2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(乙卷)

1、2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）60分。在每小題給出的四個選項中，只有一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共 一項是符合題目要求的。12, 35,集合M134，則 L（m|Jn）A.2.設(shè)5iz 4 3i ,B.1，)2C.3，4D. 1 , 2, 3, 4A.3 4iB.4iC.3 4i3.已知命題P：sin；命題Jx1 ,則下列命題中為真命題的是A. p qB.C.(p q)f(x)x sin3xcos-的最小正周期和最大值分別是A.3B. 35.若y滿足約束條件和2y¥4, 盛2,則zC. 63xy的最小值為y<3,A.18B.10C. 6A.21 1

2、2122 5cos 127.在區(qū)間1 (0,2)隨機取A. 3 48.下列函數(shù)中最小值為A. y2_x 2x 49.設(shè)函數(shù)f（x）A. f (x 1)10 .在正方體ABCDB.1個數(shù),B.-34的是B. y則取到的數(shù)小于| sinx |4| sinx |C.C.,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是B. f (x 1) 1C.y 2xf(x 1)AB1C1D1中，P為BQ的中點，則直線22lnx4lnxf(x 1)PB與AD1所成的角為A. -B. C. -D .211 .設(shè)B是橢圓C: y2 1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為( 5A. 5B.6C. .5D, 212 .設(shè)a 0,若x a為

3、函數(shù)f(x) a(x a)2(x b)的極大值點，則()2A. a bB. a bC. abaD . ab、填空題：本題共 4小題，每小題5分，滿分20分。13 .已知向量a (2,5),2214 .雙曲線之上1的右焦點到直線x 2y 8 0的距離為4515 .記 ABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b , c ,面積為J3 , B 60 , a2 c2 3ac , 則b .16 .以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐 的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

4、。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:共60分。17. （12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.52舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為X和y,樣本方差分別記為s2和2 s.（1）求 X , y , s2, s2;（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)

5、品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果 22-y X:2j Js2 ,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不10認(rèn)為有顯著提高）.18. （12分）如圖，四棱錐P ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD , M為BC的中點， 且 PB AM .（1）證明：平面 PAM 平面PBD;（2）若PD DC 1 ,求四棱錐 P ABCD的體積.19. (12分)設(shè)an是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn nan ,已知ai , 3a2 , 9a3成 3等差數(shù)列.(1 )求an和bn的通項公式；(2)記Sn和Tn分別為an和bn的前n項和.證明：Tn Sn .220

6、. (12分)已知拋物線 C:y2 2 Px(p 0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2.(1 )求C的方程；(2)已知。為坐標(biāo)原點，點 P在C上，點Q滿足，Q 9QF ,求直線OQ斜率的最大值.3 221 . (12 分)已知函數(shù) f (x) x x ax 1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求曲線y f (x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線 y f(x)的公共點的坐標(biāo).(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)22 . (10分)在直角坐標(biāo)系 xOy中，EC的圓心為C(2,1),半徑為1.(1 )寫出OC的一個參數(shù)

7、方程；(2)過點F(4,1)作EC的兩條切線.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.選彳4-5 :不等式選講(10分)23 .已知函數(shù) f (x) |x a| |x 3| .(1)當(dāng)a 1時，求不等式f(x)±6的解集；(2)若f(x) a ,求a的取值范圍.2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。1 .已知全集U 1 , 2, 3, 45,集合 M 1 , 2 , N 3 ,4,則 Q(m|Jn)(A. 5B. 12C

8、. 34D. 1 , 2, 3, 4【思路分析】利用并集定義先求出 m|Jn ,由此能求出Cu（m|Jn）.【解析】：丫全集U 1,2,32 , N 34，m|Jn 1，2, Q(mIJn)5.3, 4,故選：A.【歸納總結(jié)】本題考查集合的運算,考查并集、補集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心2 .設(shè) iz,是基礎(chǔ)題.3i ,則 z （A.3 4iB.4iC. 3 4iD. 3 4i【思路分析】把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【解析】：解法一：由iz 4 /曰 4 3i3i ,得 z i(4 3i)( i)23i 4i故選：C .解法二：（山西運城劉麗補解）:等式

9、兩邊同乘i可得 z 4i3。兩邊再同乘 1即得結(jié)果為3 4i ,故選：C【歸納總結(jié)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題.則下列命題中為真命題的是（3 .已知命題 p: x R , sin x 1 ;命題q : x R , 6物1 , ）A- p qB.C- p qD. (p q)【思路分析】先分別判斷命題p和命題q的真假，然后由簡單的復(fù)合命題的真假判斷法則進行判斷，即可得到答案.【解析】：對于命題p: x R當(dāng)x 0時，對于命題q :sin x 0因為|x|：20 ,又函數(shù) 故命題q為真命題， 所以p q為真命題, 故選：A.1,故命題p為真命題， e|x/1 ,y ex為單調(diào)遞增函數(shù)，

10、故 q為假命題，p q為假命題，pp為假命題;|x|0e -e 1 ,q為假命題，（p q）為假命題,【歸納總結(jié)】 本題考查了命題真假的判斷， 解題的關(guān)鍵是掌握全稱命題和存在性命題真假的 判斷方法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4 .函數(shù)f(x) sin- cos二的最小正周期和最大值分別是()33B. 3 和 2C. 6和我【思路分析】化簡函數(shù)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的最值求解即可.f(x).xsin 一 3x- xcos-2 sin( )33 42T 13x 當(dāng) sin( 3-)1時，函數(shù)f (x)取得最大值 纏;函數(shù)f (x)的周期為6,最大值'12 .故選：C

11、 .考查了推理能力與計算能【歸納總結(jié)】本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值, 力，屬于中檔題.x y：25.若x, y滿足約束條件x 盛2,則z 3x y的最小值為(y：3,A.18B. 10C. 6D. 4數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)【思路分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式, 解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.故選：C .【歸納總結(jié)】26. cos 121A. 一22 5cos 12bT32C.2dT2由z 3x y,得y 3x z,由圖可知，當(dāng)直線 y 3x z過A時, 直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3 13 6.本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔

12、題.【思路分析】直接利用二倍角的余弦化簡求值即可.【解析】：解法：cos2 cos2 12121 cos62彳 51 cos621一 cos一15cos26132 22(2解法二：（山西運城劉麗補解）：cos 1225cos 122cos 12_2sin 12cos6【歸納總結(jié)】本題考查三角函數(shù)的化簡求值和二倍角的余弦，是基礎(chǔ)題. 1 ，7.在區(qū)間（0,1）隨機取1個數(shù),2則取到的數(shù)小于A. 3B. |1 ，一 _ ,-的概率為（3C. 1D.【思路分析】我們分別計算出區(qū)間1 (0,2)一 1 ，一一和（0,-）的長度,3代入幾何概型概率計算公式，即可得到答案.【解析】：由于試驗的全部結(jié)果構(gòu)成

13、的區(qū)域長度為一 1構(gòu)成該事件的區(qū)域長度為13所以取到的數(shù)小于1，一-的概率3131312故選：B .【歸納總結(jié)】本題主要考查幾何概型的概率計算,其中根據(jù)已知條件計算出基本事件總數(shù)對應(yīng)的幾何量的大小，和滿足條件的幾何量的大小是解答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.8.下列函數(shù)中最小值為 4的是（）.24_A. y x 2x 4B. y |sinx| C. y| sinx |【思路分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷選項 值的條件，即可判斷選項 B ,利用基本不等式求出最值, 證，即可判斷選項 D .2x22 xD. y4lnx lnxA,根據(jù)基本不等式以及取最即可判斷選項C ,利用特殊值驗22【解析】

14、：對于A, y x2 2x 4 （x 1）2所以函數(shù)的最小值為 3,故選項A錯誤；對于B,因為0 |sinx|W；1,所以y|sin x|4；32 |sinx| |sinx| .-4- 4, | sinx |2時取等號,對于C ,因為2x 0,所以y 2x4 一當(dāng)且僅當(dāng)|sinx| ,即|sinx|sin x |因為|sinx|W1 ,所以等號取不到， ,4一，-所以y |sinx| 4 ,故選項| sin x|當(dāng)且僅當(dāng)2x 2 ,即x 1時取等號,所以函數(shù)的最小值為 4,故選項C正確;,一，1 ,145 4,對于D,因為當(dāng)x 1時，y ln- -1 4ee . 1ln e2t；lnx * 4

15、-4(當(dāng)且僅當(dāng) lnx=2 即 x= e2 時lnxlnx(lnx)(-2(lnx)*( A)4(當(dāng)且所以函數(shù)的最小值不是4,故選項D錯誤. .(詳解D)當(dāng)x>1時，lnx>0,所以y lnx取等號)；4當(dāng) 0<x<1 時，lnx<0,所以 y lnx lnx,4 4,)，所以選項D錯14僅當(dāng)lnx=-2 即x= -2取等3)，綜上，y lnx (elnx利用基本不等式求【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)最值的求解，涉及了二次函數(shù)最值的求解,解最值的應(yīng)用，在使用基本不等式求解最值時要滿足三個條件：一正、二定、三相等，考查 了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.1 x9 .設(shè)函數(shù)f(x)

16、，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()1 xA. f (x 1) 1 B. f (x 1) 1C. f(x 1) 1 D. f(x 1) 1【思路分析】先根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，得到f(x)的對稱中心，然后通過圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對稱中心為(0,0),從而得到答案.【解析】：因為f (x) 3 (x 1) 21 ,1 x 1 xx 1所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(1, 1),所以將函數(shù)f(x)向右平移一個單位，向上平移一個單位， 得到函數(shù)y f(x 1) 1 ,該函數(shù)的對稱中心為 (0,0), 故函數(shù)y f(x 1) 1為奇函數(shù).故選：B .【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變

17、換，解題的關(guān)鍵是確定f(x)的對稱中心，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10 .在正方體ABCD AB1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線 PB與AD1所成的角為()A . -B. -C. -D .一【思路分析】由AD1/BG,得 PBC1是直線PB與AD1所成的角(或所成角的補角)，由此 利用余弦定理，求出直線 PB與AD1所成的角.【解析】：丫 AD1/BC1 ,PBCi是直線PB與AD1所成的角(或所成角的補角)，設(shè)正方體ABCD ABiGDi的棱長為2,貝U PB1 PCi 1也2 22 版,BCi &2 222品,BP 亞(72)2 貶,PB2 BC12 PC126 8

18、23cos PBCi三 ,2 PB BCi2 6 2.2 2PBC16,直線PB與ADi所成的角為.6故選：D .【歸納總結(jié)】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.2x11 .設(shè)B是橢圓C: 51的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為()A. 5【思路分析】求出B.、6D.B的坐標(biāo),設(shè) P( 5 cossin ),利用兩點間距離公式,結(jié)合三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化求解距離的最大值即可.2【解析】：解法一：B是橢圓C:'5點 P在 C 上，設(shè) PQ：5cos , sin )1的上頂點，所以B(0,1),0, 2 ),所以 |PB| . ( 5 cos0)2 (si

19、n,4cos22sin21 2254sin 2sin 6. 4(sin)一,1一，一一，一，當(dāng)sin時，|PB|取得最大值，最大值為4故選：A.解法二：(安徽滁州劉家范補解)：B是橢圓2C: 51的上頂點，所以B(0,1),y021222PB2 = (x0 0)2 (V。1)2=5 (1- y0 ) + y0 -2y0+1=-4y0 -2y0+6=-4 (% +工)4+冬，因為-1< Vo忘1,所以4當(dāng)y0= 1時，PB2最大值為25 ,一，5,即PB最大值為-2【歸納總結(jié)】本題考察的考點時橢圓的基本性質(zhì)(縱坐標(biāo)的范圍) 的方法，考查劃歸轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬中檔題。,利用二次函數(shù)求最值

20、的212 .設(shè)a 0 ,右x a為函數(shù)f (x) a(x a) (x b)的極大值點，則(2C. ab aD.)ab【思路分析】分a 0及a 0,結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過圖象發(fā)現(xiàn)b的大小關(guān)系，進而得出答案.【解析】：令f(x) 0 ,解得x a或x b,即x a及x b是f(x)的兩個零點，當(dāng)a 0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使 x a是f(x)的極大值點，則函數(shù) f (x)的大致圖 象如下圖所示，貝U 0 a b ;當(dāng)a 0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使 x a是f(x)的極大值點，則函數(shù) f (x)的大致圖、-2綜上，ab a .故選：D .【歸納總結(jié)】本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，

21、考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想, 屬于中檔題.二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，滿分20分。13.已知向量 a (2,5) , b ( ,4),若 a/b，則 -.5 【思路分析】根據(jù)題意，由 a/b,可得關(guān)于 的方程，再求出 即可.【解析】：因為 a (2,5) , b ( ,4) , a/b ,所以8 50 ,解得 8.5故答案為：-.5【歸納總結(jié)】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及向量的坐標(biāo)計算，屬于基礎(chǔ)題.2214 .雙曲線2 1的右焦點到直線x 2y 8 0的距離為后 .45【思路分析】求出雙曲線的右焦點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式求解即可.【解析】：雙曲線2y- 1的右

22、焦點（3,0）5所以右焦點到直線2 y 8 0的距離為d|3 0 8|5-22. 12故答案為：疾.【歸納總結(jié)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，點到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題.15 .記 ABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b , c ,面積為J3 , B 60 , a2 c2 3ac ,【思路分析】由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于【解析】：丁 ABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為 ab的方程，解方程可得.,b , c ,面積為匾，B 60 ,22a c 3ac1一acsin B22 a 又 cosB 1-ac2b22ac故答案為：2版.3321 12 b22 822ac 4

23、a c 12,b 242 ,（負(fù)值舍）的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為【思路分析】通過觀察已知條件正視圖，確定該三棱錐的長和高，結(jié)合長、高、 視圖中的實線、虛線來確定俯視圖圖形.【解析】：觀察正視圖，推出三棱錐的長為2和高1,圖形的高也為棱錐的側(cè)視圖，圖形的長為2,即可能為該三棱錐的俯視圖，當(dāng)為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為， 當(dāng)為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線， 錐的俯視圖為.以及側(cè)視圖1 ,即可能為該三可以確定該三棱【歸納總結(jié)】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.16 .以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側(cè)視

24、圖和俯視圖，組成某個三棱錐或（寫出符合要求的一組答案故答案為：或.【歸納總結(jié)】該題考查了三棱錐的三視圖，需要學(xué)生掌握三視圖中各個圖形邊長的等量關(guān)系,以及對于三視圖中特殊線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強空間想象，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17. （12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.01

25、0.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.52舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為S和2s.（1）求 x, y, s2, S2；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果R22"y x或2j工2,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不10認(rèn)為有顯著提高）.【思路分析】（1）利用平均數(shù)和方差的計算公式進行計算即可;（2）比較y x與2js的大小，即可判斷得到答案【解 析 】：(1) 由 題 中 的 數(shù) 據(jù) 可

26、_1x (9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7) 10 ,10_1y 一 (10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5) 10.3 ,1021222222s2(9.8 10)2(10.3 10)2(10 10)2(10.2 10)2(9.9 10)2(9.8 10)2102222(10 10)2 (10.1 10)2 (10.2 10)2 (9.7 10)2 0.036；2122222s (10.1 10.3)(10.4 10.3)(10.1 10.3)(10.0 10.3)(10.1

27、 10.3)10_2_2_2_2_2(10.3 10.3)2(10.6 10.3)2(10.5 10.3)2(10.4 10.3)2(10.5 10.3)20.04；解法二：(安徽滁州劉家范補快速解)：,10.2 0.3) 10 0 10,0.4 0.5) 10 0.3 10.3 ,x 10( 0.2 0.3 0 0.2 0.1 0.2 0 0.110-1y 10(0.1 0.4 0.1 0 0.1 0.3 0.6 0.510(2) y x 10.3 10 0.3,220.174 ,2 與S22 0.036 0.042. 0.007610.10 22所以y x 2/十，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指

28、標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【歸納總結(jié)】本題考查了樣本特征數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)與方差的計算公式, 考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18. (12分)如圖，四棱錐P ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD , M為BC的中點, 且 PB AM .(1)證明：平面 PAM 平面PBD;(2)若PD DC 1 ,求四棱錐P ABCD的體積.【思路分析】(1)通過線面垂線即可證明；即只需證明AM 平面PBD.(2)根據(jù)PD 底面ABCD ,可得PD即為四棱錐P ABCD的高，利用體積公式計算即可.【解答】(1)證明：-/PD 底面ABCD , AM 平面ABCD ,PD AM ,X -.&#

29、39;PB AM,PDpPB P, PB, PD 平面 PBD.AM 平面PBD ./AM 平面 PAM ,平面PAM 平面PBD ;(2)解：由PD 底面ABCD ,PD即為四棱錐P ABCD的高，DPB是直角三角形；- ABCD底面是矩形，PD DC 1 , M為BC的中點，且 PB AM .設(shè)AD BC 2a ,取CP的中點為F .因為點E是CD中點，連接 MF , AF , EF , AE , 可得 MF /PB , EF /DP ,那么 AM MF .且 EF 1 . AE J- 4a2 , AM Ja2 1 , AF VEF2 AE2 .24那么 AMF是直角三角形，DPB是直角三

30、角形，上一戶一22 4a2根據(jù)勾股定理：BP。2 4a ，則MF 一2一 ；由AMF是直角三角形， 一一 2_ 2_ 2可得 AM MF AF ,解得a -2 .2底面ABCD的面積S 衣11.2則四棱錐P ABCD的體積V - h S - 1 22 . 333解法二：（安徽滁州劉家范補解第二小題）由（1）知：AM 平面PBD .又7 BD設(shè)AM BD =O, 丁底面ABCD是矩形，平面 PBD , AM BDAD/BC,易證： OAD sOB OM MB -OD OA AD 2 'OMB,又 M為中點,若設(shè)BC=x,由DC 1,得BM二1一 x,2OB= - BD= xOM= 1AM

31、=31 x2 313 4 1OMB22中，OB ODr 21 /BD ，即一(x91)+9 4解得：x=友,底面ABCD的面積S 衣【歸納總結(jié)】本題考查平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力，體積計算,考查運算求解能力，是中檔題.19. （12分）設(shè)an是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn n包，已知a , 3a2 , 9a3成3等差數(shù)列.（1 ）求an和bn的通項公式；（2）記&和Tn分別為和bn的前n項和.證明：Tn Sn .2【思路分析】（1）根據(jù)a- 3a2, 9a3成等差數(shù)列，a。是首項為1的等比數(shù)列，求出公比q ,進一步求出an和bn的通項公式;Tn I?！窘馕?/p>

32、】：（1 ）（2）分別利用等比數(shù)列的前 n項和公式和錯位相減法，求出Sn和Tn,再利用作差法證明r a1 , 3a2, 9a3 成等差數(shù)列，6a2 a 9a3, ;an是首項為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為 q,_ 21則 6q 1 9q2,q 1 ,3bnnann 1anaq(2)證明：由(1)知an,1、n 11、n(3)， bnn (3),1(3)n3 11122131 n 1(3)Tn 1 (1)1 2 (1)2n (1)n ,33311 21 31 n 17Tn 1 (-)2 2 (-)3n (-)n 1，33332得，Tn31 (3門1 n 1n(-)，3Tn311n 1 n1n(-)-

33、(-),44323S 31.1.n 1 n ,1.n r31.1.n 1.7-二二(二)二(二)(二)24 432 34 43【歸納總結(jié)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項和公式和利用錯位相減法求數(shù)列的前 n項和，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.20 . (12分)已知拋物線 C:y2 2 Px(p 0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2.(1 )求C的方程；(2)已知。為坐標(biāo)原點，點 P在C上，點Q滿足FQ 9QF ,求直線OQ斜率的最大值.【思路分析】(1)根據(jù)焦點F到準(zhǔn)線的距離為2求出p,進而得到拋物線方程,(2)設(shè)出點Q的坐標(biāo)，按照向量關(guān)系得出 式即可求出最值.P點坐標(biāo)，再

34、代入拋物線方程中，利用基本不等【解答】(1 )解：由題意知，p 2 , y2 4x.2(2)解法一：由(1)知，拋物線 C:y 4x, F(1,0), 設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,n),則 QF (1 m, n),PQ 9QF (9 9m, 9n)P點坐標(biāo)為(10m 9,10n),將點P代入C得100n2整理得m2100n2 364010n25n2 940m 36225n2 910'10.13時取最大值.25n故答案為：-3解法二：(安徽滁州劉家范另解)：)K n 10n ,同乘以分母可得：(25n2 9) K 10n ,m 25n9整理得25Kn2 10n 9K 0,當(dāng) K=0 時，n=0;

35、當(dāng)K 0時,n有根， 0,解得：1.111二 k111 k 1且k 0,綜上：33,所以k的最大值為故答案為：1 .3333【歸納總結(jié)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考察基本不等式求最值，屬于中檔題.3221 . (12 分)已知函數(shù) f(x) x x ax 1.(1 )討論f (x)的單調(diào)性；(2)求曲線y f (x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線 y f(x)的公共點的坐標(biāo).11,.【思路分析】(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，分a1及a 1討論導(dǎo)函數(shù)與零的關(guān)系，進而彳#出f(x)33的單調(diào)性情況；(2)先設(shè)出切點，表示出切線方程，根據(jù)切線過原點，可求得切線方程，將切線方程與曲線y f (x)聯(lián)立，即可求得公共點

36、坐標(biāo).2【解析】：(1 ) f (x) 3x 2x a, 4 12a ,1 .當(dāng)三0,即2亡時，由于f (x)的圖象是開口向上的拋物線，故此時f (xp0,則f (x)在3R上單調(diào)遞增；當(dāng) 0,即a 1時，令f (x) 0,解得x 1 .1 3a岱1 5 3a ,333令 f (x) 0 ,解得 x % 或 x x2 ,令 f (x) 0 ,解得 x x x2 ,f (x)在(，x), (x2 ,)單調(diào)遞增，在(x , x2)單調(diào)遞減；八，,.1,I 、，一，1.，綜上，當(dāng)a時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a 時，f(x)在33/11 3a. .11 3a11 3a 113a一(,),(,)單倜

37、遞增，在(,)單倜遞減.3333(2) 設(shè)曲線 yf(x)過坐標(biāo)原點的切線為1, 切點為,322(x0,x0x0ax0 1),f (x0) 3x)2x) a,322則切線萬程為 y (x0x0 ax0 1) (3x02& a)(x x°),32.將原點代入切線方程有，2x0 x。 1 0 ,解得x 1 ,切線方程為y (a 1)x,32-32令 x x ax 1 (a 1)x,即 x x x 1 0,解得 x 1 或 x 1 ,曲線y f(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y f(x)的公共點的坐標(biāo)為(1,a 1)和(1, a 1).【歸納總結(jié)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想及運算求解能力，屬于中檔題.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的 第一題計分。選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)22 . (10分)在直角坐標(biāo)系 xOy中，CC的圓心為C(2,1),半徑為1.(1 )寫出OC的一個參數(shù)方程；(2)過點F(4,1)作EC的兩條切線.以坐