高一數(shù)學 人教版必修3：第三章 統(tǒng)計 含解析

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料重點列表：重點列表：重點名稱重要指數(shù)重點 1頻率分布直方圖重點 2莖葉圖重點 3拋物線重點詳解：重點詳解：用樣本的頻率分布估計總體分布(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種：一種是用樣本的_估計總體的_；另一種是用樣本的_估計總體的_(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示_，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用_表示各小長方形的面積總和等于_(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布_隨著樣本容量的增加，作圖時所分的_增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑 曲 線 ， 統(tǒng) 計 中 稱 之 為_， 它 能 夠 更 加 精 細 地 反 映 出_

2、(4)當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以_，而且可以_，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便【參考答案】(1)頻率分布分布數(shù)字特征數(shù)字特征(2)頻率組距各小長方形的面積1(3)折線圖組數(shù)總體密度曲線總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比(4)保留所有信息隨時記錄重點重點 1 1：頻率分布表、頻率分布直方圖及其應用：頻率分布表、頻率分布直方圖及其應用【要點解讀】用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用在計數(shù)和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體

3、作出估計頻率分布直方圖的縱坐標為頻率/組距，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤【考向 1】根據(jù)數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖【例題】某市 2013 年 4 月 1 日4 月 30 日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.(1)完成下列頻率分布表、頻率分布直方圖；頻率分布表分組頻數(shù)頻率41，51)51，61)61，71)71，8

4、1)81，91)91，101)101，111)頻率分布直方圖(2)根據(jù)國家標準，污染指數(shù)在 050 之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在 51100 之間時，為良；在101150 之間時，為輕微污染；在 151200 之間時，為輕度污染請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標準，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價解：(1)如圖所示：頻率分布表分組頻數(shù)頻率41，51)223051，61)113061，71)443071，81)663081，91)10103091，101)5530101，111)2230頻率分布直方圖(2)答對下述兩條中的一條即可：該市一個月中空氣污染指數(shù)有 2 天處于優(yōu)的水平， 占當月天數(shù)的115， 有 2

5、6 天處于良的水平，占當月天數(shù)的1315，處于優(yōu)或良的天數(shù)共有 28 天，占當月天數(shù)的1415.說明該市空氣質(zhì)量基本良好輕微污染有 2 天，占當月天數(shù)的115，污染指數(shù)在 80 以上的接近輕微污染的天數(shù)有 15 天，加上處于輕微污染的天數(shù)，共有 17 天，占當月天數(shù)的1730，超過 50%，說明該市空氣質(zhì)量有待進一步改善【評析】首先根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)完成頻率分布表，作出頻率分布直方圖，根據(jù)污染指數(shù)，確定空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕微污染、輕度污染的天數(shù)；對于開放性問題的解答，要選擇適當?shù)臄?shù)據(jù)特征進行考察，根據(jù)數(shù)據(jù)特征分析得出實際問題的結(jié)論本題主要考查運用統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力、數(shù)據(jù)處理能力和應用

6、意識【考向 2】頻率分布直方圖的逆用【例題】某校 100 名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100.(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這 100 名學生語文成績的平均分；(3)若這 100 名學生的語文成績在某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學成績在相應分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學成績在50，90)之外的人數(shù).分數(shù)段50，60)60，70)70，80)80，90)xy11213445解：(1)由(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)0.05550.465

7、0.3750.2850.059573.(3)由頻率分布直方圖及已知的語文成績、數(shù)學成績分布在各分數(shù)段的人數(shù)比，可得下表：分數(shù)段50，60)60，70)70，80)80，90)x5403020 xy11213445y5204025于是數(shù)學成績在 50，90)之外的人數(shù)為 100(5204025)10.重點重點 2 2：莖葉圖：莖葉圖【要點解讀】莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作【考向 1】根據(jù)莖葉圖求方差【例題】以下莖葉圖記錄了

8、甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以x表示如果x8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；注：方差s21n(x1)2(x2)2(xn)2，其中x為x1，x2，xn的平均數(shù)解：當x8 時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是 8，8，9，10，所以平均數(shù)為889104354；方差為s2148354283542935421035421116.【考向 2】根據(jù)莖葉圖求平均數(shù)【例題】某車間共有 12 名工人，隨機抽取 6 名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).179201530(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本平均值；(2)日加工零件個數(shù)大于樣本均

9、值的工人為優(yōu)秀工人，根據(jù)莖葉圖推斷該車間 12 名工人中有幾名優(yōu)秀工人？難點列表：難點列表：難點名稱難度指數(shù)難點 1用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征難點 2導數(shù)與函數(shù)的極值、最值難點詳解：難點詳解：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或者最中間兩個數(shù)據(jù)的_)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即_在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該_(2)樣本方差，樣本標準差標準差s)()()(122221xxxxxxnn， 其中xn是_

10、，n是_，是_標準差是反映總體_的特征數(shù)，_是樣本標準差的平方通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差【答案】 (1)最多平均數(shù)1n(x1x2xn)相等(2)樣本數(shù)據(jù)的第n項樣本容量平均數(shù)波動大小樣本方差難點難點 1 1：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【要點解讀】能從一組數(shù)據(jù)中求出中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)【考向 1】平均數(shù)、中位數(shù)【例題】某汽車制造廠分別從 a，b 兩種輪胎中各隨機抽取了 8 個進行測試，列出了每一個輪胎行駛的最遠里程數(shù)(單位：1000 km)：輪胎 a96112971081001038698輪胎 b108

11、10194105969397106(1)分別計算 a，b 兩種輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)分別計算 a，b 兩種輪胎行駛的最遠里程的極差、標準差；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪種型號輪胎的性能更加穩(wěn)定？(2)a 輪胎行駛的最遠里程的極差為：1128626，標準差為：s=8)2()14(308)3(12)4(2222222222127.43；b 輪胎行駛的最遠里程的極差為：1089315，標準差為：s86) 3()7()4(5)6(182222222211825.43.(3)雖然 a 輪胎和 b 輪胎的最遠行駛里程的平均數(shù)相同，但 b 輪胎行駛的最遠里程的極差和標準差相對于 a 輪胎

12、較小，所以 b 輪胎性能更加穩(wěn)定【評析】在理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標準差、方差的統(tǒng)計意義和數(shù)學表達式的情況下，不難作出解答【考向 2】平均數(shù)、標準差【例題】某學員在一次射擊測試中射靶 10 次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.則(1)平均命中環(huán)數(shù)為_；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為_難點難點 2 2：根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的數(shù)字特征：根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的數(shù)字特征【要點解讀】會從頻率分布直方圖中求出中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)【考向 1】中位數(shù)【例題】如圖所示是一容量為 100 的樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其中位數(shù)為()a12.5b13c13.5d

13、14【答案】b【考向 2】平均數(shù)【例題】某市為了節(jié)約能源，擬出臺“階梯電價”制度，即制訂住戶月用電量的臨界值a.若某住戶某月用電量不超過a度，則按平價計費；若某月用電量超過a度，則超出部分按議價計費，未超出部分按平價計費為確定a的值，隨機調(diào)查了該市 100 戶的月用電量，工作人員已將 90 戶的月用電量填在了下面的頻率分布表中，最后 10 戶的月用電量(單位：度)為：18，63，43，119，65，77，29，97，52，100.組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)頻率0，20)20，40)正正40，60)正正正正60，80)正正正正正80，100)正正正正100，120(1)完成頻率分布表并繪制頻率分布

14、直方圖；(2)根據(jù)已有信息，試估計全市住戶的平均月用電量(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(3)若該市計劃讓全市 75%的住戶在“階梯電價”出臺前后繳納的電費不變，試求臨界值a.解(1)組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)頻率0，20)40.0420，40)正正120.1240，60)正正正正240.2460，80)正正正正正正300.3080，100)正正正正正250.25100，120正50.05(2)由題意，用每小組的中點值代表該小組的平均月用電量，則 100 戶住戶組成的樣本的平均月用電量為 100.04300.12500.24700.30900.251100.0565(度)用樣本估計總體，可

15、知全市居民的平均月用電量約為 65 度(3)計算累計頻率，可得下表：分組0，20)20，40)40，60)60，80)80，100)100，120頻率0.040.120.240.300.250.05累計頻率0.040.160.400.700.951.00由此可知臨界值a應在區(qū)間 80，100)內(nèi)，且頻率分布直方圖中，在臨界值a左側(cè)小矩形的總面積(頻率)為 0.75，故有 0.7(a80)0.012 50.75，解得a84，由樣本估計總體，可得臨界值a為 84.【趁熱打鐵】【趁熱打鐵】1 1容量為 20 的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組10，20)20，30)30，40)40，50)50，6

16、0)60，70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 10，40)的頻率為()a0.35b0.45c0.55d0.652 2 為了普及環(huán)保知識， 增強環(huán)保意識， 某大學隨機抽取 30 名學生參加環(huán)保知識測試， 得分(十分制)如圖所示，假設得分的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mo，平均值為，則()amemobmemocmemodmome3 3某班級有 50 名學生，其中有 30 名男生和 20 名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為 86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為 88，93，93，88，93.下列說法一定正確的是()a這種抽樣方法是一種分層

17、抽樣b這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣c這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差d該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)4 4小波一星期的總開支分布如圖 1 所示，一星期的食品開支如圖 2 所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為()圖 1圖 2a30%b10%c3%d不能確定5 5從甲乙兩個城市分別隨機抽取 16 臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)，設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則()甲乙8650884001028752202337800312448314238a.甲m乙b甲乙，m甲乙，m甲m乙d甲乙，m甲m乙6 6樣本

18、(x1，x2，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，ym)的平均數(shù)為y(y)，若樣本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均數(shù)(1)y，其中 012，則n，m的大小關系為()anmcnmd不能確定7 7甲、乙兩人在 10 天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這 10 天中甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為_和_甲乙981971013202142411530208 8如圖是根據(jù)部分城市某年 6 月份的平均氣溫(單位：)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是 20.5，26.5，樣本數(shù)據(jù)的分組為 20.5，21.

19、5)，21.5，22.5)，22.5，23.5)，23.5，24.5)，24.5，25.5)，25.5，26.5已知樣本中平均氣溫低于 22.5的城市個數(shù)為 11，則樣本中平均氣溫不低于 25.5的城市個數(shù)為_9 9為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為24171593，第二小組頻數(shù)為 12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在 110 以上(含 110 次)為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？(3)在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？

20、請說明理由1010為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為a藥，b藥)的療效，隨機地選取 20 位患者服用a藥，20 位患者服用b藥，這 40 位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)，試驗的觀測結(jié)果如下：服用a藥的 20 位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用b藥的 20 位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果

21、看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？a藥b藥0.1.2.3.第三章第三章1 解：由頻率分布表可知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 10，40)內(nèi)的頻數(shù)為 2349，樣本總數(shù)為20，故樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 10，40)的頻率為9200.45.故選 b.b.2 解：中位數(shù)為 5.5，眾數(shù)為 5，平均值為17930.故選 d.d.3 解：這種抽樣方法為簡單隨機抽樣，該班這五名男生成績的平均數(shù)為8694889290590，方差為15(8690)2(9490)2(8890)2(9290)2(9090)28；該班這五名女生成績的平均數(shù)為8893938893591，方差為15(8891)2(9391)2(9391)2(8891)2(9391)26.故選 c.c.5 解：易知甲21.5625，乙28.5625，m甲20，m乙29，甲乙，m甲m乙故選 b.b.6 解：x1x2xnn，y1y2ymmy，x1x2xny1y2ym(mn)(mn)(1)y(mn)(mn