數(shù)學(xué)分析(3)論文

1、云 南 大 學(xué)數(shù)學(xué)分析習(xí)作課（3）論文題 目： 利用冪級數(shù)求和函數(shù)問題的探究 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓名、學(xué)號： 王茂銀 20111910116 任課教師： 黃輝老師 時 間： 2012年12月14日 摘要 如何對冪級數(shù)進(jìn)行求和？冪級數(shù)是一種較簡單的函數(shù)項級數(shù)，在冪級數(shù)理論中，對給定冪級數(shù)討論其收斂性，求收斂冪級數(shù)的和函數(shù)是重要內(nèi)容之一，冪級數(shù)求和的求解是一類難度較大技巧性較高的問題，更好地了解和掌握冪級數(shù)求和的方法和技巧對于學(xué)習(xí)冪級數(shù)具有更好的指導(dǎo)意義和學(xué)習(xí)價值，求冪級數(shù)和函數(shù)的方法與技巧是多種多樣的，一般要綜合運(yùn)用求導(dǎo)、拼湊、分解等來求解，因此它是一個難度較大

2、、技巧較高的有趣的數(shù)學(xué)問題。關(guān)鍵詞：冪級數(shù)；和函數(shù)；收斂；級數(shù)。一、冪級數(shù)的基本概念 1、冪級數(shù)的定義 設(shè)是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)列，則稱 為定義在上的函數(shù)項級數(shù)，記為。 具有形如 的函數(shù)項級數(shù)稱為在點處的冪級數(shù)。 特別地，在中，令，即上述形式化為 稱為在0點的冪級數(shù)。 2、冪級數(shù)的和函數(shù)若對冪級數(shù)中的都有，則稱為冪級數(shù)的和函數(shù)。 冪級數(shù)的部分和記為 且部分和有如下性質(zhì)2、 冪級數(shù)收斂的判別冪級數(shù)求和是建立在級數(shù)收斂的基礎(chǔ)上的，所以需先判斷一個級數(shù)是否收斂，可以通過以下定理判斷級數(shù)收斂性。 柯西-阿達(dá)馬定理：冪級數(shù) 在內(nèi)絕對收斂，在內(nèi)發(fā)散。 其中，是冪級數(shù)的收斂半徑阿貝爾第一定理：若在點 收斂

3、，那么它必在內(nèi)絕對收斂，又若在點發(fā)散，則它必在也發(fā)散。（對冪級數(shù)，如果存在，則此級數(shù)的收斂半徑也可以這樣計算又若=0，則，若=，則.)阿貝爾第二定理：若的收斂半徑為，則次級數(shù)在內(nèi)的任一閉區(qū)間上一直收斂，也就是在內(nèi)一致收斂；又若級數(shù)在點收斂，則它必在一致收斂.同理，當(dāng)級數(shù)在收斂時可得類似結(jié)論。注：冪級數(shù)的性質(zhì) 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則其和函數(shù)在內(nèi)連續(xù).又若冪級數(shù)在（或）收斂，則在（或）連續(xù)。 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，其和函數(shù)為，則在內(nèi)冪級數(shù)可以逐項積分和逐項微分.即對內(nèi)任意點,有以及且逐項積分和逐項求導(dǎo)后的級數(shù)（顯然是冪級數(shù)），其實力半徑認(rèn)為。三、冪級數(shù)求和函數(shù)的方法方法一：定義法對于冪級數(shù)，若前

4、項和函數(shù)列有極限，即 存在，則此冪級數(shù)收斂，且所以，冪級數(shù)的和 例1：求冪級數(shù)的和函數(shù)，其中，。 解：當(dāng)時 方法二：分項組合法通過觀察冪級數(shù)具有某些明顯的特征，比如可以將已知級數(shù)的通項拆項組 合，再計算所拆得各項的和函數(shù)，從而求得該級數(shù)的和函數(shù)。 例2：求的和函數(shù)。 解:易知該級數(shù)的收斂域為 當(dāng)時， 當(dāng)時 所以 方法三：逐項求導(dǎo)與逐項積分法若冪級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先 積分，再求導(dǎo)”的做法；若冪級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù) 乘積的倒數(shù)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法。 性質(zhì)：（即冪級數(shù)中時）設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)的 和函數(shù)為，則在內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，且

5、有逐項求導(dǎo)公式： 求導(dǎo)后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑。在內(nèi)可以積分，且有逐項積分公式： 其中是內(nèi)任意一點，積分后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑 。 例3：求冪級數(shù)的和函數(shù)。 解：易知該級數(shù)的收斂域為，在任意區(qū)間上可以逐項積分 令 所以 從而可得所求和函數(shù) 例4：求冪級數(shù)的和函數(shù)。 解：易知收斂區(qū)間為 當(dāng)時， 當(dāng)時 設(shè) 得出 綜上所述 方法四：代數(shù)方程法此種方法目的在于建立以所求冪級數(shù)的和為變量的代數(shù)方程，并解之，從而得到原冪級數(shù)的和函數(shù)。 例5：設(shè)有等差數(shù)列 ： 等比數(shù)列 ： 則各項為等差數(shù)列、等比數(shù)列對 應(yīng)項的乘積所構(gòu)成的級數(shù)為 求其和函數(shù),其中為常數(shù)。 解：易知此級數(shù)的收斂域為

6、所以 例6：求冪級數(shù) 的和函數(shù)，其中 為 的 次多項式。 解：記 則 其中 為的次多項式 再使用一次以上的運(yùn)算方法可得 - 得 其中 為的次多項式 反復(fù)使用以上的方法可以得到 這樣就可以求得 。方法五：微分方程法（引用）在冪級數(shù)中，有一類含有階乘運(yùn)算的冪級數(shù)，這種冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，也就是把冪級數(shù)的和函數(shù)微分后，再與原來冪級數(shù)作某種運(yùn)算，得到一個含有冪級數(shù)和函數(shù)以及和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，最后求解此微分方程即得和函數(shù)。 第一類：比較常見的冪級數(shù)例如這種類型的，只要對其進(jìn)行逐項求導(dǎo)，找出各導(dǎo)函數(shù)之間滿足的方程，得到一個關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的微分方程。 例：求冪級數(shù)的和。思路：先設(shè)函數(shù)，分別對函數(shù)

7、對x進(jìn)行一階求導(dǎo)，二階求導(dǎo)，得到，將，相加即得方程，由已學(xué)知識可知，故得微分方程，故只需次微分方程即可，這是二階線性常系數(shù)非齊次微分方程，可求得，所以冪級數(shù)的和為。 第二類：例如這種類型的級數(shù)，在求和的時候采用其他常用的方法是很難求出的，因為的系數(shù)的分子是等差數(shù)列前n項的和，而分母則是公差的n次冪與n！的積，要逐項求導(dǎo)則需要n次才能把n！約掉，但此時已近很復(fù)雜了，且不能順利求和，于是我們想辦法來求所給級數(shù)在它的收斂域內(nèi)所代表的可微函數(shù)所滿足的微分方程。當(dāng)然這個微分方程的階數(shù)越低越好。事實上，令對其逐項微分可得， (1-x) = = = = 這說明所給無窮級數(shù)表示函數(shù)滿足一階微分方程 解次微分方

8、程并注意到則可求得 即 這種方法用起來，對某些無窮級數(shù)還是很有效的，例如對無窮 與無窮級數(shù)。 在求和的時候只要令，就可得與的微分方程，再分別求出和即可。 例7：求冪級數(shù)在下列情況下的和函數(shù)： ，即公差為的等差數(shù)列，其中為常數(shù)； ，即公比為的等比數(shù)列，其中為常數(shù)。 解：易知該級數(shù)的收斂域為 則 這是一個滿足初始條件的一階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得 易知該級數(shù)的收斂域為 這是一個滿足初始條件的一階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得 方法六：柯西法如果級數(shù)與都絕對收斂，作這兩個級數(shù)的乘積，其中，則也絕對收斂，且必有。 例8:求冪級數(shù)的和函數(shù) 解：令 則為絕對收斂級數(shù) 再令為 的泰勒級數(shù)：

9、 此級數(shù)在內(nèi)是絕對收斂的。 從而 所以方法七：楊輝三角法（引用）我們首先來考察下楊輝三角里數(shù)字排列的規(guī)則。一般的楊輝三角是如下的圖形： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 10 1 . 第n行 1 . ,. 1 第n+1行 1 . . 1 . 從上面的圖形中可以看到：這三角形兩斜邊都是1，其余的數(shù)都是等于它肩上的兩個數(shù) 相加。在一般的情形就一下恒等式等式： (1) 將(1)式推廣下就有 (2) 當(dāng)時有： ； 當(dāng)時有： ； 當(dāng)時有： 所以從理論上可以化解任何一個以k的多項式為一般項的高階等差級數(shù)。例如：的和?？梢詫懗桑?，k為一般項的級數(shù)，因而可以很容

10、易的求解出其和。 我們把高階等差級數(shù)和等比級數(shù)結(jié)合起來（在此稱為混合冪級數(shù)）考慮，很自然地得出如下的一般式：，當(dāng)時，那么以上就是我們討論過的高階等差級數(shù)。 鑒于關(guān)于高階等差級數(shù)和混合冪級數(shù)的討論，我們對倒數(shù)級數(shù)也進(jìn)行 了一定的討論。一般的倒數(shù)有如下的等式： 通過 計算我們可以得到一下結(jié)論： 利用此等式可以求解類似的 級數(shù)。方法八：差分算子求和法(引用）（通項系數(shù)是以為自變量的有限次多項式的冪級數(shù)求和問題可用此法）若為任意實函數(shù)，為差分算子，則定義函數(shù)的一階差分為階差分為 定理：設(shè)為次多項式，則當(dāng)時收斂，而且其和 函數(shù) 證明：當(dāng)時，冪級數(shù) 收斂，現(xiàn)在定義單位算子及位移算子分別為 則 即 由于 所

11、以 例9：求冪級數(shù) 的和函數(shù) 解：令 則 故 所以由定理得 則 四、冪級數(shù)求和函數(shù)的綜合題 例10：求冪級數(shù)和函數(shù) 其中 解：令 其中 所以 以上三式相加得 這是一個滿足初始條件的二階常系數(shù)的線性微分方程，解 此微分方程得 從而 例11：求 的和函數(shù) 。 解：易知該冪級數(shù)的收斂域為 令 則 令 所以 以上八種方法給冪級數(shù)求和方法提供了更廣闊的思路和求解途徑，為冪級數(shù)求和的研究提供了一條新的研究方向；對于我們求解冪級數(shù)和有更好的指導(dǎo)意義，對于我們數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，可以更好地掌握和了解冪級數(shù)求和問題，在冪級數(shù)求和的學(xué)習(xí)過程中有更清晰和更廣的思路，也有利于我們更好的學(xué)習(xí)和掌握冪級數(shù)。參 考 文 獻(xiàn)（1）復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋編，數(shù)學(xué)分析第三版. 北京：高等教育出版社.2011.（2）中國人民大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編, 微積分. 中國人民大學(xué)出版社 出版.（3）微積分學(xué)和數(shù)學(xué)分析指導(dǎo). 白紅，吳勃英，劉銳 編. 北京: 科學(xué)出版社.2001.（4）盧丁著，趙慈庚等譯.數(shù)學(xué)分析原理M.機(jī)械工業(yè)出版社，2004 （5）王元等.華羅庚科普著作選集M.上海:上海教育出版社,1984（6）裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版 杜，1993.（7）黎力軍.冪級數(shù)的算子求和法J.邵陽高專學(xué)報, 1994（8）柯朗，約翰著