高中數(shù)學(xué) 3.21《簡單的三角恒等變換》課件 新人教a版必修4

1、LOGO3.2 簡單的三角恒等變換第一課時(shí)第一課時(shí)3.2 簡單的三角恒等變換第一課時(shí)1.在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，則ABC是( )AA.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形 由兩角和的正弦公式得sinA1.由弦函數(shù)有界性知，sinA=1，得A=90.2.化簡： - =( )B1 sin81 cos82A.-sin4 B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4 D.2sin4-cos4 原式= -=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos40)，yf(x)的圖象與直線y2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則f(x)的單

2、調(diào)遞增區(qū)間是()【答案】C【答案】ac( )4f x0,1a(,)()3kkkZppp+? 例例4 4 已知向量已知向量a ，b ，其中，其中 ，求函，求函數(shù)數(shù)f(x)f(x)ab| |ab| |的值域的值域. . 33(cos, si n)22xx=-(cos,si n)22xx= 0, 2xp3, 12- 例例5 5 已知函數(shù)已知函數(shù)若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，求對(duì)稱，求a的最小值的最小值. .2( )2sin()sin cos3sin3f xxxxx(0)xa amin12a 例6 如圖，正方形ABCD的邊長為1 ，P、Q分別為邊AB，DA上的

3、點(diǎn)，當(dāng)APQ的周長為2時(shí)，求PCQ的大小.A AB BC CD DP PQ Q45 作業(yè)：P147復(fù)習(xí)參考題A組： 10,11,12,13.題型一 恒等變換下的化簡求值例例1 已知：tan2=- ,2( ,),求 的值.2 222cossin122sin()42 tan2=- =- ， 解得解得tan=- 或或tan= ， 因?yàn)橐驗(yàn)?( ,),所以所以（ ， ）,所以所以tan0，所以，所以tan= . = = = =2 222tan1tan2 2222224222cossin122sin()4cossin2(sincoscossin)44cossinsincos12122 23 對(duì)于附加條件

4、求值問題，要先看條對(duì)于附加條件求值問題，要先看條件可不可以變形或化簡，然后看所求式子件可不可以變形或化簡，然后看所求式子能否化簡，再看它們之間的相互聯(lián)系，通能否化簡，再看它們之間的相互聯(lián)系，通過分析找到已知與所求的紐帶過分析找到已知與所求的紐帶.題型二 恒等變換下的拆角求值例例2 已知cos(- )=- ，sin( -)= ,且 ，0，求cos 的值.22221923 抓住已知角(- )，( -)與目標(biāo)角 的關(guān)系： =(- )-( -)，因此先求得sin(- )，cos( -)的值，再代公式.22222222 因?yàn)?，0，所以0- ，- - .又因?yàn)閏os(- )=- 0,所以 - ，0 -

5、，所以sin(- )= .2219342222322222221 cos ()2211 ()9 4 59cos( -)= = = ,故cos =cos(- )-( -)=cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)=(- ) + = .1922221 sin ()2221 ( )35322222534 59237 527 根據(jù)已知角與目標(biāo)角的聯(lián)系，將題目中的“目標(biāo)角整體”變成“已知角整體”之間的“和、差、倍、半、余、補(bǔ)、負(fù)”，應(yīng)用已知條件，直接解決問題.常用“湊角”技巧： (-)+=(+)-，2+=(+)+， = + ， = - ， 2=(-)+(+)等.2222 已知cos=

6、,cos(+)=- ,且(0， ),+( ，),求的值.17111422 因?yàn)?0, )，且cos= ，所以sin= = ，又因?yàn)?( ,），cos(+)=- ，所以sin(+)= = ，21721 cos4 372111421 cos ()5 314所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=- + = .又(0, )，+( ，），則(0,)，所以= .174 3711145 31412223 在給角求角的式子中,發(fā)現(xiàn)目標(biāo)角與已知角的聯(lián)系,將目標(biāo)角用已知角表示,求得其某一名三角函數(shù)值.但對(duì)于在(0，180)間的角,選用余弦或正切比選用正弦好,在(-90,90)間的角，

7、宜選用正弦.注意避開討論，減少失誤.題型三 恒等變換下的三角證明例例3 (1)已知2sin=sin+cos,sin2=2sincos.求證:cos2=2cos2；(2)已知5sin=3sin(-2),求證:tan(-)+4tan=0. (1)4sin2=1+2sincos, 所以所以4sin2=1+sin2， 所以所以1-sin2=2-4sin2=2（1-2sin2）, 即即cos2=2cos2. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?sin=3sin(-2), 所以所以5sin(-)+=3sin(-)-所以所以5sin(-)cos+5cos(-)sin =3sin(-)cos-3cos(-)sin, 所以所以2s

8、in(-)cos+8cos(-)sin=0，依題意，依題意知知,k+ ,-k+ ,kZ. 所以所以tan(-)+4tan=0.22 (1)結(jié)論中不含結(jié)論中不含，所以從條件中，所以從條件中消去消去即可即可.(2)把條件中的角進(jìn)行拆拼，把條件中的角進(jìn)行拆拼，使出現(xiàn)使出現(xiàn)-，實(shí)現(xiàn)已知角向未知角轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)已知角向未知角轉(zhuǎn)化即可化即可.三角恒等變形的實(shí)質(zhì)是對(duì)角、函數(shù)名稱及運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是一系列的三角公式，因此對(duì)三角公式在實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用應(yīng)有足夠的了解：(1)同角三角函數(shù)關(guān)系可實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化.(2)誘導(dǎo)公式及和、差、倍角的三角函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)角的形式的轉(zhuǎn)化.(3)倍角公式及其變形公式可實(shí)

9、現(xiàn)三角函數(shù)的升冪或降冪的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也可完成角的轉(zhuǎn)化.學(xué)例1函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是 .21-f(x)=cos2x+sin2x+1= sin(2x+ )+1，所以最小值為1- .242學(xué)例2 設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;(2)設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB= ,f( )=- ,且C為銳角,求sinA.3132C14 (1)f(x)=cos(2x+ )+sinx=cos2xcos -sin2xsin += - sin2x.所以,當(dāng)2x=- +2k(kZ)，即x=- +k(kZ)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，為

10、 ；同時(shí),f(x)的最小正周期為.3331 cos22x123224132(2)因?yàn)閒( )= - sinC=- ,所以sinC= .因?yàn)镃為銳角,所以C= .又因?yàn)樵贏BC中,cosB= ,所以sinB= .所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = + = .2C123214323132232231213322 236【答案】Av第第4課時(shí)簡單的三角恒等變換課時(shí)簡單的三角恒等變換教材回扣夯實(shí)雙基教材回扣夯實(shí)雙基v基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理v課前熱身課前熱身考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)探究講練互動(dòng)給角求值問題給角求值問題例例1v【題后感悟】給角求值：一般所給出的角都是非特【題后感悟

11、】給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與殊角，從表面來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的特殊角總有一定的關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角關(guān)系，結(jié)合三角公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解有時(shí)還可逆用、變形運(yùn)用公式的三角函數(shù)而得解有時(shí)還可逆用、變形運(yùn)用公式例例給值求值問題給值求值問題例例2v【題后感悟】已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函【題后感悟】已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為：數(shù)式的值，一般思路為：v(1)先化簡所求式子或所給條件；先化

12、簡所求式子或所給條件；v(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)從三角函數(shù)名及角入手名及角入手)；v(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值將已知條件代入所求式子，化簡求值例例給值求角問題給值求角問題例例3v【題后感悟】已知三角函數(shù)值求角【題后感悟】已知三角函數(shù)值求角,一般可分以下一般可分以下三個(gè)步驟：三個(gè)步驟：v(1)確定角所在的范圍；確定角所在的范圍；v(2)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值求角的某一個(gè)三角函數(shù)值(要求該三角函數(shù)應(yīng)在要求該三角函數(shù)應(yīng)在角的范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)角的范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào))；例例v方法技巧方法技巧v常用的三角恒等變換技巧常用的三角恒等變換技巧v(1)角變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系，角變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系，減少角的種類，化異角為同角減少角的種類，化異角為同角v失誤防范失誤防范考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考v命題預(yù)測命題預(yù)測v從近幾年的高考試題來看，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系從近幾年的高考試題來看，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱，利用誘導(dǎo)公式、和差角公式及改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱，利用誘導(dǎo)公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點(diǎn)，常與三二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與v性質(zhì)