高考物理：模型案例集錦之常見彈簧類問題分析

1、物理：模型案例集錦常見彈簧類問題分析高考要求輕彈簧是一種理想化的物理模型，以輕質(zhì)彈簧為載體，設(shè)置復(fù)雜的物理 情景，考查力的概念，物體的平衡，牛頓定律的應(yīng)用及能的轉(zhuǎn)化與守恒，是高考命題的重 點(diǎn)，此類命題幾乎每年高考卷面均有所見.應(yīng)引起足夠重視。彈簧類命題突破要點(diǎn)1 .彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力.當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)，要注意彈 力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對(duì)應(yīng).在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先 確定彈簧原長位置，現(xiàn)長位置，找出形變量X與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變 所對(duì)應(yīng)的彈力大小、方向，以此來分析計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化。2 .因彈簧（尤其是軟質(zhì)彈簧）其形變發(fā)

2、生改變過程需要一段時(shí)間，在瞬間內(nèi)形變量可 以認(rèn)為不變.因此，在分析瞬時(shí)變化時(shí)，可以認(rèn)為彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變。3 .在求彈簧的彈力做功時(shí)，因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定 義進(jìn)行計(jì)算，也可據(jù)動(dòng)能定理和功能關(guān)系：能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解.同時(shí)要注意彈力做 功的特點(diǎn)：Wk=- （ - kx22- kx.2彈力的功等于彈性勢能增量的負(fù)值.彈性勢能的公式22Ep=；kx2,高考不作定量要求，可作定性討論.因此，在求彈力的功或彈性勢能的改變時(shí), 2一般以能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度來求解。下面就按平衡、動(dòng)力學(xué)、能量、振動(dòng)、應(yīng)用類等中常見的彈簧問題進(jìn)行分析。一、與物體平衡相關(guān)的彈簧問題1.

3、（1999年，全國）如圖示，兩木塊的質(zhì)量分別為叱和mz，兩輕質(zhì) rwi彈簧的勁度系數(shù)分別為燈和如上而木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），孝k整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上而 申 彈簧.在這過程中下而木塊移動(dòng)的距離為（）交: »i >i TY!igki 2g2 Cigk2 zgkz此題是共點(diǎn)力的平衡條件與胡克定律的綜合題.題中空間距離的變化,要通過 彈簧形變量的計(jì)算求出.注意緩慢上提，說明整個(gè)系統(tǒng)處于一動(dòng)態(tài)平衡過程，直至皿離 開上面的彈簧.開始時(shí)，卜而的彈簧被壓縮，比原長短（m#m2）g/k2,而門剛離開上面的彈簧,下而的彈簧仍被壓縮，比原長短mzg/

4、A2,因而mz移動(dòng)x = （m+m2）g/6-m2g / /=mig / kz.此題若求mi移動(dòng)的距離又當(dāng)如何求解參考答案:C和S2表示勁度系數(shù)分別為八,和kz兩根輕質(zhì)彈簧，k>kz； A和B表示質(zhì)量分別為mA和ms的兩個(gè)小物塊，mA>ms,將彈簧與物塊按圖示方式懸掛起來.現(xiàn)要求兩根彈簧的總長度最大則應(yīng)使（）.在上,A在上在上,B在上在上,A在上含 g魯o在上,B在上參考答案:D另一端自由,3 .一根大彈簧內(nèi)套一根小彈簧，大彈簧比小彈簧長，它們的一端固定,(a)如圖所示，求這兩根彈簧的勁度系數(shù)L（大彈簧）和k2（小彈簧） 上分別為多少0.2 m（參考答案 ki=100N/m k2=

5、200N/m）丁4 .（2001年上海高考）如圖所示，一質(zhì)量為m的物體系于長度分別為L1、L2的兩根細(xì)線 上，L1的一端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為（），Lz水平拉直，物體處于平衡狀態(tài).現(xiàn) 將L2線剪斷，求剪斷瞬時(shí)物體的加速度.下面是某同學(xué)對(duì)該題的一種解法： 二解設(shè)L1線上拉力為Ti, Lz線上拉力為Tz,重力為mg,物2體在三力作用下保持平衡Ticos ° =mg, Tisin ° =T2, Tz=mgtan ° ,剪斷線的瞬間，T2突然消失，物體即在Tz反方向獲得加速度.因?yàn)閙gtan 0 =ma,所以加速度a=g tan。，方向在T?反方向.你認(rèn)為這個(gè)結(jié)

6、果正確 嗎清對(duì)該解法作出評(píng)價(jià)并說明理由.解答：鋁.囚為L2被剪斷的瞬間，Lt上的張力大小發(fā)生了變化.此瞬間T2=mgcos ° , a=gsin。若將圖中的細(xì)線L改為長度相同、質(zhì)量不沖的輕彈簧, 他條件不變，求解的步驟和結(jié)果與完全相同，即a=gtan 0 ,你認(rèn)為這個(gè)結(jié)果正確嗎請(qǐng)說明理由.解答:對(duì)，因?yàn)長z被剪斷的瞬間，彈簧L】的長度未及發(fā)生變化，力大小和方向 都不變.二、與動(dòng)力學(xué)相關(guān)的彈簧問題5.如圖所示，在重力場中，將一只輕質(zhì)彈簧的上端懸掛在天花板上， 下端連接一個(gè)質(zhì)量為M的木板，木板下而再掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體.當(dāng) 剪掉m后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)木板的速率再次為零時(shí)，彈簧恰好能恢復(fù)到原長，（不

7、 考慮剪斷后m、M間的相互作用）則M與m之間的關(guān)系必定為（）>m =m <m D.不能確定參考答案:B6 .如圖所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計(jì)的薄板，在薄板上放重物，用手將重物 向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，則重物將被彈簧彈射出去，則在彈射過程中（重物與彈簧脫離之前）重物的運(yùn)動(dòng)情況是 （）參考答案：cA.一直加速運(yùn)動(dòng)B.勻加速運(yùn)動(dòng)C,先加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng)D.先減速運(yùn)動(dòng)后加速運(yùn)動(dòng)解析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變?nèi)Q于所受合外力.所以，對(duì)物體進(jìn)行準(zhǔn)確的受力 分析是解決此題的關(guān)鍵，物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中受到重力和彈簧彈力的作用.剛放手時(shí), 彈力大于重力，合力向上，物體向上加速運(yùn)動(dòng)，但隨著

8、物體上移，彈簧形變量變小，彈力 隨之變小，合力減小，加速度減?。划?dāng)彈力減至與重力相等的瞬間，合力為零，加速度為 零，此時(shí)物體的速度最大；此后，彈力繼續(xù)減小，物體受到的合力向下，物體做減速運(yùn)動(dòng), 當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，二者分離.7 .如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直放在水平地面上，小球A由彈簧正上方某高度自由落下, 與彈簧接觸后，開始?jí)嚎s彈簧，設(shè)此過程中彈簧始終服從胡克定律，那么在小球壓縮彈簧的過程中，以下說法中正確的是（）參考答案:CA .小球加速度方向始終向上8 .小球加速度方向始終向下C.小球加速度方向先向下后向上D.小球加速度方向先向上后向下（試分析小球在最低點(diǎn)的加速度，重力加速度的大小關(guān)系）8.如

9、圖所示，一輕質(zhì)彈簧一端系在墻上的0點(diǎn)，自由伸長到B點(diǎn).今用一小物體m 把彈簧壓縮到A點(diǎn)，然后釋放，小物體能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦 因數(shù)恒定，試判斷下列說法正確的是 （）ABC f1 I1IlliA.物體從A到B速度越來越大，從B到C速度越來越小B.物體從A到B速度越來越小，從B到C加速度不變c.物體從A到B光加速后減速，從B 一直減速運(yùn)動(dòng)D.物體在B點(diǎn)受到的分外力為零參考答案:C9.如圖所示，一輕質(zhì)彈簧一端與墻相連，另一端與一物體接觸，當(dāng)彈簧在0點(diǎn)位置時(shí) 彈簧沒有形變，現(xiàn)用力將物體壓縮至A點(diǎn)，然后放手。物體向右運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)而靜止，AC 距離為L,第二次將物體與彈簧相連，仍將它壓

10、縮至A點(diǎn)，則第二次物體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng) 過的總路程S可能為：=L>L<LD.條件不足，無法判斷參考答案:AC（建議從能量的角度、物塊運(yùn)動(dòng)的情況考慮）10/、8兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖所示，已知木塊4、8質(zhì)量分別為kg和kg, 彈簧的勁度系數(shù)k=100 N/m ,若在木塊A上作用一個(gè)豎直向上的力F,使A由靜止開始 以m/s2的加速度豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)（g=10m/s2）.（1）使木塊A豎直做勻加速運(yùn)動(dòng)的過程中，力F的最大值；（2）若木塊由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，直到4 8分離的過 程中，彈簧的彈性勢能減少了 J，求這一過程F對(duì) 木塊做的功.分析：此題難點(diǎn)和失分點(diǎn)在于能否通過對(duì)此物

11、理過程的分析后，確定兩物體分離的臨 界點(diǎn)，即當(dāng)彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力N=0時(shí)，恰好分離.解：當(dāng)F=0（即不加豎直向上F力時(shí)），設(shè)4 B卷放/貨,上處于 什 # 產(chǎn) 平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x，有kx=（ mA+ms）ggx= （mA+mB）g/k'對(duì)4施加F力，分析A、8受力如圖對(duì) AF+N-nug二m八0對(duì) 8 kx可知，當(dāng)NHO時(shí)，AB有共同加速度，由式知欲使4勻加速運(yùn)動(dòng)，隨N減小F增大.當(dāng)N=O時(shí)，F(xiàn)取得了最大值7,即 Fm-mA( g+。) = N又當(dāng)N=O時(shí)，A、8開始分離，由式知，此時(shí)，彈簧壓縮量kx' =mg (a+g)x' =mB

12、(a+g)/k囚8共同速度f=2a (x-x' )由題知，此過程彈性勢能減少了 Wp=Ep=J設(shè)F力功M，對(duì)這一過程應(yīng)用動(dòng)能定理或功能原理Wr+Ep- ( mA+mg) g (x-x' ) =i (mA+rr)B)v2 2聯(lián)立，且注意到Ep=J/可知，Wf=X102J三、與能量相關(guān)的彈簧問題11 .(全國.1997)質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端 固定在地上.平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x。，如圖所示.一物塊從鋼板正上方距 離為3x。的4處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不 粘連.它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng).已知物塊質(zhì)量為m時(shí)，它們恰能回到 。點(diǎn).若物塊

13、質(zhì)量為2m,仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速 度.求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離.分析：本題的解題關(guān)鍵是要求對(duì)物理過程做出仔細(xì)分析，且在每一過程中運(yùn)用動(dòng)量 守恒定律，機(jī)械能守恒定律解決實(shí)際問題，本題的難點(diǎn)是對(duì)彈性勢能的理解，并不要求寫 出彈性勢能的具體表達(dá)式，可用Ep表示，但要求理解彈性勢能的大小與伸長有關(guān)，彈簧 伸土1”"2 。12 .如圖所示，4、8、C三物塊質(zhì)量均為m,置于光滑水平臺(tái)面上.8、C間夾有原已完全壓緊不能再壓縮的彈簧，兩物塊用細(xì)繩相連，使彈簧不能伸展.物塊A以初速度歷沿8、C連線方向向8運(yùn)動(dòng)，相碰后，A與8、C粘合在一起，然后連接8、

14、C的細(xì)繩因受擾動(dòng)而突然斷開，彈簧伸展，從而使C與4、8分離，脫離彈簧后C的速度為必（1）求彈簧所釋放的勢能£（2）若更換8、C間的彈簧，當(dāng)物塊4以初速v向8運(yùn)動(dòng)，物塊C在脫離彈簧后的 速度為2%,則彈簧所釋放的勢能A £'是多少<3）若情況（2）中的彈簧與情況（1）中的彈簧相同，為使物塊C在脫離彈簧后的 速度仍為2v。，A的初速度v應(yīng)為多大（1） mvo2 （2） m （v-6vo）2（3） 4vo3121 J_ f13.某宇航員在太空站內(nèi)做丁如下實(shí)驗(yàn)：選取兩個(gè)B .卜內(nèi)質(zhì)量分別為mA=、me=的小球A、B和一根輕質(zhì)短彈簧，彈簧的一端與小球A粘連，另一端與小球

15、B接觸而不粘連.現(xiàn)使小球A和B之間夾著被 壓縮的輕質(zhì)彈簧，處于鎖定狀態(tài)，一起以速度vo=s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖所示.過一段 時(shí)間，突然解除鎖定（解除鎖定沒有機(jī)械能損失），兩球仍沿原直線運(yùn)動(dòng).從彈簧與小球B 剛剛分離開始計(jì)時(shí)，經(jīng)時(shí)間t=3. 0s兩球之間的距離增加了 s=2. 7m,求彈簧被鎖定時(shí)的 彈性勢能Eo取A、B為系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒得：（m A+m B）vo=m AvA+msv ;VA t+VB t=sEr匕2 =56/+不。了/又A、B和彈簧構(gòu)成系統(tǒng)，又動(dòng)量守恒O.O275J14 .如下圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈簧豎立在地面上，彈簧的上端 與盒子A連接在一起，下端固定在地面上.盒子內(nèi)裝一

16、個(gè)光滑小球，盒子 內(nèi)腔為正方體，一直徑略小于此正方體邊長的金屬圓球B恰好能放在盒 內(nèi)，已知彈簧的勁度系數(shù)為k=400N / m, A和B的質(zhì)量均為2kg將A向上 提高，使彈簧從自由長度伸長10cm后，從靜止釋放，不計(jì)阻力，A和B 一起做豎直方向的簡諧振動(dòng)，g取lOm/s?已知彈簧處在彈性限度內(nèi)，對(duì)于同一彈簧，其彈性勢能只決定于其形變的大小.試求:盒子A的振幅：盒子A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，A對(duì)B的作用力方向:小球B的最大速度15 .如圖所示，一彈簧振子.物塊質(zhì)量為m,它與水平桌面動(dòng)摩擦因數(shù)為U,開始用 手按住物塊，彈簧處于伸狀態(tài)，然后放手，當(dāng)彈簧回到原長時(shí)物塊速度為V】，當(dāng)彈簧再 次回到原長時(shí)物塊速度

17、為V2,求這兩次為原長運(yùn)動(dòng)過程中彈簧的最大彈性勢能.16 .如圖，水平彈簧一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧的勁度系數(shù)為k, 小球與水平面之間的摩擦系數(shù)為U，當(dāng)彈簧為原長時(shí)小球位于0點(diǎn)，開始時(shí)小球位于o 點(diǎn)右方的A點(diǎn)，0與A之間的距離為/。，從靜止釋放小球。17 為使小球能通過0點(diǎn)，而且只能通過0點(diǎn)一次，試問U值應(yīng)在什么范圍18 在上述條件下，小球在0點(diǎn)左方的停住點(diǎn)B點(diǎn)與0點(diǎn)的最大距離是多少、5 kE分析1、小球開始時(shí)在a點(diǎn)靜止，初始動(dòng)能為零；。“彈簧拉長/。，具有初始彈性勢能wn釋放后，：/.?八：小球在彈性力作用下向左運(yùn)動(dòng)，克服摩擦力作功，總機(jī)械能減小.為使小球能通過0點(diǎn)，要求初始彈

18、性勢能應(yīng)大于克服摩擦力作的功U mg/。，于是可得出IX值的上 限.當(dāng)小球越過0點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，又從左方最遠(yuǎn)點(diǎn)B往回（即向右）運(yùn)動(dòng)時(shí)，為使小球 不再越過0點(diǎn)，要求初始彈性勢能k仔在小于克服摩擦力作的功口 mg （/。+2/1），其 中/I是B點(diǎn)與0點(diǎn)的距離，于是可得出口值的下限 即滿足1的范圍4Mg力 ng2.設(shè)B點(diǎn)為小球向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)點(diǎn)，且小球在B點(diǎn)能夠停住，則小球克服力作的 功應(yīng)等于彈性勢能的減少.此外，小球在B點(diǎn)所受靜摩擦力必須小于最大靜摩擦 力，由此可得出停住點(diǎn)B點(diǎn)與0點(diǎn)之間的最大距離.L< .1 - 317 .圖中，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導(dǎo)軌上，彈簧

19、處在原長狀態(tài).另一質(zhì)量與B相同的滑塊A,從導(dǎo)軌上的P點(diǎn)以某一初速度向B滑行.當(dāng) A滑過距離L】時(shí)，與B相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A、B緊貼在一起運(yùn)動(dòng)，但互不粘連.已 知最后A恰好返回到出發(fā)點(diǎn)P并停止.滑塊A和B與導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦因數(shù)都為U,運(yùn)動(dòng) 過程中彈簧最大形變量為L2,重力加速度為gc求A從P點(diǎn)出發(fā)時(shí)的初速度V°.四、振動(dòng)類問題18 .如圖所示，在光滑的水平面上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k,開始時(shí)，振子 被拉到平衡位置0的右側(cè)某處，此時(shí)拉力為F,然后輕輕釋放振子，振子從初速度為零的 狀態(tài)開始向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t后到達(dá)平衡位置0處，此時(shí)振子的速度為v,則在這過程 中，振子的平均速度

20、為（）A. v/2B.F/（2代）q力C. vD. F/ （/ct）、O19.在光滑水平而上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k,振子質(zhì)量為M,振動(dòng)的量大速度為v°.如圖所示，當(dāng)振子在最大位移為A的時(shí)刻把質(zhì)量為m的物體輕放在其上, 則（1）要保持物體和振子一起振動(dòng)，二者間動(dòng)摩擦因數(shù)至少 多大一起振動(dòng)時(shí)，二者經(jīng)過平衡位置的速度多大二者的 振幅又是多大（已知彈簧彈形勢能EP=kx2 zx為彈簧相對(duì)原長伸長量）五、應(yīng)用型問題20.慣性制導(dǎo)系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于彈道式導(dǎo)彈工程中，這個(gè)系統(tǒng)的重要元件之一是加速 度計(jì)，加速度計(jì)的構(gòu)造原理示意圖如下圖所示。沿導(dǎo)彈長度方向安裝的固定光滑桿上套一 質(zhì)量為m的滑塊

21、，滑塊兩側(cè)分別與勁度系數(shù)為K的彈簧相連，彈簧處于自然長度，滑塊 位于中間，指針指示0刻度，試說明該裝置是怎樣測出物體的加速度的分析當(dāng)加速度計(jì)固定在待測物體上，具有一定的 加速度時(shí)，例如向右的加速度a,滑塊將會(huì)相對(duì)于滑桿向 左滑動(dòng)一定的距離x而相對(duì)靜止，也具有相同的加速度a. 由牛頓第二定律可知：a=F而Fx,所以ax。因此在 標(biāo)尺相應(yīng)地標(biāo)出加速度的大小,而0點(diǎn)兩側(cè)就表示了加速度的方向，這樣它就可以測出 物體的加速度了。21.“加速度計(jì)”作為測定運(yùn)動(dòng)物體加速度的儀器，已被廣泛地應(yīng)用于飛機(jī)，潛艇、 航天器等裝置的制導(dǎo)系統(tǒng)中，如圖所示是“應(yīng)變式加速度計(jì)”的原理圖，支架A、B固定 在待測系統(tǒng)上，滑塊穿在A、B間的水平光滑桿上，并用輕彈簧固定于支架A上，隨著系 統(tǒng)沿水平方向做變速運(yùn)動(dòng)，滑塊相對(duì)于支架發(fā)生位移，滑塊下增的滑動(dòng)臂可在滑動(dòng)變阻器 上相應(yīng)地自由滑動(dòng)，并通