第三章傅里葉變換53550

1、第三章傅里葉變換本章要點(diǎn)本章要點(diǎn): :1. 1. 利用傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)對(duì)周期信號(hào)的離散譜利用傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)對(duì)周期信號(hào)的離散譜進(jìn)行分析進(jìn)行分析2. 2. 利用傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)利用傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)譜進(jìn)行分析譜進(jìn)行分析3. 3. 利用卷積和卷積定理，進(jìn)一步理解信號(hào)的時(shí)域和頻域特性利用卷積和卷積定理，進(jìn)一步理解信號(hào)的時(shí)域和頻域特性間的內(nèi)在關(guān)系間的內(nèi)在關(guān)系4. 4. 靈活運(yùn)用傅立葉變換的有關(guān)性質(zhì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行正逆變換靈活運(yùn)用傅立葉變換的有關(guān)性質(zhì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行正逆變換5. 5. 掌握抽樣信號(hào)的傅里葉變換和抽樣定理掌握抽樣信號(hào)的傅

2、里葉變換和抽樣定理 3.1 3.1 引言引言l 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解l 完備正交集完備正交集信號(hào)的正交函數(shù)分解信號(hào)的正交函數(shù)分解二維空間二維空間: :矢量在直角坐標(biāo)系中分解為兩矢量在直角坐標(biāo)系中分解為兩個(gè)正交矢量的組合個(gè)正交矢量的組合, ,每一個(gè)正交矢量都是每一個(gè)正交矢量都是原矢量在正交坐標(biāo)系上的投影原矢量在正交坐標(biāo)系上的投影. .正交函數(shù)正交函數(shù): :在區(qū)間在區(qū)間(t(t1 1tttt2 2) )內(nèi)用函數(shù)內(nèi)用函數(shù)f2 2(t) (t) 近似表示近似表示f1 1(t).(t).212121)()()(0,)()(1.)()()(22211212212222121122212122121

3、21ttttttdttfdttftfcdcdcdttfctftttttcttttfctf應(yīng)有最小的使內(nèi)為最小在區(qū)間誤差數(shù)之間的方均使得實(shí)際函數(shù)與近似函選取0)()(:),(.,)()(, 02121212112ttdttftftttftfc內(nèi)正交的條件在稱(chēng)為正交的分量?jī)?nèi)不包含則若 正交條件正交條件 例題例題:page326 6-1 6-2:page326 6-1 6-2 正交函數(shù)集正交函數(shù)集.)()(0)()(,),(,)(),(),(212122121數(shù)集則此函數(shù)集稱(chēng)為正交函即內(nèi)滿(mǎn)足正交特性如在區(qū)間構(gòu)成一函數(shù)集個(gè)函數(shù)ttiittjinkdttgjidttgtgtttgtgtgn)(1:)()

4、(1)()()(,)()()()()(:212121211221222212211ttrnrrttiittittiiinrrrnnkcdttfttdttgtfkdttgdttgtfcctgctgctgctgctfn項(xiàng)數(shù)的在最佳近似條件下給定滿(mǎn)足要求由最小方均誤差準(zhǔn)則合近似個(gè)正交的函數(shù)的線性組任意函數(shù)由2121)()()(2)(1)()(121121221122ttnrrrnrrrttnrrrdttgctgctftfttdttgctftt212121)(1)()(1)(1221222ttnrrttiittiicdttfttdttgtfckdttg 歸一化正交函數(shù)集：歸一化正交函數(shù)集： 復(fù)變函數(shù)的

5、正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性.),()()()(0)()(),.,2 , 1)(21*2121函數(shù)集則此復(fù)變函數(shù)集為正交內(nèi)在區(qū)間滿(mǎn)足復(fù)變函數(shù)集ttkdttgtgjidttgtgnrtgittiittjir完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 .0lim,)(1 )()(1)()(),()(),.(),(:21221221122121212121交函數(shù)集則此函數(shù)集稱(chēng)為完備正有趨于無(wú)限大若令方均誤差為近似表示函數(shù)在如果用正交函數(shù)集定義一nttrnrrttrnrrrrrnnkcdttfttdttgctftttgctftttgtgtg.)(0)()()(0),(,)(),.,(),(:2121221交函數(shù)集則此

6、函數(shù)集成為完備正為任意正整數(shù)滿(mǎn)足條件即不存在有限能量函數(shù)之外如果在正交函數(shù)集定義二idttgtxdttxtxtgtgtgttittn10011001100)0()0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos,2.),(,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 12112111111100111111tttttttttttnmtnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtntttttntntttt在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足其中函數(shù)集內(nèi)是完備正交三角函數(shù)集在區(qū)間)()(0)(,2.),(,.)2, 1, 0(1001111*11100nmnmtdteettttnettt

7、tjntjmtjn在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足其中內(nèi)是完備正交函數(shù)集在區(qū)間復(fù)指數(shù)函數(shù)集3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 分析分析l 三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)l 指數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)l 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系l 傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差 三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),.2 , 1sin)(2:cos)(2:)(1:2),sincos()(100100100111110111110ntdtntftbtdtntftadttftattnbtnaatftttntttntttnnn其中正弦分量幅度余弦分量幅度直流分量周期信號(hào)的另一種三角周期信號(hào)的另一種三角 函數(shù)正交集表示函數(shù)正

8、交集表示)sin()()cos()(1100110nnnnntnddtftncctf周期信號(hào)能夠進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的一組充分條件：(1)在一周期內(nèi),信號(hào)是絕對(duì)可積的,即 等于有限值.(2)在一周期內(nèi),如果有間斷點(diǎn)存在,則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè).(3)在一周期內(nèi),極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè).100|)(|tttdttf 狄利克雷狄利克雷(dirichlet)條件條件 指數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為所有的整數(shù)其中ndtetftfnfenftfttttjnnntjn10011)(1)()()(111請(qǐng)將三角函數(shù)表示的頻譜與指數(shù)函數(shù)表示的頻譜的對(duì)應(yīng)關(guān)系找出!10011001100)0(

9、)0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos,2.),(,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 112112111111100111111tttttttttttnmtnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtntttttntntttt在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足其中函數(shù)集內(nèi)是完備正交三角函數(shù)集在區(qū)間)()(0)(,2.),(,.)2, 1, 0(1001111*11100nmnmtdteettttnettttjntjmtjn在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足其中內(nèi)是完備正交函數(shù)集在區(qū)間復(fù)指數(shù)函數(shù)集.|21)(21)(1)(2122012220212100恒表征了時(shí)頻域的能量守稱(chēng)為帕塞

10、瓦爾方程周期信號(hào)的功率特性nnnnnnntttfccbaadttfttfp 帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉 系數(shù)的關(guān)系系數(shù)的關(guān)系tnaatfbtdtntftatftfnnntn1102011cos)(0cos)(4:)()(:(1)1信號(hào)分解為系數(shù)為偶函數(shù))sin()()sin()(40:)()(:(2)11201101tnbtfdttntftbaatftfnntnn信號(hào)分解為系數(shù)為奇函數(shù)為所有的奇數(shù)信號(hào)分解為為奇數(shù)為偶數(shù)系數(shù)為半波對(duì)稱(chēng)奇諧函數(shù)ntnbtnatfndttntftbdttntftanbaattftfnnntntnnn)sincos()()()c

11、os()(4)cos()(4)(0:)2()(: )(3)111201120110111類(lèi)推:偶諧函數(shù)?為所有的偶數(shù)信號(hào)分解為為奇數(shù)為偶數(shù)系數(shù)為半波重疊偶諧函數(shù)ntnbtnaatfndttntftbdttntftanbaattftfnnntntnnn)sincos()()()cos()(4)cos()(4)(0:)2()(:)(4)1110201120110111 吉布斯吉布斯(gibbs)(gibbs)現(xiàn)象現(xiàn)象page99:用三角函數(shù)集取不同的有限項(xiàng)級(jí)數(shù)逼近原函數(shù)(對(duì)稱(chēng)方波).原函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇諧函數(shù),因此,傅里葉級(jí)數(shù)只存在奇次諧波的余弦項(xiàng).分析結(jié)論:page100吉布斯現(xiàn)象:當(dāng)選取的傅

12、里葉項(xiàng)數(shù)越多,合成波形中出現(xiàn)的峰起越靠近f(t)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)項(xiàng)數(shù)n很大時(shí),峰起值趨于一個(gè)常數(shù),約為總跳變值的9%,并從不連續(xù)點(diǎn)開(kāi)始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。無(wú)論n多大，這個(gè)超量不變。但是在不連續(xù)點(diǎn)附近波峰寬度趨近于零，所以波峰下面積也趨近于零，因而在能量的意義下部分和的波形收斂于原波形。.,. 3.)(. 21.21. 1:111系數(shù)之間關(guān)系形成周期信號(hào)單雙邊頻譜的附錄二之間的關(guān)系對(duì)稱(chēng)性與級(jí)數(shù)所含分量級(jí)數(shù)系數(shù)中同理可得指數(shù)型傅里葉的來(lái)源和中三角型傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)回顧與思考tfttt3.3 3.3 典型周期信號(hào)的傅里典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)l 周期矩形脈沖信號(hào)l 周期鋸齒脈沖信號(hào)l 周

13、期三角脈沖信號(hào)l 周期半波余弦信號(hào)l 周期全波余弦信號(hào) 周期矩形脈沖信號(hào)22 1t 1t)(tfe0t)2()2()2(0)2()(2,211tutuettetftt內(nèi)一個(gè)周期 對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù))cos()2()(11111tnnsaetetfnntjnensatetf1)2()(11三角形式:指數(shù)形式:page106 不同脈寬下周期矩形信號(hào)的頻譜*零點(diǎn),第一零點(diǎn):*頻帶寬度b:與脈寬關(guān)系為反比關(guān)系:m22b2, 5,101te1, 5,101tepage105 不同t1下周期矩形信號(hào)的頻譜*譜線間隔:與周期關(guān)系為反比關(guān)系:112t1, 5,101te1,10,101te.|:|.

14、 3.,:. 2.:. 1:趨于零總是一般隨或者收斂性分量基波整數(shù)倍的其他頻率不可能包含不是間距正好等于基波頻率相鄰譜線各譜線間呈等距分布諧波性布譜線沿頻率軸呈離散分離散性周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)ncfnn 周期鋸齒脈沖信號(hào))(tft02e21t21t2e.1.)sin(1) 1(.)4sin(41)3sin(31)2sin(21)sin()(1111111規(guī)律收斂諧波幅度以頻譜只含有正弦分量ntnnettttetfnn 對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù) 周期三角脈沖信號(hào))(tfte21t1t21t1t0 對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù).1.,)cos()2(sin142.)5cos(51)3cos(31)

15、cos(42)(212122121212規(guī)律收斂諧波幅度以基波及奇次諧波分量頻譜只含有直流ntnnneettteetfn 周期半波余弦信號(hào))(tft04tte.1.,2)cos()2cos() 1(12.)4cos(154)2cos(34)cos(2)(211112111規(guī)律收斂諧波幅度以量基波和偶次諧波頻率分頻譜只含有直流其中nttnnneettteetfn 對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù) 周期全波余弦信號(hào))(tft02tte| )cos(|)(0tetf.1.;22)2cos() 14(1) 1(42.)3cos(354)2cos(154)cos(342)(2011100121111規(guī)律收斂

16、諧波幅度以的偶次諧波分量或者說(shuō)直流分量及的基波和各次諧波分量頻譜包含直流分量及其中nttnneeteteteetfnn 對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換1, 5,101te1,50,101tedeftfdtetffdtetfnftttdtetftnfenftftjtjtttjntttttjnntjn)(21)()()()(lim)(lim0,)(1)()()(ftfs221111122111111111111并取極限兩邊同乘以deftfdtetfftjtj)(21)(:)()(:反變換正變換傅里葉變換定義傅里葉變換定義頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)f(f() )的物理意義的物

17、理意義周期離散頻譜在頻域周期離散信號(hào)在時(shí)域周期連續(xù)頻譜在頻域非周期離散信號(hào)在時(shí)域非周期連續(xù)在頻域頻譜非周期連續(xù)信號(hào)在時(shí)域非周期離散頻譜在頻域周期連續(xù)信號(hào)在時(shí)域非周期信號(hào)是連續(xù)的周期信號(hào)頻譜是離散的的情況下也稱(chēng)頻譜與周期信號(hào)頻譜不混淆在度簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù)或頻譜密稱(chēng)為頻譜密度函數(shù)具有密度的概念是單位頻帶的復(fù)振幅可見(jiàn),:,:,:,:,:,:,:,:.,. 2.,.,)(,lim2limlim)(. 100fffftffnfnnt.,)(,)(,2)(,. 4).(2)(,)(21)(. 3的相對(duì)大小即比較各頻率分量性描述非周期信號(hào)頻譜特用改表示頻譜不能用復(fù)振幅直接則為無(wú)窮小量限值為有若振幅為期信號(hào)各頻率

18、分量的復(fù)而非周為有限值復(fù)振幅周期信號(hào)各頻率分量的積分連續(xù)和的的指數(shù)分量振幅為無(wú)限多個(gè)頻率為為表示非周期信號(hào)能分解ffdffedfdeftfntjtj充分條件必然有界則滿(mǎn)足絕對(duì)可積一旦積要在無(wú)限區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可即只不過(guò)周期為條件傅里葉級(jí)數(shù)的仍應(yīng)滿(mǎn)足類(lèi)似于里葉變換非周期信號(hào)是否存在傅傅里葉變換的存在性.)(,)(| )(|)(| )(|.)().,(.,:ftfdttfdtetfftfdirichlettj3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅典型非周期信號(hào)的傅里葉變換里葉變換l單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)l雙邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)l矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)l鐘形脈沖信號(hào)鐘形脈沖信號(hào)l符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)l升余弦脈沖信號(hào)升余弦脈沖信號(hào)jatueftfat1)()()( 單邊指