04-1連續(xù)性的概念

1、第四章函數(shù)的連續(xù)性§ 1連續(xù)性的概念(一)教學(xué)目的：掌握函數(shù)連續(xù)性概念.教學(xué)內(nèi)容:深刻理解函數(shù)連續(xù)，函數(shù)左右連續(xù)，區(qū)間上函數(shù)連續(xù)，間斷點(diǎn)及其分類(lèi)等概念.對(duì)一般的函數(shù)特別是初等函數(shù)可以討論其間斷點(diǎn)并且分類(lèi)基本要求:1)掌握函數(shù)連續(xù)性概念，可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)，第二類(lèi)間斷點(diǎn)，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的定義.2)較高要求：討論黎曼函數(shù)的連續(xù)性.教學(xué)建議:(1)函數(shù)連續(xù)性概念是本節(jié)的重點(diǎn).對(duì)學(xué)生要求懂得函數(shù)在一點(diǎn)和在區(qū)間上連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)的分類(lèi).(2)本節(jié)的難點(diǎn)是用較高的分析方法、技巧證明函數(shù)的連續(xù)性，對(duì)較好學(xué)生布置有關(guān)習(xí)題.函數(shù)在一點(diǎn)X0的連續(xù)先回顧一下函數(shù)在Xo點(diǎn)的極限ximtf(xA設(shè)函數(shù)

2、f (x)在xo的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)V £ >036 >0，當(dāng) 0<|x -xo I < § 時(shí)，都有 I f(X)- A I < £，則稱(chēng) f (x)在 xt xo時(shí)，以A為極限。這里f(xo)可以有三種情況1) f (xo)無(wú)定義，比如上章講過(guò)的特殊極限limSin(xo1To X - Xo，上X , X工xo2)f(XoA，比如 f(x)*x+1,x=xo, Ximofgxofxo)曲線(xiàn)在Xo處連綿不斷，我們稱(chēng)這種情況為，f（X）在Xo處連續(xù)。定義1設(shè)函數(shù)f（x）在Xo的某鄰域內(nèi)有定義，若lim f（X

3、）= f （Xo） 3Xo則稱(chēng)函數(shù)f（X）在xo點(diǎn)連續(xù)。例如函數(shù) f（x）=2x+1在點(diǎn)x=2連續(xù)，因?yàn)閘im f(X)=ym(2x +2) =5 = f (2)p-,.1xsin X H o又如，函數(shù)f(x) = x'在X = O處連續(xù)。因?yàn)閛 , X = 0XT1 lim f(x) = limxsin = 0 = f(0) XX若記 人x=xxo，也y = f(X)- f (xo)貝y lim f(x) = f(xo)可等價(jià)的敘述為limo，于是函數(shù)f（X）在X0點(diǎn)連續(xù)的定義又可以敘述為定義2）設(shè)函數(shù)f（X）在Xo的某鄰域內(nèi)有定義，若則稱(chēng)f（X）在Xo點(diǎn)連續(xù)。另外，由于函數(shù) f(x

4、)在Xo點(diǎn)連續(xù)是用極限形式表述的，若將lim f(X)= f (Xo)改用名一6語(yǔ)言敘述，則f(X)在x0點(diǎn)連續(xù)又可以定義為:定義1(3設(shè)函數(shù)f(X)在Xo的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì) V S >0,36 >0，使得當(dāng)I X Xo I 6時(shí)，都有1 f(X)-f(Xo)|<E ,則稱(chēng)f(X)在Xo點(diǎn)連續(xù)。注意 函數(shù)f(X)在Xo點(diǎn)連續(xù)，不僅要求 f(X)在Xo點(diǎn)有定義，而且要求 XT Xo時(shí),f(X)的極限等于f (Xo)，因此這里在極限的“E-6”語(yǔ)言敘述中把“o<|x-Xo |6 ”換成了“ |x-Xo| 乙”。最后,(1)式又可表示為lim f(X)= f (lim x

5、)，XjXoXo可見(jiàn)“ f在X = 0連續(xù)”意味著極限運(yùn)算lim對(duì)應(yīng)法則0f的可交換性。例1證明函數(shù)f(X)= xD(X)在點(diǎn)X = 0連續(xù)，其中D(X)為狄利克雷函數(shù)。證明 由f(o)=o及|D(x)|<1，對(duì)于任意的S >o，為使|f(X)- f (0)| = |xD(x |x < £只要取6 =z，即可按z-d定義推得在連續(xù)。相應(yīng)于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定一如下:定義2設(shè)函數(shù)f(X)在Xo的某左(右)鄰域內(nèi)有定義，若則稱(chēng)f (X)在Xo點(diǎn)左(右)連續(xù)。由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難得出:定理4.1函數(shù)f (X)在Xo點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為：f (

6、X)在Xo點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。X + 2 X o例2討論函數(shù)f(x)*x_2,，x；o在x"的連續(xù)性。解因?yàn)轭甪(x)巳mo(x+2)sf(o) !im_f(x)=ijm(x-2)=2 H f (0)所以f (x)在x=0右連續(xù)，但不左連續(xù)，從而f（X）在X = 0不連續(xù)。二間斷點(diǎn)及其分類(lèi)定義3設(shè)函數(shù)f在某U o（x0）內(nèi)有定義。若f在點(diǎn)X0無(wú)定義，或在點(diǎn)X0有定義但不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn) X0為函數(shù)f的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。由連續(xù)的定義知，函數(shù)f（X）在Xo點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下情形：lim f(x) = A，而f在點(diǎn)X0無(wú)定義，或有定義但lim f(x) = Ah f (x0)X-3X0Jx02

7、）左、右極限都存在，但不相等，稱(chēng)a =| lim f（x）- lim f （x） |為跳躍度1X0 十1X0-3）左、右極限至少一個(gè)不存在據(jù)此，函數(shù)f的間斷點(diǎn)可作如下分類(lèi):1.可去間斷點(diǎn)情況1） X0稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)（或可去不連續(xù)點(diǎn)）；沁,XH0Xymf(x)=1H-1 = f(o)-1 ,x=0X = 0是f（X）的可去間斷點(diǎn)。例 f(x)=|sg n(x-a)|, limf(x)=1,af （a） =0，是f（X）的可去間斷點(diǎn)。2.跳躍間斷點(diǎn) 情況2） X0稱(chēng)為可跳躍間斷點(diǎn);情況1），2）統(tǒng)稱(chēng)第一類(lèi)間斷點(diǎn)。例 y =x因?yàn)?lim f (x) = n ,lim =n -1，所以y =X的整數(shù)

8、點(diǎn)為跳躍間斷 jx)-點(diǎn)，跳躍度等1.1 -23期 sgnx = -1-4 -3-2O-例 f(x)=sgnx 因?yàn)?lim sgnx=1+所以f(x)=sgnx在x=0處為跳躍間斷點(diǎn)，跳躍度等2.3 .情況3) xo稱(chēng)為可第二類(lèi)間斷點(diǎn);1例f(x)= , lim f (x)不存在，所以X = 0是f (x)的第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。 xXTez plot('abs(1./(x+e ps)',-0.5,0.5),為了加強(qiáng)理解和記憶，我們畫(huà)出兩類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)的圖象(c41)sub plot(2,2,1) ezp lot('si n(x)/x',-0.5,0.5) hold o

9、n plot(0,1,'r*') sub plot(2,2,2) ezp lot('si n(x)+sig n(x)',-pi/3, pi/3) hold on plot(0,0,'r*'), sub plot(2,2,3) ezp lot('si n(1./x)',-0.5,0.5) hold on plot(0,0,'r*') sub plot(2,2,4)sin( x)/xabs(1/(x+e ps)0.5定義 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng) f(x)為I上的連續(xù)函數(shù),對(duì)于區(qū)間端hold on p

10、lot(0,28,'r*')0.99 0.98 0.97 0.961廠(chǎng)1i ll'rrii25-1 -10.5-j il l1 If! /ji-20-11 .101 iglJ1 1 1' /a15-'«/ !| ,1;110-10.5- ,11 -y hI -fl115-1II '!|1-0.50.5-0.50.5-0.50x sin (1/X)0x0x三區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)點(diǎn)上的連續(xù)性則按左、右連續(xù)來(lái)確定。例如 y =c， y=x, y=sinx,y=cosx是(亠，+處)內(nèi)的連續(xù)函數(shù),y =丿1 - x2 在(-1,1)的每一點(diǎn)都連續(xù)，

11、在 X =1左連續(xù)性，在x = -1右連續(xù)性，因而是-1,1上的連續(xù)函數(shù)(參見(jiàn)上章§1的例題)。定義 如果f(x)在區(qū)間a, b上僅有有限個(gè)第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在間a, b上按段連續(xù)。例如y =x , y =sgnx是按段連續(xù)函數(shù)。例3討論黎曼函數(shù)R(x) =1b,P , (p,q )為正整數(shù)，p/q為既約真分?jǐn)?shù)x =qx=o,1 及(0,1)內(nèi)的無(wú)理數(shù)的連續(xù)性1證明設(shè)t (0,1)為無(wú)理數(shù)，任給g >0 (不妨設(shè)g 滿(mǎn)足丄> S正數(shù)顯然只有有限個(gè)q(但至少有有一個(gè)，如q =2),從而使R(x) > s的有理數(shù) (0,1)只有有限個(gè)(至少有有一個(gè)，1如)，設(shè)為X1,Xn,取26 =min(|x1 -斗|xn -列,r,1 © ),(顯然 5 > 0)則對(duì)任何X U (匕6)(匸(0,1),當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)有 R(x)吒名，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)R(x) = 0.于是，對(duì)任何X壬U(r E)，總有R(x) - R(r)= R(x) < 芯