任意角的三角函數(shù)的數(shù)學教案

1、任意角的三角函數(shù)的數(shù)學教案【教學目標：】1通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值2掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函數(shù)值（即給角求值問題）【教學重點：】任意角的三角函數(shù)的定義【教學難點：】任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示【教學用具：】直尺、圓規(guī)、投影儀【教學步驟：】1設置情境角的范圍已經推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題2探索研究（1）復習回憶銳角三角函數(shù)我們已經學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角 的正弦、

2、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示（2）任意角的三角函數(shù)定義如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 定義：比值 叫做 的正弦，記作 ，即 比值 叫做 的余弦，記作 ，即 圖1比值 叫做 的正切，記作 ，即 同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關呢？利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關，只與角 的大小有關請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上

3、，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義比值 叫做 的余切，記作 ，則 比值 叫做 的正割，記作 ，則 比值 叫做 的余割，記作 ，則 可以看出：當 時， 的終邊在 軸上，這時 的.縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)（3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)對于確定的角 ，如圖2所

4、示， ， ， 分別對應的比值各是一個確定的實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都可以看成是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)即：實數(shù)角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）三角函數(shù)值（實數(shù)）（4）三角函數(shù)的一種幾何表示利用單位圓有關的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3圖3設任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點 ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時）或其反向延長線（當 為第二、三象限時）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：這幾條與單位圓有關的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線當角 的終邊在