第七章第5節(jié)平面及其方程33818

1、1向量代數(shù)回顧向量代數(shù)回顧設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba22. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba3平面及其方程第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角四、小結(jié)及作業(yè)4zyxo0mn一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxm設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam稱式為平面的點(diǎn)法式方

2、程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxm任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(cban nmm000nmmmm0則有 故的為平面稱n51例例.,),(的平面方程的平面方程且垂直于向量且垂直于向量求過點(diǎn)求過點(diǎn)19144120nm:解解由點(diǎn)法式得由點(diǎn)法式得0419214)()()(zyx015914zyx6例例 2 2 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn))4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程. 解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化

3、簡得化簡得. 015914 zyx132643kji73例例)(),(面上面上夾角平分線夾角平分線軸軸軸與軸與且垂直于且垂直于已知平面過點(diǎn)已知平面過點(diǎn)yozzy321xyzo:解解,010j,100k在角平分線上在角平分線上,110kj,110n方程方程032)()(zy5 zy即即8由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,cban 二、平面的一般方程9特殊情形特殊情形 當(dāng) d = 0 時(shí), a x + b y + c z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的

4、平面; 當(dāng) a = 0 時(shí), b y + c z + d = 0 的法向量平面平行于 x 軸; a x+c z+d = 0 表示 a x+b y+d = 0 表示 c z + d = 0 表示 a x + d = 0 表示 b y + d = 0 表示0dczbyax)0(222cba平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面.,), 0(icbn104例例.),(軸的平面方程軸的平面方程和和求過點(diǎn)求過點(diǎn)x134:解解,軸軸平面過平面過x0czby可設(shè)方程為可設(shè)方程為代入代入將點(diǎn)將點(diǎn)),(13403cbbc

5、303 bzby即即03 zy11例例 5 5 求過點(diǎn)求過點(diǎn))1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解12例例 6 6 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 d由由平平面面過過

6、點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解?:怎樣求點(diǎn)法式方程怎樣求點(diǎn)法式方程問題問題13例例 7 7 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程. 設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解14,ada ,bdb ,cdc 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1

7、czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距pozyxrq15例例 8 8 求平行于平面求平行于平面0522zyx而與三個(gè)坐標(biāo)而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程. 設(shè)平面為設(shè)平面為, 022dzyxxyzo, 122dzdydx即即解解12261)(ddd由題意由題意332d平面方程為平面方程為032223zyx16三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121ccbbaa222222cba212121cba兩平面法向

8、量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 172特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n18外一點(diǎn),求),(0000zyxp0dzcybxa例例9. 設(shè)222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxp在平面上取一點(diǎn)是平面到平

9、面的距離d .0p,則p0 到平面的距離為01prjppdnnnpp010p1pnd, ),(cban (點(diǎn)到平面的距離公式)1911例例的距離的距離到平面到平面求點(diǎn)求點(diǎn)01112zyx),(:解解3111111121222）（)(d12例例相切的平面方程相切的平面方程球面球面且與且與求平行于平面求平行于平面4100222zyxzyx: :解解0dzyx的平面方程可設(shè)為的平面方程可設(shè)為平行于平行于 平面與球面相切平面與球面相切2111000222d32 d平面方程平面方程032zyx20平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角

10、.點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）四、小結(jié)2132957p習(xí)題習(xí)題9 , 8 , 6 , 32，22思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k23思考題解答思考題解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k24一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 czbyax必通過必通過_， （其中（其中 cba,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 dczby_

11、x軸；軸；3 3、平面、平面0 czby_x軸；軸；4 4、通過點(diǎn)、通過點(diǎn))1,0,3( 且與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _；5 5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、三點(diǎn)的平面方三點(diǎn)的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx與與xoy面的夾角余弦為面的夾角余弦為_ _ _，與，與yoz面的夾角余弦為面的夾角余弦為_， 與與zox面的夾角的余弦為面的夾角的余弦為_；練練 習(xí)習(xí) 題題25二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求過點(diǎn)求過點(diǎn))2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點(diǎn)的三點(diǎn)的 平面方程平面方程 . .四、四、 點(diǎn)點(diǎn))1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通過過z軸軸和和點(diǎn)點(diǎn))2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求與與已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且與與 三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所構(gòu)構(gòu)成成的的四四面面體體體體積積為為 1 1 的的平平面面方方程程 . .26一、一、1 1、(0,0,0)(0,0,0)； 2 2、平行于；、平行于； 3 3、通過；、