2011年高考一輪數學復習 9-6棱柱、棱錐的概念和性質理 同步練習（名師解析）

1、第9章 第6節(jié) 知能訓練·提升考點一：棱柱、棱錐的概念與性質1設有四個命題：底面是矩形的平行六面體是長方體；棱長相等的直四棱柱是正方體；有兩條側棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對角線相等的平行六面體是直平行六面體以上四個命題中，真命題的個數是()A1B2C3 D4解析：命題不是真命題，因為底面是矩形，若側棱不垂直于底面，這時四棱柱仍然是斜平行六面體命題不是真命題，若底面是菱形，底面邊長與棱長相等的直四棱柱不是正方體命題也不是真命題，因為有兩條側棱垂直于底面一邊，這時兩個對的側面是矩形，但是不能推出側棱與底面垂直命題是真命題，由對角線相等，可得出平行六面體的對角面是矩形，

2、從而推出側棱與底面垂直，這個平行六面體是直平行六面體答案：A2下面是關于三棱錐的四個命題：底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；側棱與底面所成的角都相等，且側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中真命題的編號是_(寫出所有真命題的編號)解析：正確如圖，可令ABVBVCBCAC，則VBC為等邊三角形而VAB和VCA均為等腰三角形，故不能判定為正三棱錐；側面積相等只能證明斜高相等，并不能表示側面為全等三角形，故不能判定為正三棱錐；正確答案：考點二：棱柱

3、、棱錐的平行與垂直問題3在正四棱錐PABCD中，PAAB，M是BC的中點，G是PAD的重心，則在平面PAD中經過G點且與直線PM垂直的直線有_條解析：如圖，若設正四棱錐的底面邊長為a，則側棱為a，由于PMBC，所以PMa，連結PG并延長與AD相交于N點，則PNa，又MNABa，所以PM2PN2MN2，于是PMPN，又PMAD，所以平面PAD，因此在平面PAD中經過G點的任意一條直線都與PM垂直答案：無數4如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，點E是PD的中點(1)求證：ACPB；(2)求證：PB平面AEC；(3)求二面角EACB的大小解：(1

4、)證明：由PA平面ABCD可得PAAC，又ABAC，AC平面PAB，ACPB.(2)證明：如圖所示，連結BD交AC于點O，連結EO，則EO是PDB的中位線，EOPB，PB平面AEC.(3)取AD的中點F，連結EF，FO，則EF是PAD的中位線，EFPA，又PA平面ABCD，EF平面ABCD，同理FO是ABD的中位線，FOAB，POAC.由三垂線定理可知，EOF是二面角EACD的平面角又FOABPAEF，EOF45°，而二面角EACB與二面角EACD互補，故所求二面角EACB的大小為135°.考點三：棱柱、棱錐中角與距離的計算5(2010·昆明)三棱錐SABC中，S

5、A底面ABC，SA4，AB3，D為AB的中點，ABC90°，則點D到面SBC的距離等于()A. B. C. D.答案：C6如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，CB1，CA，AA1，M為側棱CC1上一點，AMBA1.(1)求證：AM平面A1BC；(2)求二面角BAMC的大小；(3)求點C到平面ABM的距離解：(1)證明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知面ACC1A1面ABC，ACB90°，BC面ACC1A1.AC面ACC1A1，BCAM.AMBA1，且BCBA1B，AM平面A1BC.(2)設AM與A1C的交點為O，連結BO，由(1)可知AMOB，

6、且AMOC，BOC為二面有BAMC的平面角在RtACM和RtA1AC中，OACACO90°，AA1CMAC.RtACMRtA1AC.AC2MC·AA1.MC.在RtACM中，AM.AC·MCAM·CO，CO1.在RtBCO中，tanBOC1.BOC45°，故所求二面角的大小為45°.(3)設點C到平面ABM的距離為h，易知BO，可知SABM·AM·BO××.VCABMVMABC，hSABMMC·SABC.h.點C到平面ABM的距離為.考點四：棱柱、棱錐的面積與體積計算7在三棱錐PABC

7、中，BC3，CA4，AB5，若三側面與底面所成二面角ABCP為45°，BACP為45°，CABP為45°，則三棱錐PABC的體積為()A1 B2C3 D4解析：設三棱錐PABC的高為h，底面三角形的內切圓的半徑為r，則hr，由r(345)×3×4，所以r1，因此VSABCh2.答案：B8(2010·東北模擬)正三棱錐底面邊長為a，側棱與底面所成角為60°，過底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角，則此截面的面積為()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：如圖，E為AB中點，CEBCa，DEC30°

8、，DCE60°，EDC90°DECE·sin60°a·a，SACB·a·aa2.答案：D1.(2009·遼寧)正六棱錐PABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐DGAC與三棱錐PGAC體積之比為()A11 B12C21 D32解析：由題意可知VBGACVPGAC，三棱錐VBGACVGBAC，VDGACVGADC，又三棱錐GBAC與三棱錐GADC等高，且SBACSADC12，綜上可知VDGACVPGAC21，故選擇C.答案：C2(2008·全國卷)正四棱錐的側棱長為2，側棱與底面所成的角為60°，

9、則該棱錐的體積為()A3 B6C9 D18解析：高h2sin60°3，又因底面正方形的對角線等于2，底面積為S2××2×6，體積V×6×36.答案：B3(2009·全國)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1.(1)證明：ABAC；(2)設二面角ABDC為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小解法一：(1)取BC中點F，連接EF，則EF綊B1B，從而EF綊DA.連接AF，則四邊形ADEF為平行四邊形，從而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，

10、從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，ABAC.(2)作AGBD，垂足為G，連接CG.由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角ABDC的平面角由題設知，AGC60°.設AC2，則AG.又AB2，BC2，故AF.由AB·ADAG·BD得2AD·，解得AD，故ADAF.又ADAF，四邊形ADEF為正方形BCAF，BCAD，AFADA，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF.連接AE、DF，設AEDFH，則EHDF，EH平面BCD.連接CH，則ECH為B1C與平面BCD所成的角四邊形ADEF為正方形，AD，故EH1，又ECB1C2，ECH30°

11、，即B1C與平面BCD所成的角為30°.解法二：(1)以A為坐標原點，射線AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.設B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則B1(1,0,2c)，E(，c)于是(，0)，(1，b,0)由DE平面BCC1知DEBC，·0，求得b1，ABAC.(2)設平面BCD的一個法向量為(x，y，z)，則·0，·0.又(1,1,0)，(1,0，c)，故令x1，則y1，z，(1,1，)又平面ABD的一個法向量為(0,1,0)，由二面角ABDC為60°知，60°，故·|·|·cos60°，求得c.于是(1,1，)，(1，1，)，cos，60°.B1C與平面BCD所成的角為30°.如圖，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側面A1C底面ABC，ABACAA11.ABAC，且側棱AA1與底面ABC所成的角為60°.(1)求證：ABA1C；(2)求二面角C1BCA大小的正切值；(3)求該三棱柱的側面積解：(1)證明：面A1C面ABC，面A1C面ABCAC且ABAC，AB面A1C，從而ABA1C.(2)過C1作C1MA