線段AD1，應畫為實線，而看不到B1C，應畫為虛線由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應選B.答案B溫馨提醒(1)因對三視圖的原理認識不到位，區(qū)分不清選項A和B，而易誤選A；(2)因對三視圖的畫法要求不明而誤選C或D.在畫三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫，被遮住的部分的輪廓線用虛線畫；(3)解答此類問題時，還易出現(xiàn)畫三視圖時對個別視圖表達不準而不能畫出所要求的視圖，在復習時要明確三視圖的含義，掌握“長對正、寬相等、高平齊”的要求.方法與技巧1三視圖的畫法特征：“長對正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬2求空間幾何體的側面

16、積、體積的思想與方法(1)轉化與化歸思想：計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法(2)求體積的兩種方法：割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決等積法：等積法包括等面積法和等體積法等體積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值失誤與防范1畫三視圖應注意的

17、問題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法(2)確定正視、側視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同2求空間幾何體的表面積應注意的問題(1)求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理(2)底面是梯形的四棱柱側放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯.1下列結論中正確的是()A各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐D圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線答案D解析當一個幾何體由具

18、有相同的底面且頂點在底面兩側的兩個三棱錐構成時，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉軸不是直角邊所在直線，所得幾何體就不是圓錐，B錯誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必然要大于底面邊長，故C錯誤2五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱對角線的條數(shù)共有()A20 B15 C12 D10答案D解析如圖，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，從頂點A出發(fā)的對角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點出發(fā)的對角線均有兩條，共2×

19、;510(條)3已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為()A. B4 C2 D.答案D解析正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點，所以球的半徑r 1，球的體積Vr3.故選D.4某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A72 cm3 B90 cm3 C108 cm3 D138 cm3答案B解析該幾何體為一個組合體，左側為三棱柱，右側為長方體，如圖所示VV三棱柱V長方體×4×3×34×3×6187290(cm3)5沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖

20、所示，則該幾何體的側視圖為()答案B解析由已知中幾何體的直觀圖，我們可得側視圖首先應該是一個正方形，故D不正確；中間的棱在側視圖中表現(xiàn)為一條對角線，故C不正確；而對角線的方向應該從左上到右下，故A不正確6若一個圓柱的正視圖與其側面展開圖相似，則這個圓柱的側面積與表面積的比值為_答案解析設圓柱的底面半徑為r，高為h，則，則h2r，則S側2r·h4r2，S全4r22r2，故圓柱的側面積與表面積的比值為.7一個幾何體的三視圖如圖所示，其中側視圖與俯視圖均為半徑是2的圓，則這個幾何體的體積是_答案8解析由三視圖知該幾何體是半徑為2的球被截去四分之一后剩下的幾何體，則該幾何體的體積V×

21、;×23×8.8如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.答案124解析設三棱錐FADE的高為h，則.9如圖所示的三個幾何體，一個是長方體，一個是直三棱柱，一個是過圓柱上、下底面圓心切下圓柱的四分之一部分，若這三個幾何體的正視圖和俯視圖是相同的正方形，求它們的表面積之比解由題意可知這三個幾何體的高都相等，設長方體的底面正方形的邊長為a，高也等于a，故其表面積為S16a2.直三棱柱的底面是腰長為a的等腰直角三角形，高為a，故其表面積為S2×a

22、5;a×a×a(aaa)×a(3)a2.圓柱的底面是半徑為a的圓的，高為a，故其表面積為S3a2a2a2a2×2a×a(2)a2.所以它們的表面積之比為S1S2S36a2(3)a2(2)a26(3)(2)10已知一個上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺的兩底面邊長分別為20 cm和30 cm，且其側面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高解如圖所示，三棱臺ABCA1B1C1中，O、O1分別為兩底面中心，D、D1分別為BC和B1C1的中點，則DD1為棱臺的斜高由題意知A1B120，AB30，則OD5，O1D1，由S側S上S下，得

23、15;(2030)×3DD1×(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，O1O4，所以棱臺的高為4 cm.1、如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)證明：GHEF； (2)若EB2，求四邊形GEFH的面積(1)證明因為BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PAPC，O是AC的中點

24、，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內，所以PO底面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因為平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K為OB的中點再由POGK得GKPO，即G是PB的中點，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四邊形GEFH的面積S·GK×318.思維升華高考對該部分的考查重點是空間的平行關系和垂直關系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度中

25、等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關系的基本定理在判斷線面位置關系中的應用2、如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB中點，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.3、在如圖所示的

26、多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形(1)若ACBC，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE平面A1MC？請證明你的結論(1)證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因為AB，AC為平面ABC內兩條相交的直線，所以AA1平面ABC.因為直線BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1和AC為平面ACC1A1內兩條相交的直線，所以BC平面ACC1A1.(2)解取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設點O為A1C，AC1的交點由已知，點O為AC1的中點連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.連接