向量空間的定義和基本性質(zhì)

1、5.2向量空間的定義和基本性質(zhì)授課題目：5.2線性空間的定義和基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握線性空間的定義及基本性質(zhì)授課時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義及基本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論的證明教學(xué)過(guò)程：一、線性空間的定義1. 引例定義產(chǎn)生的背景例子.設(shè),'-, F n,a,b F則向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下述運(yùn)算律個(gè)非空集合，其中的元素稱為向量。記作I：, ; F是一個(gè)數(shù)域（1）:丄亠-?（3）零向量0對(duì):療有0 - :- = :（5） a（霊亠 F） = at a （7） （ab）： =a（b： ）這里：,'-,- Fn,a,b F2. 向量空間的定義一抽象出的數(shù)學(xué)本

2、質(zhì)Def:設(shè)V是(2)(4)對(duì):匕，有-二使0(6) (a b)： = a： b：(8) 1 < =:-a,b, - F，如果在集合V中定義了一個(gè)叫做加法的代數(shù)運(yùn)算，且定義了FV到V的一個(gè)叫做純量乘法的代數(shù)運(yùn)算.（F中元素與 V中的乘積記作ao,aa E V ）。如果加法和純量乘法滿足：1）”：亠：=：-：2）（二：亠） = : （亠）3） 0，V,對(duì) m V,有 0*=：-（找出元）4） 一：V,V使得二/ =稱/為的負(fù)向量（找出負(fù)元）5）ap ' >'） =a a-6) (a bp -a： b：7) (ab)a(b： )V是F上的一個(gè)線性空間，并稱F為基數(shù)域.3

3、. 進(jìn)一步的例子一一加深定義的理解例1 :復(fù)數(shù)域C對(duì)復(fù)數(shù)的加法和實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法作成實(shí)數(shù)域R上的線性空間.例2 :任意數(shù)域F可看作它自身的線性空間.例3 V =用其加法定義為:- ? - ?,數(shù)乘定義為=，則V是數(shù)域F上的線性空間.注：V=0對(duì)普通加法和乘法是數(shù)域F上的線性空間，稱為零空間.例 4 : 設(shè) F 是有理數(shù)域，V 是正實(shí)數(shù)集合，規(guī)定匚二-：-,aa（： , I' V,a：二 F）練習(xí) 集合V對(duì)規(guī)定的二，、是否作成數(shù)域F上的線性空間？V = FSga, ,an）二（bidb）（ai b（,a2 lb?,，a. 0）,a、忌,，an） =（0,0,0）解 顯然V對(duì)，E滿足條件1

4、） 7），但對(duì)任意的（ai,a2,an） Fn有 1、佝總,a） =（0,0,0）珂總,a）,故集合V對(duì)規(guī)定的不作成數(shù)域 F上的線性空間.由此例可以看出，線性空間定義中的條件8）是獨(dú)立的，它不能由其他條件推出.二、線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)1、線性空間V的加法和純量乘法有以下基本性質(zhì).Th5.2.11）V的零向量唯一，V中每個(gè)向量的負(fù)向量是唯一的2）_（八）=:-證明：1）設(shè)Q,02是V的兩個(gè)零向量，則 00!002.設(shè)>1, >2是的負(fù)向量，則有： =0, ： 2 ： 0,于是 0 二 r V 亠很 2）=（ ?）：心2 =0 九二2 二：'2*由于負(fù)向量的唯一性，以后我們把的唯

5、一負(fù)向量記作.2）因二：（-）=0,所以-（一3）* 我們規(guī)定：'_.（），且有- 1 .定理5.2.2對(duì)F的任意數(shù)a, b和V中任意向量，：，則有1) 0: - : 0 = 0.2) = (一a)- -a ,特別地,(1),-八.3) a： =0= a = 0或：=0.4) a(：-)二 a： - a ：,(a - b) ： - a： - b_：=證明：1)因?yàn)?= (00 = 0隈亠0.所以0=0.類似地可證二0 = 0.2)因?yàn)閍.工二aC；：；-( = ) ) a 0二所以a( -：)是的負(fù)向量，即 a( _： ) _ _a： .同理可證 (-a)=-a二.3) 設(shè) a>

6、 -0,女口果 a = 0,貝U 有 aJ F,于是a =1 a a(= a)a '生(的 i = a 0=0 .4) a(x ')=aC：、(-：)= a工 11 a( - ：)= a：-a ：,(a-b)： =(a (-b)： =au " ( -bp = aj b-：注：線性空間的定義中1匚=:-與定理5.2.2的性質(zhì)3)在其他條件不變的情況下等價(jià)事實(shí)上，由線性空間的定義可推出定理5.2.2的性質(zhì)3).反之，由線性空間定義中的條件1) 7)及定理5.2.2的性質(zhì)3)可推得1 :-:1(1用)=1(1：(一：)因?yàn)?=1 (V： )1 (-:)=(1 1) :(-1

7、):=1 ：(-1) ： =0,由性質(zhì)3)1 -0所以仁=：.課堂討論題：檢驗(yàn)以下集合對(duì)于指定的線性運(yùn)算是否構(gòu)成相應(yīng)數(shù)域上的線性空間：1) 起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在一條直線上的空間向量的全體作成的集合V，按通常集合向量的加 法及數(shù)乘運(yùn)算；2) V1 =(X1,X2，Xn)|x1 +X2 +Xn =1,x E FV2 二(X1,X2, ,Xn)|xX2Xn = 0必F按通常數(shù)域F上n維向量的加法及乘法運(yùn)算；3) V3 二X|Tr(X) =0,X Fn nV3門數(shù)域F上n階對(duì)稱與反對(duì)稱方陣的全體按通常數(shù)域F上矩陣的加法及乘法運(yùn)算;4) V5 =dx+a3X3 卄 +a2nM2nH1 a* FV6 =玄

8、+4X +a2X2 + + +an = 1,a F按通常數(shù)域F上多項(xiàng)式的加法及數(shù)乘運(yùn)算；5） 全體實(shí)數(shù)R的集合按通常數(shù)的加法與乘法運(yùn)算是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上線性空間？全體復(fù)數(shù)域C的集合按通常數(shù)的加法與乘法運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上線性空間？6）數(shù)域F上的n階方陣全體，按通常數(shù)與矩陣乘法，但加法定義為A 二 B = AB 'BA三、子空間1、子空間的定義定義2:子空間的定義：V是F上一個(gè)線性空間，W是V的一個(gè)非空子集，如果 W對(duì)V的加法和FV到V的純量乘法，也作成 F上的一個(gè)線性空間，則稱W是V的子空間。例5： Fx是Fx的子空間.例6： V是它本身的一個(gè)子空間.0也是V的子空間.V和零空間叫做

9、 V的平凡子空間，V的其他子空間叫做 V的真子空間.2、子空間的判斷：Th5.2.3設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的一個(gè)非空子集，則 W是V的子空間 的充要條件：（1 ） ；=,三V,有很亠）三V（2） -a F,x V有a - W證明：（1）W對(duì)加法封閉，即對(duì)任意:/ W,有用' I- - W.（2）W對(duì)純量乘法封閉，即對(duì)任意a F,xwW,有a：- eW.證明：必要性.設(shè)W是V的子空間，則V的加法是 W的代數(shù)運(yùn)算，從而W對(duì)V的加法 封閉；另外，F(xiàn) V到V的純量乘法也是 F W到W的純量乘法，因此 W對(duì)純量乘法 也圭寸閉.充分性.由于W對(duì)V的加法封閉，對(duì)F V到V的純量乘法封閉，所

10、以V的加法是 W 的代數(shù)運(yùn)算，F(xiàn) V到V的純量乘法也是 F W到V的純量乘法的代數(shù)運(yùn)算.線性空間 定義中的算律1）, 2）, 5）, 6）, 7）, 8）對(duì)V中任意向量都成立，自然對(duì) W的向量也成立.由W對(duì)純量乘法的封閉性和定理5.2.2,對(duì)于"-W,0 =0圧-W ,所以V中的零向量屬于 W,它自然也是 W的零向量，并且-=（-1 W,因此條件3）和條件4）也成立，故W是 V的子空間.推論1： W是V的一個(gè)非空子集，則 W是V的子空間的充要條件：一a,b F, ： , ： W有a= ' b ： W3、生成子空間例7 :設(shè)1,2,，：r是數(shù)域F上的線性空間V的一組向量L（：

11、1,： 2, , ： n）二ai： 1 a2： 2 亠 亠 an|ai F則LCr，n)作為V的一個(gè)子空間所以LC仆： 2；事實(shí)上,取ai =0（i =1,2，,n）,于是0 =0： 10：20： n L（： 1, ：2,，: n）,又因（?。? a2：2 an、£n） （6：1 b2bn用n）=佝巾)：1b2)：2"anbn)：n)L( ： 1, ： 2,，：n)a(1a?：2*nn)= (aq)：1 (aa2)：2raaJ：n LC、， , ,：n),所以LG 1, >2,，:n)作成V的一個(gè)子空間.L(：, >2,，n)稱為由1/'2/'

12、/' n 生成的子空間，冷，>2,，兒稱為它的一組生成元.4、子空間的交與并Th4:W,W 是V的兩個(gè)子空間，貝y W W仍是V的子空間.(問(wèn)WW 是否為V的子空間.)證明：因?yàn)閃,W是V的兩個(gè)子空間，所以 0W；,0 EW2,從而0丘W；CW2,于是- .對(duì)任意a,b F,： , ： W ' W2, 有a。+bP ww,a。+bP W2, 因而ab W1 W2, 所以' W2是V的子空間.推廣：若 w, wwn是V的子空間，貝UW； (i =1,2/ n)也是V的子空間.例：A 是一個(gè) n 階矩陣，S ( A) =B M nF|AB=BA則 S (A)是 UnF的一個(gè) 子空間.證：TA = Al . I S(A) - :J-B1,B2S(A),于是ABB1A, AB2 二 B2AA(kB IB2) = kAB IAB2=kB* IB 2 A= (kB, IB2)A.kB IB? S(A)2兩個(gè)子