第28講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（2）

1、第28講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（2）2. 函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程,不等式綜合在一起,解決極值，最值等問(wèn)題, 這類(lèi)問(wèn)題涉及到求極值和極值點(diǎn),求最值,有時(shí)需要借助于方程的理論解決問(wèn)題;【例1】已知函數(shù)在處有極值為,則的值為( ). A. 或 B. 或 C. D. 【解】,由題意有 解得 和但是,當(dāng)時(shí),此時(shí),為上的增函數(shù),沒(méi)有極值,故只有解于是,因此,選D.【例2】（2008天津 文21）已知函數(shù) ，其中（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍【解】（）當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：02000極小值極大值極小值所以在，內(nèi)是增函

2、數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)（），顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須恒成立，即有解此不等式，得這時(shí)，是唯一極值滿足條件的的取值范圍是（）解法1：由條件，可知，從而恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在處存在極小值，從而函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 即 在上恒成立易得，因此滿足條件的的取值范圍是解法2：記，是關(guān)于的一次函數(shù)，因當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以即也就是在時(shí)恒成立，只考慮.令，因?yàn)閷?duì)于恒成立.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在時(shí)取得最小值，所以.滿足條件的的取值范圍是【例3】（2008浙江卷, 理）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)為在區(qū)間上

3、的最小值（）寫(xiě)出的表達(dá)式；（）求的取值范圍，使得【解】（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間若，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間（）（）若，在上單調(diào)遞增，所以浙江 理21 解圖1如圖1，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞增，所以如圖2，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以浙江 理21 解圖2綜上所述，（）令若，此時(shí)，不等式無(wú)解；若，由，解得，由，故；若，解得故的取值范圍為【例4】(2007安徽卷,文) 設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為（I）求的表達(dá)式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值【解】（I）我們有 由于，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即 （II）我們有列表如下：極大值極小值由此可見(jiàn)

4、，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為【例5】(2006年山東卷,文）設(shè)函數(shù)()求的單調(diào)區(qū)間；() 討論的極值.【解】由已知得 ，令，解得 .（）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0+00增極大值減極小值增從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（）由（）知， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.【例6】(2006遼寧卷,理）已知函數(shù),其中是以為公差的等差數(shù)列，且,設(shè)為的極小值點(diǎn),在上，處取得最大值，在處取得最小值，將點(diǎn)依次為 ()求的值; ()若有一邊平行于軸，且面積為，求的值【解】() 令,得，當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 所以

5、在處取得極小值即.() 的圖像的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸方程為由知在上的最大值為，即又由當(dāng)時(shí), 取得最小值為,由有一條邊平行于軸知AC平行于軸,所以 又由三角形ABC的面積為得利用,得, 聯(lián)立,可得. 【例7】(2007全國(guó)卷,文) 已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（）證明；（）若,求z的取值范圍?！窘狻浚ǎ┣蠛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由，得（）在題設(shè)下，等價(jià)于即ba2124O化簡(jiǎn)得此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線：所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：在這三點(diǎn)的值依次為所以的取值范圍為【例8】(2005全國(guó)卷II，理) 已知函數(shù)（）當(dāng)x

6、為何值時(shí)，f (x)取得最小值？證明你的結(jié)論；（）設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.【解】（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得 令，得，從而，解得，其中當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00增極大值減極小值增當(dāng)在處取到極大值，在處取到極小值. 下面證明,當(dāng)時(shí), 取得最小值.當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.（II）解法1.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?所以,在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，解得.綜上，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件.即的取值范圍是. 解法2.由（I）可知,且在處取到極大值,因此,若在上是單調(diào)函數(shù),則在 上是單調(diào)減函數(shù).在上是單調(diào)減函數(shù),等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,等價(jià)于區(qū)間上成立.即解得.

7、【例9】(2007海南和寧夏卷,理) 設(shè)函數(shù)（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于【解】（），依題意有，故從而的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少（）的定義域?yàn)?，方程的判別式（）若，即，在的定義域內(nèi)，故無(wú)極值（）若，則或若，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以無(wú)極值若，也無(wú)極值（）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，從而在的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故無(wú)極值當(dāng)時(shí)，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以,在取得極值綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為的極值之和為【練習(xí)題】1.已知 () 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;() 若對(duì)于任意,恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;() 若的值域是,求實(shí)數(shù)的值.2.(2005重慶卷，理)已知，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,存在兩個(gè)極值點(diǎn) ()若求使不等式有解的的取值范圍;()若且不是整數(shù),區(qū)間也不含整數(shù)，試證明存在整數(shù)使【練習(xí)題參考答案】1.() 當(dāng)時(shí), , . 故在時(shí)為增函數(shù).則在上的最小值為.() 設(shè),.對(duì)于,恒成立恒成立成立.在時(shí)為增函數(shù).,解得.() 當(dāng)時(shí), ,在時(shí)恒有,值域不可能是;當(dāng)時(shí), ,在時(shí),是增函數(shù),最小值為,令,得.因此, 時(shí),的值域是.2。 令,得（1）當(dāng)xx1+00+極大值極小值即此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).（2）當(dāng)有兩個(gè)相同的實(shí)根