2011高考數(shù)學(xué)一輪 等比數(shù)列-數(shù)列精品課件

1、 1.等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它起，每一項(xiàng)與它的的 的比等于的比等于 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，公比通常，公比通常用字母用字母 表示表示. 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： （q為常數(shù)）或?yàn)槌?shù)）或 （q為常數(shù)）（為常數(shù)）（n2）,常用定義判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等常用定義判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列比數(shù)列.第第2項(xiàng)項(xiàng) 前一項(xiàng)前一項(xiàng) 同一同一 公比公比 q(q0) q qa a a an n1 1n n=+ q qa a a a-1-1n nn n= 2.等比數(shù)列

2、的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公比為，公比為q，則它的通項(xiàng)，則它的通項(xiàng)公式公式an= . 通項(xiàng)公式的變形為通項(xiàng)公式的變形為an=amqn-m，也可寫(xiě)為，也可寫(xiě)為qn-m= 常常用此求通項(xiàng)公式中的公比用此求通項(xiàng)公式中的公比q.當(dāng)公比當(dāng)公比q1時(shí)時(shí)an= 可以可以看成函數(shù)看成函數(shù)y=cqx，是一個(gè)不為零的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘，是一個(gè)不為零的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積積.因此，數(shù)列因此，數(shù)列an各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在y=cqx圖象上圖象上. 3.等比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)如果三個(gè)數(shù)x，G，y組成組成 ，則，則G叫做叫做x和和y的等比中項(xiàng)，那么的等比中項(xiàng)，那么 ，即，即G2

3、= .m mn na aa an n1 1qqq qa aG Gy yx xG G=xy a1qn-1 等比數(shù)列等比數(shù)列 4. 4.等比數(shù)列的單調(diào)性等比數(shù)列的單調(diào)性 等比數(shù)列等比數(shù)列an中，公比為中，公比為q，則，則 當(dāng)當(dāng)a10,q1,或或a10，0q1時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列an為為 ； 當(dāng)當(dāng)a10,0q1,或或a10，q1時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列an為為 ； 當(dāng)當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列an為為 ；當(dāng)；當(dāng)q0時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列an為為 . 5.5.等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 如果等比數(shù)列如果等比數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公比為，公比為q，當(dāng)，當(dāng)q=1時(shí)，時(shí)，Sn= ；當(dāng)；當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，

4、Sn= = .其推導(dǎo)其推導(dǎo) 方方法為法為 .遞增數(shù)列遞增數(shù)列 遞減數(shù)列遞減數(shù)列 常數(shù)列常數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列 na1 q q- -1 1q qa a- -a an n1 1q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法 6. 6.等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì) 若數(shù)列若數(shù)列an為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，m，n，p，qN*,且且m+n=p+q，則，則aman= . an是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則an,|an|成成 數(shù)數(shù)列列,公比分別是公比分別是 ；按順序抽出間隔相同的項(xiàng)組成；按順序抽出間隔相同的項(xiàng)組成的新數(shù)列的新數(shù)列 . an成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，則Sm，

5、S2m-Sm，S3m-S2m ，公比為，公比為 .qm apaq 等比等比 q和和|q| 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 首先證明該數(shù)列為等比數(shù)列，得出公式，首先證明該數(shù)列為等比數(shù)列，得出公式，再求出首項(xiàng)便可寫(xiě)出通項(xiàng)公式再求出首項(xiàng)便可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.數(shù)列數(shù)列a an n的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為， （） （* *）（）求（）求，；（）證明：數(shù)列（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .3 31 1（）由（）由 （），得），得 （），）， 又又 （），即），即 （），），得得 （）證明：當(dāng)（）證明：當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1)，得，得 . 是首項(xiàng)

6、為是首項(xiàng)為 ，公比為，公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列. 3 31 13 31 12 21 13 31 13 31 14 41 13 31 13 31 12 21 1a aa a- -1 1n nn n2 21 12 21 1n n) )2 21 1- -( (a an n=若用為若用為 常數(shù)證明等比數(shù)列，不要忘記常數(shù)證明等比數(shù)列，不要忘記單獨(dú)驗(yàn)證單獨(dú)驗(yàn)證n=1時(shí)的情況時(shí)的情況. （2）要想到利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需先證明該數(shù)）要想到利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需先證明該數(shù)列是等比數(shù)列列是等比數(shù)列.n n1 1n na aa a+在數(shù)列在數(shù)列an中中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.(

7、1)證明證明:數(shù)列數(shù)列an-n是等比數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列求數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn;(3)證明證明:不等式不等式Sn+14Sn,對(duì)任意對(duì)任意nN*皆成立皆成立. (1)由題設(shè)由題設(shè)an+1=4an-3n+1,得得an+1-(n+1)=4(an-n),nN*. 又又a1-1=1,所以數(shù)列所以數(shù)列an-n是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1,且公比為且公比為4的等的等比數(shù)列比數(shù)列. (2)由由(1)可知可知an-n=4n-1,于是數(shù)列于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=4n-1+n. 所以數(shù)列所以數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= . .2 21 1) )n n( (n n3 31 1- -4 4

8、n n+(3)對(duì)任意的對(duì)任意的nN*,Sn+1-4Sn= -4 =- (3n2+n-4)0.所以不等式所以不等式Sn+14Sn,對(duì)任意對(duì)任意nN*皆成立皆成立.2 22 2) )1 1) )( (n n( (n n3 31 1- -4 41 1n n+2 22 2) )1 1) )( (n n( (n n3 31 1- -4 4n n+2 21 1考點(diǎn)二考點(diǎn)二 等比數(shù)列基本量的計(jì)算等比數(shù)列基本量的計(jì)算 在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，已知中，已知a6-a4=24,a3a5=64,求求an前前8項(xiàng)的和項(xiàng)的和S8.利用已知的兩個(gè)等式條件，可得利用已知的兩個(gè)等式條件，可得a1和和q的兩的兩個(gè)方程，解之可

9、得數(shù)列個(gè)方程，解之可得數(shù)列an，從而，從而S8便可求得便可求得.解法一：設(shè)數(shù)列解法一：設(shè)數(shù)列an的公比為的公比為q，依題意，依題意 a6-a4=a1q3(q2-1)=24 a3a5=(a1q3)2=64,a1q3=8.將將a1q3=-8代入式，得代入式，得q2-1=-3,q2=-2，舍去，舍去.將將a1q3=8代代入式，得入式，得q2-1=3,q=2.當(dāng)當(dāng)q=2時(shí)時(shí),a1=1，S8= =255；當(dāng)當(dāng)q=-2時(shí)時(shí),a1=-1,S8= =85.1 1- -q q1 1) )- -( (q qa a8 81 11 1- -q q1)1)- -(q(qa a8 81 1：an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，依

10、題設(shè)得依題設(shè)得 ,a4=8,a6=24+a4=248,an是實(shí)數(shù)列，是實(shí)數(shù)列， ,故舍去故舍去a4=-8,得得a4=8,a6=32.從而從而a5= =16,公比公比q的值為的值為q= =2.當(dāng)當(dāng)q=2時(shí)，時(shí)，a1=a4q-3=1,a9=a6q3=256, ;當(dāng)當(dāng)q=-2時(shí)，時(shí)，a1=a4q-3=-1,a9=a6q3=-256, .6 64 4a aa aa a5 53 32 24 4=0 0a aa a4 46 6 a aa a6 64 44 45 5a aa a2 25 55 5q q- -1 1a a- -a aS S9 91 18 85 5q q- -1 1a a- -a aS S9 9

11、1 18 88 (1)等比數(shù)列等比數(shù)列an中中,an=a1qn-1,Sn= 中有五個(gè)量中有五個(gè)量,可以知三求二可以知三求二. (2)注意分類討論的應(yīng)用注意分類討論的應(yīng)用.q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比的公比q1,前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,已知已知a3=2,S4=5S2,求求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.由題設(shè)知由題設(shè)知a10,Sn= ,則則 a1q2=2 ， 由由,得得1-q4=5(1-q2),即即(q2-4)(q2-1)=0,(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0.由由q1,解得解得q=-1或或q=-2.當(dāng)當(dāng)q=-1時(shí)時(shí),代入得代

12、入得a1=2,通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式an=2(-1)n-1;當(dāng)當(dāng)q=-2時(shí)時(shí),代入得代入得a1= ,通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式an= (-2)n-1.q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1q q- -1 1) )q q- -( (1 1a a5 5q q- -1 1) )q q- -( (1 1a a2 21 14 41 12 21 12 21 1在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中中,a1+a2+a3+a4+a5=8且且 =2,求求a3. (1)由已知條件可得由已知條件可得a1與公比與公比q的方程組，的方程組，解出解出a1，q，再利用通項(xiàng)公式即可得，再利用通項(xiàng)公式即可得a3. (2)也可利用性

13、質(zhì)也可利用性質(zhì) =a1a5=a2a4直接求得直接求得a3.5 54 43 32 21 1a a1 1a a1 1a a1 1a a1 1a a1 1+2 23 3a a解法一：設(shè)公比為解法一：設(shè)公比為q，顯然，顯然q1,an是等比數(shù)列是等比數(shù)列, 也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列,公比為公比為 . 解得解得 =4, ,a3=2.n na a1 1q q1 12 2q q1 1- -1 1) )q q1 1- -( (1 1a a1 1 8 8q q- -1 1) )q q- -( (1 1a a5 51 15 51 1=由已知條件得由已知條件得4 42 21 1q qa a4 4) )q q( (a

14、aa a2 22 21 12 23 3=解法二解法二:由已知得由已知得 =4.a3=2.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意挖掘要注意挖掘隱含條件隱含條件,利用性質(zhì)利用性質(zhì),特別是性質(zhì)特別是性質(zhì)“若若m+n=p+q，則，則aman=apaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.2 2a a8 8a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a1 1a a1 1a a1 1a a1 1a a1 12 23 32 23 35 54 43 32 21 12 23 33 34 42 24 42 25

15、 51 15 51 15 54 43 32 21 1=+=+=+2 23 3a a已知數(shù)列已知數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比不等于，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項(xiàng)分別是一等差數(shù)列的第又其中有連續(xù)三項(xiàng)分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項(xiàng)，項(xiàng)，求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. 設(shè)符合題設(shè)的等比數(shù)列設(shè)符合題設(shè)的等比數(shù)列an中的連續(xù)三項(xiàng)為中的連續(xù)三項(xiàng)為am，am+1，am+2，則，則am+1=amq，am+2=am+1q（q為公比），為公比）， 兩式相減，得兩式相減，得 ， 又又am+1=am+(k-t)d,即即am+1-am=(k-t)d, 同理同理am+2-am+1=(p

16、-k)d(d為公差為公差), 故故 , 所求通項(xiàng)公式為所求通項(xiàng)公式為 .m m1 1m m1 1m m2 2m ma a- -a aa a- -a aq q+=t t- -k kk k- -p pt t) )d d- -( (k kk k) )d d- -( (p pq q=- -1 1n n1 1n n) )t t- -k kk k- -p p( (a aa a =已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，且，且an= (3n+Sn)，對(duì)一，對(duì)一切正整數(shù)切正整數(shù)n恒成立恒成立.（1）證明：數(shù)列）證明：數(shù)列3+an是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；（2）數(shù)列）數(shù)列an中是否存在成等差數(shù)列的四項(xiàng)？若

17、存中是否存在成等差數(shù)列的四項(xiàng)？若存 在，請(qǐng)求出一組，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由在，請(qǐng)求出一組，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.利用利用an與與Sn之間的關(guān)系尋求突破口之間的關(guān)系尋求突破口.2 21 1（1）證明：由已知，得）證明：由已知，得Sn=2an-3n（nN*）,Sn+1=2an+1-3(n+1),兩式相減得兩式相減得an+1=2an+1-2an-3，即即an+1+3=2（an+3）. ，又又a1=S1=2a1-3，a1=3，a1+3=6.故數(shù)列故數(shù)列an+3是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為6，公比為，公比為2的等比數(shù)列的等比數(shù)列.2 23 3a a3 3a an n1 1n n=+（2）由（）由（1）知）知an+3=

18、62n-1，an=62n-1-3=32n-3.假設(shè)假設(shè)an中存在四項(xiàng)依次為中存在四項(xiàng)依次為 （m1m2m3m4）,它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，則它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，則（3 -3）+（3 -3）=（3 -3）+（3 -3），），即即 + = + ,上式兩邊同除以上式兩邊同除以 ,得得1+ = + m1,m2,m3,m4N*,且且m1m2m3m4,式的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，式的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，式不能成立式不能成立.數(shù)列數(shù)列an中不存在構(gòu)成等差數(shù)列的四項(xiàng)中不存在構(gòu)成等差數(shù)列的四項(xiàng)., ,a a , ,a a , ,a a , ,a a4 43 32 21 1m mm mm mm m1 1m m

19、2 24 4m m2 22 2m m2 23 3m m2 21 1m m2 24 4m m2 22 2m m2 23 3m m2 21 14 4m m- -m m2 21 12 2m m- -m m2 21 13 3m m- -m m2 21 1m m2 2數(shù)列數(shù)列an+3構(gòu)成等比數(shù)列，并不是構(gòu)成等比數(shù)列，并不是an為為等比數(shù)列；再就是等比數(shù)列；再就是 并不是相鄰的四并不是相鄰的四項(xiàng)，在設(shè)法上要注意項(xiàng)，在設(shè)法上要注意.4 43 32 21 1m mm mm mm ma a . .a a . .a a . .a a已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1=1，公差，公差d0,且第且第2項(xiàng)、項(xiàng)

20、、第第5項(xiàng)、第項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第的第2項(xiàng)、第項(xiàng)、第3項(xiàng)、項(xiàng)、第第4項(xiàng)項(xiàng).（1）求數(shù)列）求數(shù)列an與與bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列）設(shè)數(shù)列 Cn對(duì)對(duì)n N*均有均有 成立，求成立，求c1+c2+c3+c2 010.1 1n nn nn n2 22 21 11 1a ab bc cb bc cb bc c+=+(1)由已知有由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得解得d=2(d0).an=1+(n-1)2=2n-1.又又b2=a2=3，b3=a5=9，數(shù)列數(shù)列bn的公比為的公比為3.bn=3

21、3n-2=3n-1.（2）由）由 得得當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)， .當(dāng)當(dāng)n2時(shí)時(shí) =an+1 -an=2bn=23n-1（n 2）.又又n=1時(shí)，時(shí)， =a2，c1=3.c1+c2+c3+c2 010 =3+23+232+232 010-1 =1+21+23+232+232 009 =1+2 =32 010.1 1n nn nn n2 22 21 11 1a ab bc cb bc cb bc c+=+n n-1-1n n-1-1n n2 22 21 11 1a ab bc cb bc cb bc c=+n nn nb bc c1 11 1b bc c3 3- -1 13 3- -1 10 01 10

22、0 2 2某林場(chǎng)有荒山某林場(chǎng)有荒山3 250畝，每年春季在荒山上植樹(shù)造林，第畝，每年春季在荒山上植樹(shù)造林，第 一年植樹(shù)一年植樹(shù)100畝，計(jì)劃每年比上一年多植樹(shù)畝，計(jì)劃每年比上一年多植樹(shù)50畝畝 （全部（全部 成活）成活）.（1）問(wèn)需要幾年，可將此山全部綠化完？）問(wèn)需要幾年，可將此山全部綠化完？（2）已知新種樹(shù)苗每畝的木材量是）已知新種樹(shù)苗每畝的木材量是2立方米，樹(shù)林每立方米，樹(shù)林每 年自然增長(zhǎng)率年自然增長(zhǎng)率10%，設(shè)荒山全部綠化后的年底的，設(shè)荒山全部綠化后的年底的 木材總量為木材總量為S，求，求S約為多少萬(wàn)立方米（精確到約為多少萬(wàn)立方米（精確到0.1）？）？將問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列模型將

23、問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列模型.（1）每年植樹(shù)的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以）每年植樹(shù)的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1=100，d=50的等差數(shù)列，其和即為荒山的總畝數(shù)的等差數(shù)列，其和即為荒山的總畝數(shù). 設(shè)需要設(shè)需要n年可將此山全部綠化，則年可將此山全部綠化，則 Sn=a1n+ （n-1）d=100n+ 50 =3 250. 解此方程，得解此方程，得n=10（年）（年）.2 2n n2 21)1)- -n(nn(n （2）第一年種植的樹(shù)在第）第一年種植的樹(shù)在第10年后的木材量為年后的木材量為2a1（1+0.1）10,第二年種植的樹(shù)在第第二年種植的樹(shù)在第10年后的木材量為年后的木材量為2a2（1+0.1）9, 第第10

24、年種植的樹(shù)在年底的木材量為年種植的樹(shù)在年底的木材量為2a10（1+0.1）, 第第10年后的木材量依次構(gòu)成數(shù)列年后的木材量依次構(gòu)成數(shù)列bn，則其和為，則其和為 T=b1+b2+b10 =2001.110+3001.19+1 1001.11.0(萬(wàn)立方萬(wàn)立方米米). 答：需要答：需要10年可將此山全部綠化，年可將此山全部綠化，10年后木材總量約年后木材總量約為為1.0萬(wàn)立方米萬(wàn)立方米.數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題是考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題是考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的好素材題的好素材.它要求有較強(qiáng)的閱讀理解能力，捕捉信息它要求有較強(qiáng)的閱讀理解能力，捕捉信息的能力和歸納抽象的能力的能力和歸納抽象的能力.為了治

25、理為了治理“沙塵暴沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過(guò)多年努力，西部某地區(qū)政府經(jīng)過(guò)多年努力，到到2006年底，將當(dāng)?shù)厣衬G化了年底，將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%，從，從2007年開(kāi)始，年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的12%被綠化，即被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時(shí)原有綠洲面改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時(shí)原有綠洲面積的積的8%又被侵蝕為沙漠，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾年的綠化，才又被侵蝕為沙漠，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò)能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò)50%（可參考數(shù)據(jù)（可參考數(shù)據(jù)lg2=0.3,最后結(jié)果精確到整數(shù)）？最后結(jié)果精確到整數(shù)）？ 設(shè)該地區(qū)總面積為設(shè)該地區(qū)總面