第19講二重積分的計(jì)算xin

1、*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分的計(jì)算法 第六章 常規(guī)做法：化二次積分常規(guī)做法：化二次積分應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截面平行截面面積為已知的立體求面積為已知的立體求體積體積”的方法的方法.zyxbax)(1xy()A x( , )zf x y 2( )yx 21( )( )( )( , ), , ,xxA xf x y dyxa b ( )baVA x dx 等于以等于以D為底，以為底，以曲面曲面 z=f (x, y)為曲頂?shù)那斨w的體積。為曲頂?shù)那斨w的體

2、積。 0( , )( ( , )Df x y dxdyf x y 的值的值D21( )( )( , ).bxaxdxf x y dy 21( )( )( , )bxaxf x y dy dx 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),

3、(則oxy說(shuō)明說(shuō)明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD則 口訣：后積先定限，（上，下限常數(shù)）口訣：后積先定限，（上，下限常數(shù)）限內(nèi)畫條線，（線平行于坐標(biāo)軸）限內(nèi)畫條線，（線平行于坐標(biāo)軸）先交下限寫，（上，下限為常數(shù)或后積分變量的函數(shù)）先交下限寫，（上，下限

4、為常數(shù)或后積分變量的函數(shù)）后交上限見(jiàn)。后交上限見(jiàn)。(3)例例1. 計(jì)算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 2 xy及直線下列積分限確定正確的是下列積分限確定正確的是xxxydydxA240)(2212)(yyxydxdyC221)(xxxydxdyBxxxxxydydxxydydxD24110)(#2011052001例例1. 計(jì)算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214o

5、yxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 ,sin,1cos,cos,1sin,sin,ln1,22122 dxxxdxxdxxdxxdxxdxxdxedxedxexxx凡遇到應(yīng)該后積分。(4)#2011052002例例2. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.x下列積分限確定正確的是下列積分限確定正確的是xdyxxdxA00sin)(ydxxxdyCsin)(0 xdxxxdyBsin)(0ydyxxdxD00sin)(例例2. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X

6、 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對(duì) x 積分不行, 說(shuō)明說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22dy dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例3 3求求，其中，其中是以是以為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形. . Dydxdyex22D(0,0),(1,1),(0,1)無(wú)法用初等函數(shù)表示，無(wú)法用初等函數(shù)表示， dyey2yx 1122 yx edx 0y01xy 222xxy 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例4 4 改變積分改變積

7、分的次序的次序. xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2原式原式 ( , )dyf x y dx :D01211y 2y 01y2112,yxyaxy2 解解原式原式 ( , )dyf x y dx ( , ).dyf x y dx 22xaxy 22yaax a2aa2a例例5 5 改變積分改變積分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax的次序的次序.1D2D3D ( , )dyf x y dx 22ya22aay 0a2a22aay 0aa2a22ya2a思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yy

8、fxfxIxoyx1xy 1yxAB)(0)(AAC2)(2)(AD#2014050402思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后, x , y互換oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A440 sin()yyIydyxx y dx 例例6 6計(jì)算計(jì)算4sin(),DIxyx y dxdy 解解其中區(qū)域其中區(qū)域D

9、由曲線由曲線2,4yxy所圍成。所圍成。2yx 4y xy22 oD若將若將D看作看作y區(qū)域，區(qū)域，:,04.Dyxyy于是于是關(guān)于關(guān)于x為為奇函數(shù)奇函數(shù)0.注：此例也可以按注：此例也可以按x區(qū)域計(jì)算。區(qū)域計(jì)算。例例7 7. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.)(B0)(A2)(C1)(D#2014050401例例7 7. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(

10、yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224kkkrrkkkkkkrrsin,cos對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkr221內(nèi)取點(diǎn)kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為xyokkkkrrkkrkrkkkrkkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(二重積分中的極坐標(biāo)變換的作用可用下圖類比說(shuō)明

11、二重積分中的極坐標(biāo)變換的作用可用下圖類比說(shuō)明此時(shí)，此時(shí)，“自然自然”的的“求和求和”法應(yīng)是先徑向后幅法應(yīng)是先徑向后幅角，而不是先垂直后水平。角，而不是先垂直后水平。 21( )( )( cos ,sin ).dfd ADo1( ) 2( ) (cos ,sin )Dfd d 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, 12( )( ). 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖,12( )( ). 21( )( )(cos ,sin ).dfd (cos ,sin )Dfd d AoD2( ) 1( ) AoD)(r( )0(cos ,sin ).dfd 二重積分化

12、為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, 0( ). (cos ,sin )Dfd d ( cos ,sin )Dfd d 2( )00( cos ,sin ).dfd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖(.0) DoA() 2 , 0 （1 1）極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積）極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積.Dd d （2 2）當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域或部分圓域，）當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域或部分圓域，宜采用極坐標(biāo)。宜采用極坐標(biāo)。且被積函數(shù)又呈且被積函數(shù)又呈22()f xy yfx或或時(shí)，時(shí)，注：注：思考思考: 下列各圖中域 D

13、 與 x 軸相切于原點(diǎn),試;0)(B)(rDoyx問(wèn) 的變化范圍是什么?(1)22)(A#2011052003)(rDoyx(2)思考思考: 下列各圖中域 D 與 y 軸相切于原點(diǎn),試問(wèn) 的變化范圍是什么?;0)(B22)(A#2011052004思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問(wèn) 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(解解dxdyeDyx 2222 00aded 2(1).ae dxdyeDyx 22例例1 1 計(jì)算計(jì)算，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點(diǎn)，半徑為原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。的

14、圓周所圍成的閉區(qū)域。.注：注：此積分在直角坐標(biāo)系下無(wú)法計(jì)算。此積分在直角坐標(biāo)系下無(wú)法計(jì)算。在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 :D0, a 02 ,注注:利用例1可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex20.xedx 例例2 2 求廣義積分求廣義積分分析：分析： 220 xedx 220limRxRedx 2200limRRxxRedxedx2200limRRxyRedxedy2200limRRxyRdxedy 22lim.xyRDedxdy 其中其中( , )|0,0.Dx yxRyR22222222000000()()xyDRRxyRRxyRRyxedxdyedy d

15、xeedy dxedyedx 解解2221( , )|,0,0Dx yxyRxy 2222( , )|2,0,0Dx yxyRxy ( , )|0,0,Dx yxRyR , 022 yxe 122Dyxdxdye22xyDedxdy .222 DyxdxdyeD1DRR22DD1D2D12DDD 顯然有顯然有 2200Rded 21;4Re 2211xyDIedxdy 同理同理 2I 222Dyxdxdye 221;4Re 當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),4 I所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .2212,xyDIIedxdyI 22222011;44RRxReedx

16、e 211,4RIe 22214RIe 220RxIedx 220.4xedx 即即求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對(duì)稱性可知0202:cos ,Da 22244() ddDVaxyxy204d 22204cosdaa 33203213(sin)da )322(3323aoxyza22244ddDap 例例3 3xyxyyxyxxy0202:cos ,Da 022:cos ,Da 0222:cos ,Da020:sin ,Da1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下cossinxy Ddxdyyxf),( ( co

17、s ,sin ).dfd Ddxdyyxf),(2( , )| 11,01.Dx yxyxx 例例4 4 寫出積分寫出積分的極坐標(biāo)二次積分形的極坐標(biāo)二次積分形式，其中積分區(qū)域式，其中積分區(qū)域 圓方程為圓方程為 1, 直線方程為直線方程為1,sincos 2 01sincos 1解解32 61 4sin 2sin dxdyyxD)(22 2 dd ).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例5 計(jì)算計(jì)算22(),Dxydxdy 其其 D為由圓為由圓 222 ,xyy224xyy及直線及直線30,xy03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.2sin 4sin 6

18、3 解解2222sin()Dxydxdyxy 2201sin4dd . 4 1D例例6 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 2222sin(),Dxydxdyxy 其中積分區(qū)域?yàn)槠渲蟹e分區(qū)域?yàn)?2( , )|14.Dx yxy由于積分區(qū)域關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，由于積分區(qū)域關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于x與與y均為偶函數(shù)，均為偶函數(shù)，所以所以12222sin()4Dxydxdyxy 例例7. 交換積分順序arccosa cosa oxa22cos0d(,)d(0)aIfa 提示提示: 積分域如圖 0daarccosaarccosaI(,)df （1）平面上同一個(gè)點(diǎn)，用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)不同表示；）平

19、面上同一個(gè)點(diǎn)，用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)不同表示；cos ,sin .xy （2）可看成是從極坐標(biāo)平面）可看成是從極坐標(biāo)平面到直角坐標(biāo)平面到直角坐標(biāo)平面O xOy的一種變換的一種變換.即對(duì)于即對(duì)于O 平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)( , )M r ，通過(guò)上式變換，通過(guò)上式變換，且這種變換是一對(duì)一的。且這種變換是一對(duì)一的。xOy平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)( , ),M x y變成變成* *三、二重積分換元法三、二重積分換元法 baxxfd)(tttfd)()(定積分換元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(

20、),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設(shè)Dyxf變換:是一一對(duì)應(yīng)的 ,ovuDoyxDT( , ) ( , ), ( , ) ( , ) .DDf x y dxdyf x u vy u vJ u vdudv 二重積分的換元公式二重積分的換元公式面積元素面積元素則則( , )( , )x yJ . cos sin cossin 對(duì)極坐標(biāo)變換對(duì)極坐標(biāo)變換cos ,sin .xy 特別地特別地ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例1. 計(jì)算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令uvopqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq例例2. 試計(jì)算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對(duì)稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1: rD),(),(ryxJcossinsi