第十三章-壓桿穩(wěn)定

1、第十三章 壓桿穩(wěn)定1 基本概念及知識(shí)要點(diǎn)1.1 基本概念理想受壓直桿、理想受壓直桿穩(wěn)定性 、屈曲、 臨界壓力。1.2 臨界壓力細(xì)長(zhǎng)壓桿（大柔度桿）用歐拉公式計(jì)算臨界壓力（或應(yīng)力）；中柔度桿用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界壓力（或應(yīng)力）；小柔度桿發(fā)生強(qiáng)度破壞。1.3 穩(wěn)定計(jì)算為了保證受壓構(gòu)件不發(fā)生穩(wěn)定失效，需要建立如下穩(wěn)定條件，進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算： 穩(wěn)定條件2 重點(diǎn)與難點(diǎn)及解析方法2.1臨界壓力臨界壓力與壓桿的材料、截面尺寸、約束、長(zhǎng)度有關(guān)，即和壓桿的柔度有關(guān)。因此，計(jì)算臨界壓力之前應(yīng)首先確定構(gòu)件的柔度，由柔度值確定是用歐拉公式、經(jīng)驗(yàn)公式還是強(qiáng)度公式計(jì)算臨界壓力。2.2穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算是材料力學(xué)中的重要內(nèi)容，

2、是本課程學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。利用穩(wěn)定條件可進(jìn)行穩(wěn)定校核，設(shè)計(jì)壓桿截面尺寸，確定許用外載荷。穩(wěn)定計(jì)算要求掌握安全系數(shù)法。解析方法：穩(wěn)定計(jì)算一般涉及兩方面計(jì)算，即壓桿臨界壓力計(jì)算和工作壓力計(jì)算。臨界壓力根據(jù)柔度由相應(yīng)的公式計(jì)算，工作壓力根據(jù)壓桿受力分析，應(yīng)用平衡方程獲得。3典型問(wèn)題解析3.1 臨界壓力例題13.1材料、受力和約束相同，截面形式不同的四壓桿如圖圖131所示，面積均為3.2×103mm2，截面尺寸分別為(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，s=235MPa，cr=3041.

3、12，p=100，s=61.4，試計(jì)算各桿的臨界荷載。3mF2bbad0.7dD圖131解壓桿的臨界壓力，取決于壓桿的柔度。應(yīng)根據(jù)各壓桿的柔度，由相應(yīng)的公式計(jì)算壓桿的臨界壓力。(1)、兩端固定的矩形截面壓桿，當(dāng)b=40mm時(shí) P 此壓桿為大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力(2)、兩端固定的正方形截面壓桿，當(dāng)a=56.5mm時(shí)所以s<<P 此壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力cr2=304-1.122=304-1.12×92=200.9MPa(3)、兩端固定的實(shí)心圓形截面壓桿，當(dāng)d=63.8mm時(shí)s<<P 此壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力(4)、

4、兩端固定的空心圓形截面壓桿，當(dāng)D=89.3mm，d=62.5mm時(shí)<s 此壓桿為短粗桿，壓桿首先發(fā)生強(qiáng)度破壞，其臨界應(yīng)力解題指導(dǎo)：1計(jì)算壓桿的臨界壓力時(shí)，需要綜合考慮壓桿的材料、約束、長(zhǎng)度、慣性半徑，即需要首先計(jì)算壓桿的柔度，根據(jù)柔度值，代入相應(yīng)的公式計(jì)算壓桿的臨界壓力。當(dāng) P 時(shí) 壓桿為大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力；s<<P時(shí) 壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力；<s 時(shí) 壓桿為短粗桿，壓桿將首先發(fā)生強(qiáng)度破壞。2由此例題可見(jiàn)，慣性半徑越大,柔度越小,承載能力越強(qiáng)。例題13.2矩形截面桿如圖132所示，桿兩端用銷釘連接，在正視圖中，連接處允許壓桿繞銷釘在鉛垂

5、面轉(zhuǎn)動(dòng)，兩端約束可簡(jiǎn)化為兩端鉸支。在俯視圖中，連接處不允許壓桿在水平面內(nèi)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，兩端約束視為兩端固定。已知桿長(zhǎng)L=2.3m 截面尺寸b=40mm h=60mm 材料的E=205GPa P=132 s=61，試求此桿的臨界壓力Fcr。FPFPFPFP圖132解1若在正視圖內(nèi)失穩(wěn)（鉛垂方向）：1 , 2若在俯視圖內(nèi)失穩(wěn)（水平面內(nèi)）：0.5 , 所以，壓桿在正視圖失穩(wěn)。3計(jì)算壓桿的臨界壓力Fcr 用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力解題指導(dǎo)：對(duì)于這類問(wèn)題，需首先計(jì)算兩個(gè)方向的柔度，判斷壓桿首先沿哪個(gè)方向失穩(wěn)。例題13.3圖13-3所示立柱長(zhǎng)L=6m，由兩根10號(hào)槽鋼組成，試問(wèn)a多大時(shí)立柱的臨界荷載Fcr最大，

6、并求其值。已知: 材料E=200GPa，P=200MPa。zyy0az0FP圖133解1慣性矩查型鋼表可知，由兩根10號(hào)槽鋼組成的組合截面對(duì)形心主慣性軸的慣性矩分別為:當(dāng)a值較小時(shí)，Iy< Iz，y>z，壓桿失穩(wěn)時(shí)，以y軸為中性軸彎曲；當(dāng)a值較大時(shí)，Iz <Iy，z>y，壓桿失穩(wěn)時(shí)，以z軸為中性軸彎曲；2當(dāng)立柱的臨界荷載最高，壓桿對(duì)z軸和y軸應(yīng)有相等的穩(wěn)定性。即：即3最大臨界荷載Fcr 壓桿的柔度iy=iz =i由于所以，P 壓桿為大柔度桿用歐拉公式計(jì)算臨界壓力例題13.4所示工字鋼直桿在溫度t1 = 20時(shí)安裝，此時(shí)桿不受力，已知桿長(zhǎng)l = 6m，材料的P=132 ,

7、 E = 200GPa，線膨脹系數(shù)=12.5×10-6 /。試問(wèn)當(dāng)溫度升高到多少度時(shí)桿將失穩(wěn)。FBFA圖13-4解隨著溫度的升高，直桿在桿端受到壓力FAFB，當(dāng)兩端壓力達(dá)到壓桿的臨界壓力即：FAFBFcr時(shí)，壓桿將失穩(wěn)。1. 桿的工作壓力由靜不定結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件2壓桿的臨界壓力P 壓桿為大柔度桿。用歐拉公式計(jì)算臨界壓力3壓桿失穩(wěn)時(shí)，需要升高的溫度值由 FAFBFcr3.2 穩(wěn)定計(jì)算例題135： 鋼桿AB如圖135所示，已知的桿的長(zhǎng)度lAB=80cm, ，經(jīng)驗(yàn)公式，nst=2，試校核AB桿。圖135解1桿AB的工作壓力：分析梁CBD的受力，據(jù)其平衡方程可得FAB=159kN2桿AB的

8、臨界壓力：壓桿的柔度 用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：壓桿的臨界壓力Fcr=crA=270kN3計(jì)算壓桿的工作安全系數(shù)，進(jìn)行穩(wěn)定校核由壓桿的穩(wěn)定條件所以，AB桿不安全。解題指導(dǎo)：請(qǐng)讀者思考：若校核整個(gè)結(jié)構(gòu)，如何求解？ 若由AB桿確定整個(gè)結(jié)構(gòu)的許用外載荷，如何求解？例題13.6：材料相同的鋼桿AB、AC，直徑均為d=80cm, ，經(jīng)驗(yàn)公式，nst=5，E=210GPa，試求許用外載荷FP。圖136FP解1確定桿AB、AC的工作壓力：由節(jié)點(diǎn)A的受力及平衡方程可得FAB=0.5 FP FAC=0.866 FP2計(jì)算由AB桿穩(wěn)定條件確定的許用外載荷：AB桿的柔度 用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：由壓桿穩(wěn)定

9、條件則許用外載荷FP139.2kN3計(jì)算由AC桿穩(wěn)定條件確定的許用外載荷AB桿的柔度 用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：由壓桿穩(wěn)定條件則許用外載荷FP240.6kN4確定整個(gè)結(jié)構(gòu)的許用載荷由穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)的許用載荷為FP=139.2kN解題指導(dǎo)：對(duì)于這類題目，所確定的載荷要確保整個(gè)結(jié)構(gòu)所有受壓桿件勻不失穩(wěn)。由于桿AB、AC所受壓力和柔度均不相同，需要首先分別求出由兩桿確定的各自許用外荷載，然后取其中較小的一個(gè)，做為整個(gè)結(jié)構(gòu)的許用外載荷。例題13.7：兩端為球鉸的壓桿，由兩根等邊角鋼鉚接而成，型鋼的外形尺如圖137所示。已知鉚釘孔直徑為23mm，壓桿長(zhǎng)度l=2.4m，所受外力FP800kN

10、，nst=1.48， ，經(jīng)驗(yàn)公式，材料的許用應(yīng)力=160MPa，試校核壓桿是否安全。FPl圖137解圖137所示壓桿有兩種可能的失效形式：失穩(wěn)：整個(gè)壓桿由直線形式的平衡變?yōu)榍€形式的平衡，局部截面尺寸變化對(duì)彎曲變形影響很小，個(gè)別截面上鉚釘開(kāi)孔對(duì)整個(gè)壓桿的穩(wěn)定性影響可忽略不計(jì)。因此，在壓桿穩(wěn)定計(jì)算中，采用未開(kāi)鉚釘孔時(shí)的壓桿橫截面尺寸（相應(yīng)的面積稱為“毛面積”，用A表示）；強(qiáng)度失效，在鉚釘開(kāi)孔截面，截面尺寸的削弱，會(huì)導(dǎo)致截面上的正應(yīng)力增大，超過(guò)材料的許用應(yīng)力。因此需要校核鉚釘開(kāi)孔處橫截面上的正應(yīng)力強(qiáng)度。在計(jì)算中要用開(kāi)孔后的截面尺寸（其面積稱為“凈面積”，用A0表示）。綜上所述，需要首先分別校核壓桿

11、的整體穩(wěn)定和鉚釘開(kāi)孔處正應(yīng)力強(qiáng)度，才能判斷出壓桿是否安全。1穩(wěn)定校核 壓桿失穩(wěn)時(shí)，二等邊角鋼將作為一整體發(fā)生屈曲，并繞組合截面慣性矩最小的形心主軸（z軸）轉(zhuǎn)動(dòng)其中Iz1、iz1和A1分別為單根角鋼對(duì)z軸的慣性矩、慣性半徑和橫截面面積，可由型鋼表中查得。 所以，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：代入穩(wěn)定條件，進(jìn)行穩(wěn)定校核所以壓桿穩(wěn)定。2強(qiáng)度校核：組合截面在鉚釘孔處因開(kāi)孔而削弱，削弱后的凈面積為：A0=2×28.9×10-42×0.023×0.012=5.28×10-3m2該截面上的正應(yīng)力壓桿強(qiáng)度安全3由上述穩(wěn)定計(jì)算和強(qiáng)度計(jì)算可知，壓桿安全。解題指導(dǎo)：

12、1壓桿穩(wěn)定計(jì)算用毛面積，強(qiáng)度計(jì)算用凈面積。2請(qǐng)讀者思考：如果兩根槽鋼只在兩端連接，這時(shí)上述穩(wěn)定計(jì)算和強(qiáng)度計(jì)算會(huì)不會(huì)發(fā)生變化? 例題13.8 圖138所示正方形桁架結(jié)構(gòu)，由五根圓截面鋼桿組成，連接處均為鉸鏈，各桿直徑均為d40 mm，a1 m。材料的p=110，s=60，E200 GPa，經(jīng)驗(yàn)公式為 ，nst1.8。試求結(jié)構(gòu)的許可載荷。 圖138解1計(jì)算各桿的受力值分別以節(jié)點(diǎn)A、B為研究對(duì)象，應(yīng)用平面匯交力系平衡方程，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可計(jì)算和確定出各桿的受力分別為FDB = FP（拉）由上述計(jì)算結(jié)果可知，桿AB、AD、BC、CD為壓桿，應(yīng)考慮的失效形式為失穩(wěn)，需要進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算；桿BD為拉桿

13、，應(yīng)考慮的失效形式為強(qiáng)度失效，需進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。2穩(wěn)定計(jì)算對(duì)于AB等壓桿 用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：由穩(wěn)定條件3. 強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于拉桿BD，F(xiàn)N = FDB = FP，由強(qiáng)度條件可得4結(jié)構(gòu)的許可載荷由上述穩(wěn)定計(jì)算和強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)的許用載荷為（a）例題13.9材料相同的梁及柱如圖13-9（a）所示，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體），承受均布載荷q = 24 kN/m，材料的許用應(yīng)力=160MPa，E = 200 GPa，P=132, ，經(jīng)驗(yàn)公式 ，nst2.8。試校核該結(jié)構(gòu)。FRCF´RCFAFBxAEDCBxMCMDME（b）（c）A圖13

14、91由C點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件，計(jì)算多余未知力原結(jié)構(gòu)為一次靜不定，取如圖139（b）所示靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)。由變形協(xié)調(diào)條件其中得2梁的強(qiáng)度校核梁的受力如圖139(c)所示，由平衡方程， 得梁的支反力梁的彎矩圖如圖139(c)所示。C截面彎矩D或E處剪力Fs=0，由得D截面位置為x = 0.75 m所以，D或E截面梁彎矩值：所以，梁上最大彎矩值為梁的最大正應(yīng)力為：梁安全。3柱的穩(wěn)定計(jì)算柱的柔度 用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：臨界壓力工作安全系數(shù)柱也安全。4由上述梁的強(qiáng)度計(jì)算和柱的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果可知，整個(gè)結(jié)構(gòu)安全。例題13.10 一直徑為d的圓截面平面曲拐ABC（ABBC，位于xz平面），與直徑為d0的圓截

15、面桿CD鉸接于C點(diǎn)，如圖1310所示。今有一重為W的物體，由高度為H處自由落下沖擊于曲拐B點(diǎn)，已知材料的力學(xué)性能分別為：p = 200MPa，E = 200GPa，G = 80GPa，=0.3；結(jié)構(gòu)尺寸：d = 50mm，d0 = 10mm， l = 1m，載荷W = 200N，高度H = 20mm；強(qiáng)度安全系數(shù)n = 2，穩(wěn)定安全系數(shù) nw = 1.5。試校核CD桿的安全。l2llABCDzxyHW圖1310解1計(jì)算多余未知力在此空間結(jié)構(gòu)B點(diǎn)上作用靜載荷W，該一次靜不定結(jié)構(gòu)在C點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件為：平面曲拐在點(diǎn)的位移等于CD桿的壓縮量，即設(shè)桿CD承受壓力為F，則代入，解出2沖擊動(dòng)荷系數(shù)靜載荷W

16、作用于原空間結(jié)構(gòu)B點(diǎn)時(shí)，用疊加法可求得沖擊點(diǎn)相應(yīng)的靜位移為：代入自由落體時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)表達(dá)式，得：3CD桿承受的動(dòng)荷4校核CD桿由于CD桿為壓桿，應(yīng)進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算CD桿的柔度而 故CD為大柔度桿， 用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：工作安全系數(shù)所以CD桿不安全的。例題13.11：承壓立柱由兩根32a槽鋼組成，若柱的總長(zhǎng)為 l=8m，兩端球鉸約束，中間由間距為a 的綴條用鉚釘連接，如圖1311所示。鉚釘直徑d=17mm， 材料的s=235MPa， ns=1.47 nst=1.58 1=132 2=60 經(jīng)驗(yàn)公式cr=235-6.8×10-32，試求：1為使立柱承受最大載荷，b的合理取值；2求立

17、柱承載最大時(shí)的許用載荷；3在許用載荷作用下a的取值。解1為使立柱承受最大載荷，立柱在y、z方向應(yīng)具有相同的穩(wěn)定性，則y=z，即：Iy=Iz 查型鋼表計(jì)算得：b=289.6mm2最大許用載荷：1）由穩(wěn)定條件 查型鋼表計(jì)算可知 i=124.9mm 整個(gè)組合壓桿的柔度為圖1311 用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力：由穩(wěn)定條件得立柱的許用載荷2）考慮鉚釘處的截面削弱，由強(qiáng)度條件：得立柱的許用載荷F1548kN由上述穩(wěn)定計(jì)算和強(qiáng)度計(jì)算可知，壓桿的最大許用載荷為F1276kN3確定a的取值:為保證整體和局部具有同樣的穩(wěn)定性，同時(shí)失穩(wěn)，要求由上式可得a=1603mm4 自我測(cè)試圖13121正三角形截面壓桿，如圖

18、1312所示，其兩端為球鉸鏈約束，加載方向通過(guò)壓桿軸線。當(dāng)載荷超過(guò)臨界值，壓桿發(fā)生屈曲時(shí)，橫截面將繞哪一根軸轉(zhuǎn)動(dòng)？現(xiàn)有四種答案，請(qǐng)判斷哪一種是正確的。（A） 繞y軸；（B） 繞通過(guò)形心C的任意軸；（C） 繞z軸；（D） 繞y軸或z軸。 正確答案是 2 兩端為球鉸的細(xì)長(zhǎng)壓桿，有面積相同的四種截面可供選擇，如圖1313所示，由穩(wěn)定性考慮：圖1313(A)空心圓截面一定最好；(B)圓截面最不好；(C)正方形截面一定比矩形、圓形好；(D)矩形截面一定比圓形截面好。正確答案是： 3兩個(gè)壓桿材料和細(xì)長(zhǎng)比均相同，則：(A)兩桿的臨界力與臨界應(yīng)力均相等；(B)兩桿的臨界應(yīng)力不等，但臨界力相等；(C)兩桿的臨界

19、應(yīng)力相等，但臨界力不一定相等；(D)兩桿的臨界力與臨界應(yīng)力均不一定相等。正確答案是： 4圓截面壓桿(a)、(b)如圖1314所示，材料相同，橫截面積，桿長(zhǎng)，約束情況如圖示。兩桿的柔度以、表示，臨界載荷以和表示，則：圖1314(A)，； (B) ，；(C) ，； (D) ，。正確答案是： 5圖1315所示壓桿(a)、(b)均為細(xì)長(zhǎng)桿，兩桿的材料、桿長(zhǎng)、截面形狀和尺寸均相同，h = 2b ，臨界載荷分別為和，則：圖1315（A）； （B）；（C）； （D）。正確答案是： 6 圖1316所示(a)、(b)、(c)三種截面，尺寸如圖1316所示。研究抗失穩(wěn)能力時(shí)，需計(jì)算各自的慣性半徑i。若三種截面的慣

20、性半徑分別為ia，ib，ic，則：（A）； （B）；（C）； （D）。圖1316正確答案是： 7 圖1316中四桿均為圓截面直桿，桿長(zhǎng)相同，且均為軸向加載，關(guān)于四桿臨界壓力的大小，有四種解答，試判斷哪一種是正確的（設(shè)其中彈簧的剛度較大）。（A） Fcr（a）<Fcr（b）<Fcr（c）<Fcr（d）；（B） Fcr（a）>Fcr（b）>Fcr（c）>Fcr（d）；（C） Fcr（b）>Fcr（c）>Fcr（d）>Fcr（a）；圖1316（D） Fcr（b）>Fcr（a）>Fcr（c）>Fcr（d）。 正確答案是： 8 圖1317所示結(jié)構(gòu)，梁和桿的材料相同，AB梁為N016工字鋼,BC為直徑d=60mm的圓形截面桿，已知:材料的E=205GP