關(guān)注模型教學(xué) 拓展解題方法

1、關(guān)注模型教學(xué) 拓展解題方法摘  要在中考試題中，挖掘古老數(shù)學(xué)問題的價(jià)值，運(yùn)用古老問題解決新問題的情形頻頻出現(xiàn).如費(fèi)馬點(diǎn)問題、折弦定理、楊輝三角和胡不歸問題等.這些問題，如果學(xué)生平時(shí)沒有訓(xùn)練，在考試時(shí)就會(huì)有一定的難度.因而，在平時(shí)的教學(xué)中，教師必須對(duì)這些模型進(jìn)行歸納與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律，使學(xué)生加強(qiáng)模型識(shí)別，在一模多變的問題中提高學(xué)生分析與解決問題的能力.關(guān)鍵詞模型;胡不歸問題;解題方法中圖分類號(hào)  G633.6    文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼  A    文章編號(hào)&

2、#160; 1674-6058202135-0004-02“胡不歸問題來自一個(gè)古老的傳說.話說一個(gè)在A地當(dāng)學(xué)徒的小伙子得知家鄉(xiāng)B地的父親病危的消息，便往家趕.根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短的線段性質(zhì)，他選擇了全是沙礫的直線路徑AB，當(dāng)小伙子回到家時(shí)，他父親剛剛?cè)ナ?，好心的鄰居給小伙子講，老人在臨終前口里不斷地說著“胡不歸？胡不歸？鄰居問小伙子：“你為什么不先走一段驛道呢？如圖1所示，小伙子如果沿APPB的路徑行走，雖然路程長(zhǎng)了，但在驛道上行走速度比較快.那么小伙子把點(diǎn)P選在驛道的何處，才能節(jié)省時(shí)間呢？這就是著名的“胡不歸問題.此問題可以抽象出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：設(shè)小伙子在驛道、沙礫中行走的速

3、度分別為a、ba>b，那么他折線行走的總時(shí)間為t=APa+BPb=1bBP+baAP.由于兩個(gè)速度是定值，欲求t的最小值，就是求BP+baAP的最小值.這里需要將baAP替換為一條線段.如圖2，可以作射線AN，使sinNAP=ba，然后過點(diǎn)P作PFAN，所以PF=baAP，于是t=1bBP+PF，求BP+PF的最小值.根據(jù)“垂線段最短可以過點(diǎn)B作AN的垂線段交AC于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn).這里“胡不歸問題就是求“PA+kPB0一、三角形中的“胡不歸問題三角形中的“胡不歸問題是指一動(dòng)點(diǎn)在三角形中的一條折線上運(yùn)動(dòng)，且在第一條線段上運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，在另一條線段上運(yùn)動(dòng)速度不為每

4、秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間.方法就是將系數(shù)不為1的線段轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，然后利用“垂線段最短的性質(zhì)求解.例1如圖3，等腰ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高AO，點(diǎn)D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ADDC運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度為3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位每秒，那么當(dāng)AD=           時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短.解析：如圖4，作DHAB于H，CMAB于M，交AO于D.運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=AD3+CD1=AD3+CD，AB

5、=AC，AOBC，BO=OC=1，DAH=BAO，DHA=AOB=90°，AHDAOB，ADAB=DHOB，DH=13AD，13AD+CD=CD+DH，當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，OA=32-12=22，12BC·AO=12AB·CM，CM=423，AM=AC2-CM2=73，AD=3MD.設(shè)MD=m，那么AD=3m，那么有9m2-m2=499，m=7212或-7212舍棄，AD=724，故答案為724.評(píng)注：要正確解答此題，不僅要利用“胡不歸問題的幾何模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而且要注意利用勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.二、四邊形中的“胡不歸問題四邊

6、形中的“胡不歸問題是指在四邊形中有一動(dòng)點(diǎn)，此動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上或到四邊形一個(gè)頂點(diǎn)的距離為定值，求它到另一頂點(diǎn)的距離與它到第三頂點(diǎn)距離的k倍的和的最小值.這里也可以通過構(gòu)造相似三角形將k倍的線段轉(zhuǎn)化一條線段，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短得到三點(diǎn)共線時(shí)有最值，從而求解.例2如圖5，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，求13AP+PC的最小值.解析：如圖6，在AB上截取BF=1，連接PF，PC，AB=9，PB=3，BF=1，PBAB=13=BFBP，且ABP=ABP，ABPPBF，F(xiàn)PAP=BPAB=13，PF=13AP，13AP+PC=PF+PC，當(dāng)點(diǎn)F，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，

7、13AP+PC的值最小，CF=BF2+BC2=1+49=52，13AP+PC的最小值為52.評(píng)注：此題中系數(shù)不為1的線段中的系數(shù)k決定了構(gòu)造相似三角形的相似比.假設(shè)系數(shù)k是14，就構(gòu)造一個(gè)相似比為14的相似三角形;假設(shè)系數(shù)k是22，可構(gòu)造等腰直角三角形;假設(shè)系數(shù)k是12，就構(gòu)造一個(gè)含30°的直角三角形.三、圓中的“胡不歸問題圓中的“胡不歸問題是指動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到另一定點(diǎn)距離k倍的和的最小值.這里仍需構(gòu)造相似三角形，將k倍的距離轉(zhuǎn)化為一條線段，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短求得最值.例3如圖7，扇形COD中，O為圓心，COD=120°，OC=4，O

8、A=2，OB=3，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程.解析：如圖8，延長(zhǎng)OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點(diǎn)F作FMOD于點(diǎn)M，OC=4，F(xiàn)C=4，F(xiàn)O=8，且OP=4，OA=2，OAOP=12=OPOF，且AOP=AOP，AOPPOF，APPF=OAOP=12，PF=2AP，2PA+PB=PF+PB，當(dāng)點(diǎn)F，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小.COD=120°，F(xiàn)OM=60°，且FO=8，F(xiàn)MOM，OM=4，F(xiàn)M=4【3】，MB=OM+OB=4+3=7.FB=FM2+MB2=97.2PA+PB的最小值為97.評(píng)注：此題與上例比較

9、，相同點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，不同點(diǎn)是k倍的距離中的k，一個(gè)是分?jǐn)?shù)，一個(gè)整數(shù)，它們?cè)谧鬏o助線時(shí)分別采用了截取與延長(zhǎng)的方法.但都是在k倍距離的一側(cè)構(gòu)造相似三角形，這一點(diǎn)是相通的.責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)猜你喜歡解題方法模型從勾股定理到“一線三等角模型初中生世界·九年級(jí)(2021年2期)2021-04-10模型小覽二汽車導(dǎo)報(bào)(2021年5期)2021-08-03借模型之力釋難題之疑中學(xué)教學(xué)參考·理科版(2021年3期)2021-05-19高中數(shù)學(xué)解題中“構(gòu)造法的應(yīng)用探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(2021年7期)2021-04-18導(dǎo)數(shù)中涉及“ex，lnx的模型高中生學(xué)習(xí)·高三版(2021年4期)2021-04-14高考英語閱讀理解之我見校園英語·下旬(2021年2期)2021-03-20圓周運(yùn)動(dòng)與解題模型求學(xué)·理科版(2021年1期)