高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)》教案

1、課 題：3.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）教學(xué)目的：1掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路 2會用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題 教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：    本節(jié)是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式，并能利用它求和解決數(shù)列和的最值問題等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，采用了倒序相加法，思路的獲得得益于等到差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這一性質(zhì)的認(rèn)識和

2、發(fā)現(xiàn)通過對等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握“倒序相加”數(shù)學(xué)方法教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：首先回憶一下前幾節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1等差數(shù)列的定義： =d ，（n2，nn）2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： (或=pn+q (p、q是常數(shù))3幾種計(jì)算公差d的方法： d= d= d=4等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列5等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q (m, n, p, q n )6數(shù)列的前n項(xiàng)和：數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記為.“小故事”:高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+100=?”過了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不

3、亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+100=5050教師問：“你是如何算出答案的？高斯回答說：因?yàn)?+100=101；2+99=101；50+51=101，所以101×50=5050” 這個故事告訴我們：（1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法 二、講解新課： 如圖，一個堆放鉛筆的v形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個v形架上共放著多少支鉛筆?這是一堆放鉛筆的v形架

4、，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，而且可以用一個式子來表示這種關(guān)系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么，這個v形架上共放著多少支鉛筆呢？這個問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個等差數(shù)求和問題？這個問題，它也類似于剛才我們所遇到的“小故事”問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，n,的前120項(xiàng)的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來表示，且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)的和.如果我們可歸納出一計(jì)算式，那么上述問題便可迎刃而解.1等差

5、數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時計(jì)算上述問題的正確性 2 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 用上述公式要求必須具備三個條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個條件： （有時比較有用）總之：兩個公式都表明要求必須已知中三個公式二又可化成式子：，當(dāng)d0，是一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次式三、例題講解例1 一個堆放鉛筆的v型的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個v形架上共放著多少支鉛筆？解：由題意可知，這個v形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列，記為，其中，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，得答：v形架上共放

6、著7260支鉛筆例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2，前多少項(xiàng)的和是54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為，前n項(xiàng)為則 由公式可得解之得：（舍去）等差數(shù)列-10，-6，-2，2前9項(xiàng)的和是54例3 .已知等差數(shù)列中=13且=,那么n取何值時,取最大值.解法1：設(shè)公差為d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d= -2, =13-2(n-1), =15-2n,由即得：6.5n7.5,所以n=7時,取最大值.解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n+14 n = -（n-7）+49當(dāng)n=7，取最大值對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩

7、種方法:（1） 利用:當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值四、練習(xí)：1求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和 解：由得 正整數(shù)共有14個即中共有14個元素 即：7，14，21，98 是 答：略 2. 已知一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220， 求其前項(xiàng)和的公式. 解：由題設(shè)： 得： 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1： 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 3.，當(dāng)d0，是一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次式4.對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:（3） 利用:當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0