速率分布函數(shù)學(xué)習教案

1、會計學(xué)1速率分布速率分布(fnb)函數(shù)函數(shù)第一頁，共39頁。 4.5 麥克斯韋速率(sl)分布律1、 速率速率(sl)分布函數(shù)分布函數(shù)要深入研究氣體要深入研究氣體(qt)的性質(zhì)的性質(zhì)，一步弄清分子按速率和按一步弄清分子按速率和按能量等的能量等的分布分布情況。情況。等；等；，如如 v 2t 不能光是研究一些平均值，不能光是研究一些平均值，還應(yīng)該進還應(yīng)該進整體上看，氣體的速率分布是有統(tǒng)計規(guī)律性的。整體上看，氣體的速率分布是有統(tǒng)計規(guī)律性的。麥克斯韋麥克斯韋（Maxwell s law of distribution of speeds）第1頁/共39頁第二頁，共39頁。設(shè)總分子設(shè)總分子(fnz)數(shù)為

2、數(shù)為 N N 表示速率在表示速率在 v v + v 區(qū)間區(qū)間(q jin)內(nèi)的分子內(nèi)的分子數(shù)。數(shù)。 N 與與 v 、 v 有關(guān)有關(guān)(yugun) 。NN 表示速率處在表示速率處在 v v + v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總 分子數(shù)的百分率。分子數(shù)的百分率。也與也與 v 、 v 有關(guān)。有關(guān)。NNvNN 分子速率在分子速率在 v 附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總 分子數(shù)的比率。分子數(shù)的比率。第2頁/共39頁第三頁，共39頁。下面下面(xi mian)(xi mian)列出了列出了HgHg分子在某溫度時不同速率的分子分子在某溫度時不同速率的分子數(shù)占總分子的百分比

3、。數(shù)占總分子的百分比。)/(smv00/ NN90以下以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上以上10.3218.9322.718.312.86.24.0第3頁/共39頁第四頁，共39頁。注意：以上速率分布情況只要在相同實驗注意：以上速率分布情況只要在相同實驗(shyn)條件下條件下多次重復(fù)實驗多次重復(fù)實驗(shyn)，其結(jié)果一樣。說明盡管每次任取，其結(jié)果一樣。說明盡管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子總體而言卻一分子看，分子速率各不相同。但大量分子總體而言卻遵循著確定的規(guī)律。遵循著確定的規(guī)律。 1）實驗）實驗(shyn

4、)數(shù)據(jù)的圖示化數(shù)據(jù)的圖示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%)(vf0 90 140 190 240 290 340 390 v第4頁/共39頁第五頁，共39頁。)(vfv從圖中可以從圖中可以(ky)看出看出:1)每個小長方形面積每個小長方形面積(min j)代表某速率區(qū)間的分子數(shù)代表某速率區(qū)間的分子數(shù) 占總分子數(shù)的百分比占總分子數(shù)的百分比N/N2)所有所有(suyu)小面積的和恒等于一。小面積的和恒等于一。3）當速率區(qū)間）當速率區(qū)間0v，小矩形面積的端點，小矩形面積的端點連成一函數(shù)曲線連成一函數(shù)曲線-分子速率分布函數(shù)。分子速率分布函數(shù)。)(vfv)

5、(vfvvv第5頁/共39頁第六頁，共39頁。2 2）分布函數(shù)）分布函數(shù) 的意的意義義)(vf要搞清函數(shù)要搞清函數(shù)(hnsh)的意的意義，先要弄清縱坐標的義，先要弄清縱坐標的意義。意義。在在vvv區(qū)間區(qū)間作一小矩形，小矩作一小矩形，小矩形的面積：形的面積：NNs按函數(shù)按函數(shù)(hnsh)的定義的定義vvfs)(故故vvfNN)(vNNvf)(或：或：0v當當NdvdNvf)()(vfv)(vfvvv第6頁/共39頁第七頁，共39頁。占總分子占總分子(fnz)數(shù)的比例。數(shù)的比例。”率率v 附近單位速率附近單位速率(sl)區(qū)間的概率。區(qū)間的概率。 vvvdd)(NNf 由定義由定義(dngy)式式可

6、看出可看出 f (v)的意義是：的意義是： 因為因為 01d vvNN 所以所以 0( )1f v dv這稱為速率分布函數(shù)這稱為速率分布函數(shù)的的歸一化條件歸一化條件。， vv 0dNN 即即 對于一個分子來說，對于一個分子來說，f (v) 就是分子處于速就是分子處于速“ 在速率在速率v 附近，附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)（function of distribution of speeds）稱稱 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù))(vf第7頁/共39頁第八頁，共39頁。思考思考(sko)：1、若若 表示速率分布函數(shù)，試說明下列各式的物理意義表示速率分布函數(shù)，試說明下列各式的物理意

7、義)(vfvv df)(（1）vv dNf)(（2）vvvvdf)(21（3）vvvvdNf)(21 （4）0vvvdf)( （5）第8頁/共39頁第九頁，共39頁。2、麥克斯韋速率分布、麥克斯韋速率分布(fnb)函數(shù)（函數(shù)（1860年從理論年從理論上導(dǎo)出）上導(dǎo)出）kTmekTmf2223020)2(4)(vvv0m是分子的質(zhì)量，是分子的質(zhì)量，123KJ 1038. 1ANRk玻耳茲曼常數(shù)玻耳茲曼常數(shù)(chngsh)速率分布速率分布(fnb)(fnb)曲線曲線 以以 v 為橫坐標，為橫坐標， 為縱坐標，畫出的曲線稱為為縱坐標，畫出的曲線稱為速率分布曲線速率分布曲線。vvNdNdf)(由上式可得

8、到一個分子在由上式可得到一個分子在 v v + dv 區(qū)間的概率為區(qū)間的概率為vvvdekTmNdNkTm2223020)2(4第9頁/共39頁第十頁，共39頁。f(v)vv2v1NNdfvvvv)(21NdNdfvv)(分布分布(fnb)曲線的物曲線的物理意義理意義 小矩形小矩形(jxng)(jxng)的面積的面積表示速率處在表示速率處在 v v + dv v v + dv 區(qū)間區(qū)間(q jin)(q jin)內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。占總分子數(shù)的百分率。曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 表示速率處在表示速率處在 v1 v2 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的

9、百分率。率。曲線下的總面積曲線下的總面積10vv df)(歸一化條件歸一化條件第10頁/共39頁第十一頁，共39頁。最可幾速率最可幾速率 ( (最概然速最概然速率率) )vpf(v)vvpvp把整個速率區(qū)間分成許多相等的小區(qū)間把整個速率區(qū)間分成許多相等的小區(qū)間, , 則速率大小與則速率大小與 相相近的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為最大。近的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為最大。0)(vvfddpv可由求極值條件可由求極值條件 求得求得MRTMRTmkTp41. 1220v 分布曲線(qxin)極大值對應(yīng)的速率叫最可幾速率。物理意義物理意義: :第11頁/共39頁第十二頁，共39頁。討論討論(toln

10、)兩種兩種情況：情況：MRTmkTp220v21Tpv210 mpv,（1 1）m0 一定一定, , pTv曲線曲線(qxin)(qxin)高峰高峰右移右移, , 同時高度下降。同時高度下降。（2 2）T 一定一定，210 mpvf(v)vvp11T12TT vp2f(v)v大0m小0m第12頁/共39頁第十三頁，共39頁。000vvvvvvvvdfNdNfNNd)()( MRTMRTmkT60. 1880v2. 平均速率平均速率v大量分子速率的算術(shù)平均值叫平均速率。大量分子速率的算術(shù)平均值叫平均速率。vNNNNNNiiiivvvvv2211若用若用dN表示速率在表示速率在vv+dv 區(qū)間區(qū)間

11、(q jin)內(nèi)的分子數(shù)，內(nèi)的分子數(shù)，v 連續(xù)分布時，上式過渡到積分。連續(xù)分布時，上式過渡到積分。第13頁/共39頁第十四頁，共39頁。iiiNNvv分立分立(fn l)：連續(xù)連續(xù)(linx)：vi v，2121vvvvvdNdNv對麥氏速率對麥氏速率(sl)分布經(jīng)計算得：分布經(jīng)計算得：MRTmkT88 v NNNN00ddvvvv NNNvvd0 0d)(vvvfNi dNv=N f (v)dv，平均速率平均速率（average speed）平均速率平均速率 任意函數(shù)任意函數(shù) (v)對對全體分子全體分子按速按速率分布的平均值：率分布的平均值： 0d)()(vvvvf 第14頁/共39頁第十五

12、頁，共39頁。02022vvvvvdfNdN)(MRTMRTmkT73. 13302v3. 方均根速率方均根速率(sl)速率速率(sl)平方的平均值平方的平均值方均根速率方均根速率(sl)第15頁/共39頁第十六頁，共39頁。f(v)vpvv2v2vvvp三種速率中，三種速率中，最大，最大，次之，最小次之，最小2vvpv第16頁/共39頁第十七頁，共39頁。附錄附錄: 三種統(tǒng)計速率三種統(tǒng)計速率(sl)的計算的計算0)1 ()(822)(42/32/32vv2vvvvvvv222bebebebddfbbbbbN12)(4032/30dvevvf(v)dvvdNv2bv-0kTmekTmf2223

13、020)2(4)(vvv速率分布函數(shù)中令速率分布函數(shù)中令bkTm20則2223)(4)(vvvbebf02mkTp v08mkT v第17頁/共39頁第十八頁，共39頁。速率速率(sl)平方的平平方的平均值均值2223)(4)(vvvbebfbbN23)(4042/30dvevf(v)dvvdNvv2bv-2022MRTmkT3302v第18頁/共39頁第十九頁，共39頁。討論思考題：試說明下列討論思考題：試說明下列(xili)(xili)各式各式的物理意義的物理意義vv df)(vv dNf)(vvvvdf)(21vvvvdNf)(21vvvvvdf)(21NdNdNNNNdN21vvNd2

14、1vvNv速率在速率在 的所有分的所有分子速率的總和被總分子數(shù)子速率的總和被總分子數(shù)除除21vv 速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)分子數(shù)21vv 速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分子數(shù)占總分子數(shù)的比率21vv 并非并非 之間的分子之間的分子的平均速率的平均速率21vv 第19頁/共39頁第二十頁，共39頁。vvv202dfm)(1ppdfdfvvvvvvv)()(vvNvvvdf)(2121vvvdN速率在速率在 的所有分的所有分子速率總和子速率總和21vv 分子平動動能的平均值分子平動動能的平均值速率在速率在 內(nèi)的分子的內(nèi)的分子的平均速率平均速率pvppdNdNvvv

15、第20頁/共39頁第二十一頁，共39頁。f(v)vT1T2例例1、圖為同一種氣體、圖為同一種氣體(qt)，處于不同溫度下的速率，處于不同溫度下的速率分布曲線，試問（分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應(yīng)的溫度高？（）哪一條曲線對應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫如果這兩條曲線分別對應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應(yīng)的是氧氣，哪條對應(yīng)氣的分布曲線，問哪條曲線對應(yīng)的是氧氣，哪條對應(yīng)的是氫氣？的是氫氣？解：解：MkTp2v(1) T1 T2(2) 綠：氧綠：氧 白白：氫：氫2pv1pv第21頁/共39頁第二十二頁，共39頁。例例2、處理理想氣體分子速率分布的

16、統(tǒng)計方法可用于金屬處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計方法可用于金屬中自由電子中自由電子( “電子氣電子氣”模型模型 )。設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為。設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為 N ,電子速率最大值為費米速率電子速率最大值為費米速率 ，且已知電子速率在，且已知電子速率在 v v + d v 區(qū)間的概率為：區(qū)間的概率為：FvNNd)(0 Fvv ) FdAvvvv0(2A 為常數(shù)為常數(shù)（1）畫出電子氣的速率分布曲線畫出電子氣的速率分布曲線（2）由）由 定出常數(shù)定出常數(shù) AFv（3）求）求 , , 2vvvp第22頁/共39頁第二十三頁，共39頁。Ovf ( v )解：解：（1）vvdNNdf)() FAvvv0(

17、2)(0 Fvv Fv第23頁/共39頁第二十四頁，共39頁。（2）由歸一化條件確定常數(shù)由歸一化條件確定常數(shù)A13)(003F2vvdvvvvFAAdf33FvAFpvv （3）Fddfvvvvvvvvv3F 75. 03)( 0202F3Fvvvvvv 6 . 030222dFFvvv 770602.第24頁/共39頁第二十五頁，共39頁。例例3、求速率在、求速率在 v1 v2 區(qū)間區(qū)間(q jin)內(nèi)的分子內(nèi)的分子的平均速率。的平均速率。解：解：2121vvvvvvvvdf)( 2121212121vvvvvvvvvvvvvvvvvdfNdfNNdNd)()( 212121vvvvvvvv

18、vvvvdd )()(ffvvdNNdf)(第25頁/共39頁第二十六頁，共39頁。討論討論(toln)：1、 用分子數(shù)用分子數(shù)N，氣體分子速率，氣體分子速率v和速率分布函數(shù)和速率分布函數(shù))(vf表示表示(biosh)下列各量下列各量（1）速率大于）速率大于 的分子數(shù)；的分子數(shù)； 0v（2）速率大于）速率大于 的那些分子的平均速率；的那些分子的平均速率； 0v（4）分子速率）分子速率(sl)倒數(shù)的平均值。倒數(shù)的平均值。（5）分子平均平動動能。）分子平均平動動能。2、設(shè)某種氣體的分子速率分布函數(shù)為設(shè)某種氣體的分子速率分布函數(shù)為f(v),則速率在則速率在v1v2區(qū)間的區(qū)間的分子的平均速率為：分子的

19、平均速率為：21( )( )vvAvfdvv21( )( )vvB vfdvv2211( )( )/( )vvvvCvfdvfdvvv210()( )/( )vvDfdvfdvvv（3）多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于）多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于 的概率。的概率。0v第26頁/共39頁第二十七頁，共39頁。（A）2000 m/s，1000 m/s（B）1000 m/s，2000 m/s（C）1000 m/s， 1000 m/s （D） 1000 m/s，1000 m/s 223、若氣體分子的速率、若氣體分子的速率(sl)分布曲線如圖所示，圖中分布曲線如圖所示，圖中A、B兩部分

20、的兩部分的面積相等，則圖中面積相等，則圖中 表示（表示（ D ） 0v4、圖示的曲線分別、圖示的曲線分別(fnbi)是氫氣和氦氣在同溫度下的分子速率分布曲是氫氣和氦氣在同溫度下的分子速率分布曲線，由圖可知，氫氣分子的最概然速率和氧氣分子的最概然速率分別線，由圖可知，氫氣分子的最概然速率和氧氣分子的最概然速率分別(fnbi)為（為（ ）（A）最概然速率）最概然速率 （B）平均速率）平均速率 （C）方均根速率）方均根速率 （D）速率大于和小于）速率大于和小于 的分子各占一半的分子各占一半 0v第27頁/共39頁第二十八頁，共39頁。5、 下列說法下列說法(shuf)中正確的是（中正確的是（ ）（A

21、）N個理想氣體分子組成的分子束，都以垂直于器壁的個理想氣體分子組成的分子束，都以垂直于器壁的速度速度(sd)v與器壁作完全彈性碰撞。當分子數(shù)與器壁作完全彈性碰撞。當分子數(shù)N小時，不小時，不能使用理想氣體的壓強公式；當能使用理想氣體的壓強公式；當N很大時就可以使用它；很大時就可以使用它； （B） 表示溫度為表示溫度為T的平衡態(tài)下，分子在一個自由度上運的平衡態(tài)下，分子在一個自由度上運動的平均動能；動的平均動能； kT21（C）因為氫分子質(zhì)量小于氧分子質(zhì)量，故在相同溫度下）因為氫分子質(zhì)量小于氧分子質(zhì)量，故在相同溫度下它們的速率滿足它們的速率滿足 ；22OHvv（D）氣體分子的速率等于最概然速率）氣體

22、分子的速率等于最概然速率 的概率最大。的概率最大。 pv第28頁/共39頁第二十九頁，共39頁。6、 某氣體分子的速率分布曲線如選某氣體分子的速率分布曲線如選7-7圖所示，圖所示， 表示最概然速表示最概然速率，率， 表示速率分布在表示速率分布在 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率，當溫度的百分率，當溫度(wnd)減低時，則（減低時，則（ A ） pvNNpppvvv（A） 減小，減小， 也減小也減小pvNNp（B） 增大，增大， 也增大也增大 pvNNp（C） 減小，減小， 增大增大pvNNp（D） 增大，增大， 減小減小pvNNp第29頁/共39頁第三十頁，共39頁。7、

23、設(shè)為設(shè)為N個（個（N很大）分子組成的系統(tǒng)的速率分布很大）分子組成的系統(tǒng)的速率分布(fnb)函數(shù)。函數(shù)。)(vf（1）分別寫出題圖（）分別寫出題圖（a）、）、(b)中陰影面積對應(yīng)的數(shù)學(xué)中陰影面積對應(yīng)的數(shù)學(xué)(shxu)表達式并回答其物理意義；表達式并回答其物理意義； （2）設(shè)分子質(zhì)量為）設(shè)分子質(zhì)量為m，試用，試用 表示以下各量：表示以下各量： )(vf 分子動量大小分子動量大小(dxio)的平均值；的平均值； 分子平動動能的平均值。分子平動動能的平均值。 第30頁/共39頁第三十一頁，共39頁。4.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布(fnb)律律 (了解了解)1、麥克斯韋速度、麥克斯韋速度(sd)分布律（分布律（1859年導(dǎo)出）年導(dǎo)出）zyxkTdddekTmNNdvvvk230)2()( 2121222020kzyxmmvvvv分子分子(fnz)動能動能 ,d-,d-yyyxxxvvvvvvvzyx,vvvzzzd-vvv第31頁/共39頁第三十二頁，共39頁。1) 2 (k230zyxkTdddekTmvvv “速率區(qū)間速率區(qū)間 v v + v ” 對應(yīng)對應(yīng)“速度空間速度空間”中半中半徑為徑為 v 、厚度為、厚度為 d v 的的“球殼球殼”，所以，所以(suy)粒子在速粒