銳角三角函數(shù)培優(yōu)講義

1、組長簽字:講義編號:學員編號：年 級：初三課時數(shù)：3學員姓名：輔導科目：數(shù)學學科教師：課 題銳角三角函數(shù)授課日期及時段教學目標銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值重點、難點特殊角三角函數(shù)值教學內 容一、疑難講解二、知識點梳理1 .銳角三角函數(shù)定義在直角三角形 ABC, Z 0=9(5,設BC=a CA=b AB=q銳角A的四個三角函數(shù)是：(1) 正弦定義：在直角三角形中 ABC銳A A的對邊與斜邊的比叫做角 A的正弦，記作sinA,即sin A = a, c(2)余弦的定義：在直角三角行ABC銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做角 A的余弦，記作cosA, 即cos A = b, c(3)正切的定義：在

2、直角三角形 ABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做角 A的正切，記作 tanA,即, a atan A = 一 , b這種對銳角三角函數(shù)的定義方法，有兩個前提條件：(1)銳角/ A必須在直角三角形中，且/ C=90;(2)在直角三角形ABC中，每條邊均用所對角的相應的小寫字母表示。否則，不存在上述關系注意：(1) sin , cos , tan 都是一個完整的符號，單獨的“sin”沒有意義，其中 前面的一般省略不寫；但當用三個大寫字母表示一個角時，的符號就不能省略（2）正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中引入的，實際上是兩條邊的比，它們是正實數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關，而與所在直角三角形

3、無關。2、坡角與坡度坡面與水平面的夾角稱為坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比為坡度（或坡比） ，即坡度等于 坡角的正切。3、銳角三角函數(shù)關系：（1）平方關系：sin 2A + cos 2A = 1 ;4、互為余角的兩個三角函數(shù)關系若/ A+/ B=/ 90,貝 sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函數(shù)：0030045060°sin a012<22蟲2cos a1J32包212tan a0與31K / ilA-r（1）銳角的正弦值隨角度的增加（或減?。┒黾樱ɑ驕p?。?（2）銳角的余弦值隨角度的增加（或減?。┒鴾p小（或增加）； （3）銳角的正切值隨角度的增加

4、（或減?。┒黾樱ɑ驕p小）。三、典型例題考點一：銳角三角函數(shù)的定義1、在 RtzXABC中，/C=90 , cosB=4,則 AC BC: AB=()5A 3: 4: 5B、5: 3: 4 C 4: 3: 5 D 3: 5: 42、已知銳角 a , cos a = 3 , sin a =, tan a = o53、在 ABC中，/C=90 ,若 4a=3c,貝U cosB=.tanA =。14、在 ABC中，/C=90 , AB=15 sinA= 1 ,則 BC等于。35、在 ABC中，/C=90 ,若把 AB BC都擴大n倍，則cosB的值為（A ncosB1B cosBnG n cosB考

5、點二：求某個銳角的三角函數(shù)值一一關鍵在構造以此銳角所在的直角三角形1、如圖，在矩形 ABCD中，E是BC邊上的點，AE BC , DF （1）求證：ABEDFA;AE ,垂足為F ,連接DE 。(2)如果 AD 10, AB=6,求 sin EDF 的值。DBE2、如圖，在 ABC中，/A=60° , /B=45 , AB=8求/XABCH積（結果可保留根號）。4、如圖（2）所示，在正方形網(wǎng)格中,B、D 290°, CDAB于D ,若ACG 123、如圖（1）, / 的頂點為O,它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊 0±有一個點P （3, 4）,則 sin5、如圖（3

6、）,在 ABC 中， ACBAB 3五,則tan BCD的值為（B、C/6CC36、如圖（5）, A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將旋轉得到AC B',則tanB'的值為（a 2DB、7、如圖（6）,菱形ABCD勺邊長為10cm DHAB,sin A則這個菱形的面積=cm 2。38、如圖，在 RtzXABC中，/C=90 , sinB= 3 ,點 D在 BC邊上，且/ ADC=45 , 5DC=6求/ BAD的正切值。9、如圖，在正方形 ABCm，M為AD的中點，E為AB上一點，且 BE=3AE求sin / ECMA 36 3B、18 3C 16D> 1810、如

7、圖，在梯形 ABCD, AB/ DC / BCD=90 , AB=1, BC=2 tan / ADC=2 (1)求證：DC=BC(2) E是梯形ABC吶一點，F(xiàn)是梯形ABCt一點，且/ EDC= FBC DE=BF是判斷 ECF勺形狀, 并證明你的結論；(3)在(2)的條件下，當 BE:CE=1:2, /BEC=135 時，求 sin/BFE的值?？键c三：利用特殊角的三角函數(shù)值進行計算1、計算：(2) (g) 2 (如正)0 2sin 30 | 3(1) 出(冗 4)0 sin30o2(4) V2sin45° +V3 cos30° -22、/ B是 RtABC中的一個內角，

8、且 sinB=,則 cos=(221B、-G -22223、在4ABC中,a=3, b=4, / C=60 ,貝UABC的面積為。34、RtzXABC中，/C=90 , c=12, tanB=,則4ABC的面積為(35、如圖所示，在直角坐標系中，OP=4 OP與x軸正半軸的夾角為30° ,則點P的坐標為(A (2、 2 6R (273 , 2)16 cm,較短對角線長為4 cm,求菱形G (2, 2擲)D (2戰(zhàn)，2)6、在菱形ABCDK 已知其周長為較小角的正弦值和余弦值。7、如圖，在平面直角坐標系中，點 A在第一象限內，點B的坐標為(3, 0), OA=2 /AOB=60 (1)

9、求點A坐標；(2)若直線AB交y軸于點C,求4人0。勺面積?？键c四：已知一個特殊角的正、余弦值或正切值，求相應的銳角1、COSA = 2 , A 為銳角，則 A =; 2cos( a-100) = 1 ,則銳角 a =22、若tanA的值是方程x2 (1 Y3)x 73 0的一個根，則銳角 A二()A、300或45°B、30° 或 60°C 、45°或 60°D60°或90°3、若 2cosA- V3 =0,貝U銳角 A=4、在 RtABC /C=90 , BC=/5 , AC=/i5 ,則/A 等于()A、900B、60&

10、#176;G 45°D 30°5、在4ABC中，銳角 A, B滿足（sinA-置）2+ | cosB-史 | =0,則4ABC是（A等腰三角形B、等邊三角形G等腰直角三角形D直角三角形6、若/B是RtABC的一個內角,sinB= 1,則cos B的值是22B、考點五：銳角三角函數(shù)的增減性1、當0° <<90°時，sin和tan隨 的增大而增大，cos隨 的增大而減小。2、銳角三角函數(shù)的取值范圍：0<sin <1, 0< cos <1, tan >0。1、當銳角/ A>45°時，sin A的值為（B

11、、小于,22小于23222、當銳角A的cosA>X2時，ZA的值為 2A小于45°B、小于30°大于450大于3003、當銳角/A< 60時,tan A的值為（A、小于.33B、小于3大于33大于34、已知sin的取值范圍是（A、>30B、30° <<90C、0° <<30D 0° <<30°5、比較大小:(1) cos 18°cos18.3°(2) tan31tan 32(3) sin 30°sin 89°6、比較大小：sin20 0sin

12、25 ° ; cos50°cos70°。：性點六：銳角三角函數(shù)間的轉k1、sin2 A cos2 A 1I 2、若/A 與/B 互余，sin A cosBsin A3、 cos A= tan A1、當 sinA=cosA 時,/ A= 2、已知 為銳角，且sin 4 ,則cos53、cos (60°)=sin ()。(0° <<90° )4、若 sin10 ° =cosA,則銳角A二(A 10°B、80°G 10° 或 20°D不確定5、已知 cos sin36四、課堂練習

13、1、 已知在 ABC中，/ A、/B 是銳角，且 sinA = 9, tanB=2, AB=29cm13則 S>AABC =.思路點撥 過C作CD! AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=-CD .5 ,tanB=-CD 2, 設CD=5m AO 13m C52n, BD= n,解題的關鍵是求出 m n的值.2、在AABC中./ AC由90° , / ABC= 15° , BC=1 WJ AC=()A . 2 6 B . 2 V3 C , 0.3 D .戈氏思路點撥 由15°構造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉化.3、如圖，已知 ABC是等

14、腰直角三角形，/ AC由90° ,過BC的中點D作DHAB于E,連結CEE, 求sin / ACE的值.思路點撥 作垂線把/ ACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉化成求線段的比.4、如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos/DAC(1)求證：AO BD(2) 若 sinC= 巴 BC=12 求 AD的長. n "思路點撥(1)把三角函數(shù)轉化為線段的比，利用比例線段證明；(2) sinC=引入?yún)?shù)可設 AD=12 , AO 13I4-<'5、已知：在 RtABC中，/C=90 , sinA、sinB 是方程.二？ .一的兩個根.(1)求實數(shù)L

15、，、應滿足的條件；(2)若、滿足(1)的條件，方程“:二7的兩個根是否等于RtABC中兩銳角A B的正弦？思路點撥 由韋達定理、三角函數(shù)關系建立、c等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴密約束條件的不等式，才能準確求出實數(shù)、.應滿足的條件.6.已知 a為銳角，下列結論sin a+cosa=l；如果 a >45° ,那么sin a>cosa；如果COSa> - ,那么 a <60° ；.正確的有, ¥:1 * 1， $ I7 .如圖，在菱形 ABCm，AHBC于E, BC=1, cosB=Z,則這個菱形的面積為8 .如圖，/ C=90

16、, / DBC=30 , AB= BD,利用此圖可求得 tan75 ° 二 .（第2題）（第3題）放出風箏線長（m） 1。01支巴 線與地說夾角再而7彳609 .化簡： Jtan2 27 tan2 632 =.（2）sin 2l 0 +sin 22° + +sin 288° +sin 289° 二10 .身高相等的三名同學甲、乙、丙參加風箏比賽.三人放出風箏線長、線與地面夾角如下表（假設風箏線是拉直的），則三人所放的風箏中（）A .甲的最高 B .丙的最高 C .乙的最低 D .丙的最低11 .已知 sin a cos a =-,且 0° &l

17、t;a <45° 則 CO a - sin a 的值為（）8A T Bcl D.g224412 .在 ABC中，/C= 90° , A ABC= 30° , D是 AC的中點，則 ctg / DBC勺值是（）A .芯 B . 243c , 3D . F13 .在等腰RtABC中./C= 90° , AO 6, D是AC上一點，若tan / DBA，則AD的長為（）5A. V2B . 2 C . 1 D . 2石14 .已知關于x的方程4x2 2（m 1）x m 0的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值.15 . D是4ABC的邊 AC上的一點

18、，CD=2AD AH BC于 E,若 BA 8, sin / CBD=3 ,求 AE的長.416 .若 0° <a <45° ,且 sin a con a = 3n ,則 sin a 二17 .已知關于x的方程3x2 4x sin 2(1 cos ) 0有兩個不相等的實數(shù)根，a為銳角，那么a的取值范圍是18 .已知是 ABC勺三邊，a、b、c 滿足等式(2b)2 4(c a)(c a),且有 5a 3c 0 ,則 sinA+sinB+sinC的值為3,1030°的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是()19 .設a為銳角，且滿足sin a=3cosa,則sin a cos a等于()A . 1 B . 1 C . 2 D20 .如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成A. 2 B .咂 C . 1 D , 1 2221.如圖,在 ABC中，/A= 30° , tanB=超 B . 2 2 吞 C . 5 Dy , AC=J3 ,則AB的長是()92(第16題)22.己在ABC中，a、b、c分別是/A、Z B ZC的對邊，且 c=5，若關于x的方程(5<3 b)x2 2ax (53 b) 0有兩個相等的實根，又方程2x