余弦定理的證明方法(多篇范文)

1、余弦定理的證明方法目錄第一篇：余弦定理的證明方法 第二篇：正余弦定理的多種證明方法 第三篇：余弦定理證明過(guò)程 第四篇：余弦定理及其證明 第五篇：余弦定理證明 正文第一篇：余弦定理的證明方法 余弦定理的證明方法 在厶 abc 中，ab二c、be二a、ca=b則 cA2=aA2+bA2-2ab*coscaA2=bA2+cA2-2bc*cosa匕八2二aA2+cA2-2ac*cosb下面在銳角中證明第一個(gè)等式，在鈍角中證明以此類(lèi)推。 過(guò) a 作 ad丄bc 于 d,貝U bd+cd=a由勾股定理得：cA2=(ad)A2+(bd)A2 , (ad)A2=bA2-(cd)A2 所以 cA2=(ad)A2

2、-(cd)A2+bA2=(a-cd)A2-(cd)A2+bA2 =aA2-2a*cd+(cd)A2-(cd)A2+bA2=aA2+bA2-2a*cd因?yàn)?cosc=cd/b所以 cd=b*cosc所以 cA2=aA2+bA2-2ab*cosc在任意 abc中，作ad丄be./c對(duì)邊為c,Zb對(duì)邊為b,Za對(duì)邊為a->bd=cosb*c， ad=sinb*c ， dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知：ac2 =ad2 +dc2b2 =(sinb*c) 2 +(a-cosb*c) 2b2 =sin 2 b*c2 +a2 +cos2 b*c2 -2ac*cosbb2 =(sin 2

3、 b+cos2 b)*c 2 -2ac*cosb+a 2b2 =c2 +a2 -2ac*cosb所以， cosb=(c2 +a2 -b2 )/2ac2如右圖，在 abc 中，三內(nèi)角 a、 b、c 所對(duì)的邊分別是 a、b、c. 以 a 為原點(diǎn)， ac 所在的直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系，于是 c 點(diǎn)坐標(biāo)是 (b， 0) ，由三角函數(shù)的定義得 b 點(diǎn)坐標(biāo)是 (ccosa，csina).cb=(ccosa -b , csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a,貝卩 ad=cb.而|ad|=|cb|=a，/ dac= n - / bca= n -c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知 d 點(diǎn)坐標(biāo)是(acos( n -

4、c) , asin( n -c) 即 d 點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc , asinc),ad=(-acosc , asinc)而 ad=cb(-acosc , asinc)=(ccosa-b, csina)asinc=csina -acosc=ccosa- b由得asina=csinc，同理可證 asina=bsinb，二 asina=bsinb=csinc. 由得 acosc=b-ccosa ，平方得： a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a ，即 a2- a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a. 而由可得a2sin2c=c2sin2a a2=b2+c2-2bc

5、cosa.同理可證 b2=a2+c2-2accosb, c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。§ abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc應(yīng)用余弦定理證 明：mb=(1/2)mc=(1/2)ma=V(cA2+(a/2)A2 -ac*cosb)=(1/2) V(4cA2+aA2 -4ac*cosb)由 bA2=aA2+cA2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2aA2+2cA2-2bA2，代入上述 ma表達(dá)式：ma=(1/2) V=(1/2) V(2bA2+2cA2-aA2)同理可得：mb=mc=4ma=V(cA2+

6、(a/2)A2 -ac*cosb)=(1/2) V(4cA2+aA2 -4ac*cosb)由 bA2=aA2+cA2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2aA2+2cA2-2bA2，代入上述 ma表達(dá)式：ma=(1/2) V=(1/2) V(2bA2+2cA2-aA2)證畢。第二篇：正余弦定理的多種證明方法 利用向量統(tǒng)一正、余弦定理的證明第 3 頁(yè) 共 13 頁(yè)正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾 種不同的證明方法， 1人教版中等職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃教材數(shù)學(xué) (提高版)是用向量的數(shù)量積(內(nèi)積)給出證明的，如是在證明正弦 定理時(shí)用到：作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)

7、量積， 這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受。本文通過(guò)三角函數(shù)的定 義，利用向量相等和向量的模統(tǒng)一正、余弦定理的證明，方法較為簡(jiǎn) 單。從本文的證明中又一次顯示數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。定理：在厶 abc 中，ab=c,ac=b,bc=a,貝U(1) (正弦定理) =；(2) (余弦定理)c2=a2+b2-2abcos c,b2=a2+c2-2accos b,a2=b2+c2-2bccos a 。證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，貝a=(0， 0)、 b=(c,0 )，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c= (bcos a,bsin a )，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc ,貝卩/

8、bac' =n - / b,c' (acos( n -b),asin( n -b)=c'( -acos b,asin b)。根據(jù)向量的運(yùn)算：=( -acos b,asin b )，=-=(bcos a-c,bsin a ) ,( 1)由 =：得asin b=bsin a, 即同理可得： =。(2) 由=( b-cos a-c )2+(bsin a)2=b2+c2-2bccos a ，又 ll=a,/. a2=b2+c22bccos a。同理：c2=a2+b2-2abcos c ； b2=a2+c2-2accos b 。第 2 頁(yè) 共 2 頁(yè)第三篇：余弦定理證明過(guò)程在ab

9、c 中，設(shè) bc = a, ac= b, ab= c, 試根據(jù) b, c, a來(lái)表示a。分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形,在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一 步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d,那么在rt bdc中，邊a可利 用勾股定理用cd、d b表示，而cd可在rt a d c中利用邊角關(guān)系表 示，db可利用ab ad轉(zhuǎn)化為ad,進(jìn)而在rt a d c內(nèi)求解。解：過(guò)c作cd丄ab,垂足為d,則在rt c d b中，根據(jù)勾股定理可得： a2 = c d 2+ b d 2t 在 rt a d c 中，c d 2= b2 a d 2又v bd 2=

10、(c a d) 2= c2 2c ad + ad 2a2= b2 a d 2 + c2 2c a d + a d 2= b2 + c22c a d 又 v在 rt a d c 中，ad= b cosaa2= b2+ c2 2bccosa 類(lèi)似地可以證明 b2= a2+ c2 2accosb, c2= a2+ b2 2abcosc第四篇：余弦定理及其證明 余弦定理及其證明1. 三角形的正弦定理證明： 步驟 1.在銳角 abc中，設(shè)三邊為a, b, c。作ch丄ab垂足為點(diǎn)hch=a sinbch=b sinaa sinb=b si na得到a/sina=b/sinb同理，在 abc中，b/sin

11、b=c/sinc步驟 2.證明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r ：如圖，任意三角形abc，作abc的外接圓o.作直徑bd交Oo于d.連接 da.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，所以/ dab=90度因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，所以/d等于/ c.所以 c/sinc=c/sind=bd=2r a/sina=bc/sind=bd=2r 類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。2. 三角形的余弦定理證明： 平面幾何證法：在任意 abc中做ad丄bc./c所對(duì)的邊為c,Z b所對(duì)的邊為b,Za所對(duì)的邊為a 則有 bd=cosb*c， ad=sinb*c ， dc=bc-bd=a-cosb*c 根據(jù)勾股定理可得

12、：acA2=adA2+dcA2bA2=(si nb*c)A2+(a-cosb*cF2 bA2=sinA2b*cA2+aA2+cosA2b*cA2-2ac*cosb bA2=(sinA2b+cosA2b)*cA2-2ac*cosb+aA2 bA2=cA2+aA2-2ac*cosbcosb=(cA2+aA2-bA2)/2ac3在厶 abc 中，ab=c> be二a、ca=b則 cA2=aA2+bA2-2ab*coscaA2=bA2+cA2-2bc*cosabA2=aA2+cA2-2ac*cosb下面在銳角中證明第一個(gè)等式，在鈍角中證明以此類(lèi)推。過(guò) a 作 ad丄bc 于 d,貝U bd+cd

13、=a由勾股定理得：cA2=(ad)A2+(bd)A2 , (ad)A2=bA2-(cd)A2所以 cA2=(ad)A2-(cd)A2+bA2=(a-cd)A2-(cd)A2+bA2=aA2-2a*cd+(cd)A2-(cd)A2+bA2=aA2+bA2-2a*cd因?yàn)?cosc=cd/b所以 cd=b*cosc所以 cA2=aA2+bA2-2ab*cosc題目中A2表示平方。2談?wù)?、余弦定理的多種證法聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教a（內(nèi)容來(lái)源好：）版教材數(shù)學(xué)（必修5）是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位

14、向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特， 不易被初學(xué)者接受 . 本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而 進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中 “數(shù)”與“形”的完美結(jié)合 .定理：在厶abc中，ab=c,ac=b,bc=a,貝卩（1）（ 正弦定理 ）=;（2）（ 余弦定理 ）c2=a2+b2-2abcosc,b2=a2+c2-2accosb,a2=b2+c2-2bccosa.一、正弦定理的證明證法一：如圖1,設(shè)ad、be、cf分別是 abc的三條高。則有ad=b? sin / bca,be=c? sin / cab,cf=a? sin / abc。所以

15、 sabc=a? b? csin / bca=b? c? sin / cab=c? a? sin / abc.證法二：如圖1,設(shè)ad、be、cf分別是 abc的3條高。則有ad=b? sin / bca=c? sin / abc,be=a? sin / bca=c? sin / cab。證法三：如圖2,設(shè)cd=2r是厶abc的外接圓的直徑，則/ dac=90°,Z abc二/adc。 證法四：如圖 3,設(shè)單位向量 j 與向量 ac 垂直。 因?yàn)?ab=ac+cb,所以 j ? ab=j? (ac+cb)=j ? ac+j ? cb. 因?yàn)?j ? ac=0,j ? cb=|j|cb|

16、cos(90° - / c)=a ? sinc ,j ? ab=|j|ab|cos(90° - / a)=c? sina.二、余弦定理的證明法一：在厶abc中，已知，求c。過(guò) a 作, 在 rt 中, 法二：,即：法三：先證明如下等式：證明：故式成立，再由正弦定理變形，得結(jié)合、有即.同理可證三、正余弦定理的統(tǒng)一證明 法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則 a=(0， 0) 、 b=(c,0) ，又由任意角三角函數(shù)的定義可得： c=(bcosa,bsina) ，以 ab、be為鄰邊作平行四邊形abcc'，則/ bac' = n - / b,c' (

17、acos( n -b),asin( n -b)=c(-acosb,asinb).根據(jù)向量的運(yùn)算：=(-acosb,asinb) ，=-=(bcosa-c,bsina),(1) 由 =：得asinb=bsina, 即同理可得： =.(2) 由 =(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa ，又 ll=a,a2=b2+c22bccosa.同理：c2=a2+b2-2abcosc;b2=a2+c2-2accosb.法二：如圖 5，, 設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知即將(1) 式改寫(xiě)為化簡(jiǎn)得 b2-a2-c2=-2accosb.即 b2=a

18、2+c2-2accosb.(4)第五篇：余弦定理證明余弦定理證明在任意 abc中，作ad丄be./c對(duì)邊為c,Zb對(duì)邊為b,Za對(duì)邊為a->bd=cosb*c， ad=sinb*c ， dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac2 =ad2 +dc2b2 =(sinb*c) 2 +(a-cosb*c) 2b2 =sin 2 b*c2 +a2 +cos2 b*c2 -2ac*cosbb2 =(sin 2 b+cos2 b)*c 2 -2ac*cosb+a 2b2 =c2 +a2 -2ac*cosb所以， cosb=(c2 +a2 -b2 )/2ac2如右圖，在 abc 中，三內(nèi)角

19、 a、 b、c 所對(duì)的邊分別是 a、b、c. 以 a 為原點(diǎn)， ac 所在的直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系，于是 c 點(diǎn)坐標(biāo)是 (b , 0)，由三角函數(shù)的定義得 b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa ,csina).二cb=(ccosa -b , csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a,貝卩 ad=cb.而|ad|=|cb|=a，/ dac= n - / bca= n -c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知 d 點(diǎn)坐標(biāo)是(acos( n -c) , asin( n -c) 即 d 點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc , asinc),ad=(-acosc , asinc)而 ad=cb(-acosc , asinc)=(ccosa-b, csina) asinc=csina -acosc二ccosa- b由得asina=csinc，同理可證 asina=bsinb，二 asina=bsinb