BBD23隱函數(shù)與參數(shù)方程求導

1、主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學 第十四講2第三節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導 第二章 331xy一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程0),(yxf可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .則稱此如如 010yex1 ey0111yex1y0121yyxexy函數(shù) 為方程 所確定的隱函數(shù)隱函數(shù) .)(xfy 0),(yxf40),(yxf0),(dd

2、yxfx兩邊對 x 求導(含導數(shù) 的方程)y隱函數(shù)求導方法求導方法: 例例1 xyy 是由方程0exyey所確定的，求.y解：解：方程兩邊同時對 x 求導。yeyxeyyy0yxy5例例2. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x)(0因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)直接將0, 0yx代入 (*)求得：6例例3. 求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導8xyy920y2323

3、xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx將點)3,2(23代入03341y7求其反函數(shù)的導數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導y1yxddxeyxddyxddxe11例例4. 設(shè)8觀察函數(shù),)4(1) 1(23xexxxy方法方法: : 先在方程兩邊取對數(shù), 對數(shù)求導法對數(shù)求導法-適用范圍適用范圍: :.)()(的情形數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu二、對數(shù)求導法.sinxxy 然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).9例例1.)0(sinxxyx. 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為對隱式求導數(shù) xxylnsinln兩邊對

4、x 求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx求.y10 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導法求導 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意注意:11)01,0,0(xbabaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb例例2求.y12例例3 )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxx

5、y41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xuuuuuuu)ln(ln0求.y13三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若變量 y 是 x 的函數(shù)， 其對應關(guān)系是通過第三個變量 t 聯(lián)系在一起的，即 x , y 是 t 的函數(shù)。參數(shù)方程的一般形式為： tytx t 是參變量。例如：例如：242tytx表示拋物線2xy taytaxsincos表示半徑為 a 的圓：222ayx例如：例如： 炮彈以初速度 v0 與水平方向角 t 射出， 其運動軌跡方程為：20021sincosgtatvyatvx表示。又如：又如：14若參數(shù)方程

6、)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導, 且,0 )( )(22tt則0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導15)sin(ttax)cos1 (tay求在2t處的切線方程。解解：點坐標：) 12(axay 2txdyd2ttasin)cos1 (ta12t切線方程：12axay例例1 已知擺線方程16, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddye0ddtty0ddtxy例

7、例2. 設(shè)方程組兩邊同時對 t 求導, 得26 ttyddtsin0ddtyteycostxtydddd2e0t1y20ddttxe17極坐標：極坐標：若將直角坐標系中的原點取為極點，m軸的正半軸取為極軸。0 xx設(shè)直角坐標系中點yx,的坐標m極坐標系中點m的坐標, r, rrsincosryrxxyryxtan222r020 omr稱為極坐標的極徑。稱為極坐標的極角。把y由極軸出發(fā)逆時針方向為正。兩坐標系中變量間關(guān)系：yx18r在對應于的點處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當時對應點斜率xykdd222, ),0(2m 切線方程為22xy2例例3. 求螺線19內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導