2018-2019學(xué)年山西省高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2018-2019學(xué)年山西省高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題、單選題1已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1 i z 2i，則z的虛部是（）A . 1b. iC.1d . i【答案】A【解析】1 i z 2i z 2i2i（1 i） 1 i，所以z的虛部是1,選A1 i22 22.余弦函數(shù)是偶函數(shù)，f x cos 3x 2是余弦函數(shù)，因此f x cos 3x 2是偶函數(shù)”，以上推理（ ）A .結(jié)論正確B.小前提不正確C .大前提不正確D .全部正確【答案】B【解析】由演繹推理的定義可得出結(jié)論.【詳解】2由于f（x） cos 3x 2不是余弦函數(shù)，所以小前提不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理的基本概

2、念，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3 .用反證法證明命題 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a b c 1，貝V a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于1-”時(shí)假設(shè)的內(nèi)容是（）31c都小于-A . a、1b、c都不小于B. a、b、331C. a、1b、c至多有一個(gè)小于D a、b、c至多有兩個(gè)小于33【答案】B【解析】否定原命題的結(jié)論可得解【詳解】反證法證明命題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論不成立故用反證法證明命題設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足1 1a b c 1，貝U a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于 一”時(shí)的假設(shè)是“a、b、c都小于一”33故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的概念，屬基礎(chǔ)題.第3頁(yè)共16頁(yè)4 .下面關(guān)于復(fù)數(shù) z 1 2i

3、 （i為虛數(shù)單位）的四個(gè)命題:Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；uuuOZ 1,2 : Z z.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2【答案】Cz z 3 ;復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量【解析】求出復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷 的正誤，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可 判斷的正誤，利用復(fù)數(shù)的概念可判斷 的正誤【詳解】已知復(fù)數(shù)z 1 2i ,則z 1 2i，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 1, 2在第三象限，故不正 確；因?yàn)閦 z 1 2i 1 2i 5，故不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量對(duì)應(yīng)，故 正確；因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，故 不正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相關(guān)的命題真假的判斷，涉及復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基

4、礎(chǔ)題.5. 4 x 2 $ dx （）A .B. 2C. 3D . 4【答案】B【解析】確定曲線y .4 x2?0x4的形狀，利用定積分的幾何意義可求得積分4 4 x 2 2的值0耳【詳解】令y ,4 x 2 2 0,等式平方并化簡(jiǎn)得x 2 2 y2 4,所以，曲線y .,4 x 2 2 0 x 4表示圓x 2 2 y24上半部分，則4 .0 '4 _ 2 1 .4 x 2 dx - 0 2x 2 $表示以2,0圓心，以2為半徑的圓的上半部分的面積，【點(diǎn)睛】 本題考查定積分的計(jì)算，涉及定積分幾何意義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6 .曲線y壬臺(tái) 在點(diǎn)2,2處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形

5、的面積為(A . 20B. 16C. 12【答案】【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出所求切線的方程,進(jìn)而可求得切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),利用三角形的面積公式即可得解【詳解】x令f X，則f Xx 1所以，曲線y兒在點(diǎn)2,2處的切線方程為4,0，與y軸的交點(diǎn)為0,41 2與x軸的交點(diǎn)為，故所求三角形的面積為1 422故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積計(jì)算,解答的關(guān)鍵就是求出切線的方程,考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7 .函數(shù)f(x)婆x的圖象可能是(C.【答案】A【解析】根據(jù)奇偶性可排除B、C,然后再根據(jù)當(dāng)時(shí)f(x)的符號(hào)排除D即可得【詳解】故選： A.【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)圖象的判斷，這類(lèi)題的

6、思路通常是結(jié)合函數(shù)特殊點(diǎn)、奇偶性和單調(diào)性，用 排除法作出選擇，屬于常考題 .328若函數(shù)f x x mx 3x 7在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A 3,3B 3,3C ,3 U 3,D ,33,【答案】A【解析】 由題意可知， f x 0 對(duì)任意的 x R 恒成立，得出 0 ，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .【詳解】由于函數(shù)f x x3 mx2 3x 7在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，2所以，f x 3x 2mx 3 0在R上恒成立，所以4m236 0 .解得3 m 3 故選： A 【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)， 一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式恒成立問(wèn)題， 考查運(yùn)算求解 能力，屬于基礎(chǔ)

7、題 .9在中華好詩(shī)詞大學(xué)季的決賽賽場(chǎng)上，由南京師范大學(xué)酈波老師、中南大學(xué)楊雨老師、著名歷史學(xué)者紀(jì)連海和知名電視節(jié)目主持人趙忠祥四位大學(xué)士分別帶領(lǐng)的四支大 學(xué)生團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了角逐將這四支大學(xué)生團(tuán)隊(duì)分別記作甲、乙、丙、丁，且比賽結(jié)果只有 一支隊(duì)伍獲得冠軍，現(xiàn)有小張、小王、 小李、小趙四位同學(xué)對(duì)這四支參賽團(tuán)隊(duì)的獲獎(jiǎng)結(jié) 果預(yù)測(cè)如下： 小張說(shuō)： “甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得冠軍 ”；小王說(shuō)： “丁團(tuán)隊(duì)獲得冠軍 ”；小李說(shuō) “乙甲團(tuán)隊(duì)獲得冠軍 ”若這四位同學(xué)中只有兩位預(yù)）C .丙D .丁丙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)均未獲得冠軍 ”；小趙說(shuō)：測(cè)結(jié)果是對(duì)的，則獲得冠軍的團(tuán)隊(duì)是（A .甲B.乙【答案】 D【解析】 對(duì)甲、乙、丙、丁分別獲得冠軍進(jìn)

8、行分類(lèi)討論，結(jié)合四人的說(shuō)法進(jìn)行推理，進(jìn) 而可得出結(jié)論 .【詳解】 若甲獲得冠軍，則小張、小李、小趙的預(yù)測(cè)都正確，與題意不符；若乙獲得冠軍，則小王、小李、小趙的預(yù)測(cè)不正確，與題意不符；若丙獲得冠軍，則四個(gè)人的預(yù)測(cè)都不正確，與題意不符；若丁獲得冠軍，則小王、小李的預(yù)測(cè)都正確， 小張和小趙預(yù)測(cè)的都不正確， 與題意相符.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題10.定義在R上的函數(shù)f x滿(mǎn)足f x2，則不等式f x2ex第17頁(yè)共16頁(yè)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（,0B.,0C.0,D.0,【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)x-，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y geX在R上的單調(diào)性，將

9、所求不等式變形為gg 0，禾U用函數(shù)y g x的單調(diào)性即可得解.【詳解】，則g x所以，函數(shù)在R單調(diào)遞減，由2ex，得解得x0.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵,考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題211.已知P是圓xy2 R2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作曲線C的兩條互相垂直的切線,切點(diǎn)分別為M,N ,2MN的中點(diǎn)為E若曲線C :令a2b21(a b 0)，且R2ab2，則點(diǎn)E的軌跡方程為2 y b2-2 2.歸若曲線1(a b 0)，且 R2a2b22 x2yX22y2 ab2a2b22222xyxy2 ab2.a2b2A .C .B2222xyxy

10、2 ab2. a2b22222xyxy2 ab2. a2b2則點(diǎn)E的軌跡方程是（B.D.【答案】【解析】由于橢圓與雙曲線定義中的運(yùn)算互為逆運(yùn)算,所以猜想與雙曲線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)2軌跡方程為2a2 y_ b212 .已知函數(shù)fsin x e2018x令fi Xf X , f2 X則 f2019xA . sin x eB. sinxxcosx ecosx【答案】【解析】計(jì)算出f1f2 x、，找出規(guī)律，進(jìn)而可求得【詳解】sinxgig2 xgi x ,g3xg2gngncosx20172018xsin x ex 2018 2017x2016cosx ex 2018 2017 2016x2015xsin x

11、e20i820i720142016 2015x由上可知,gnxgn x，且n x gn x20i8 20i7 L20i92018n x20i8,nf2018 x f2017 xxsin x e20i820i720i6 20i5 Lcosx e .故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)題意得出導(dǎo)數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題二、填空題13 設(shè)a 4i bi 3，其中i為虛數(shù)單位，a、b為實(shí)數(shù)，則 a bi .【答案】5【解析】利用復(fù)數(shù)相等求得實(shí)數(shù) a、b的值，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果【詳解】由 a 4i bi 3，得 a 3, b 4，所以 a bi 3 4i 肩 4

12、 5. 故答案為：5 .【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基 礎(chǔ)題.x14 .已知函數(shù) f x xe 3x 1，則 f 0 f 0.【答案】1【解析】求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式中代入x 0計(jì)算可得出f 0 f 0的值.【詳解】xxQ f x xe 3x 1 , f x x 1 e 3, f 02, f 01,因此，f 0 f 01 .故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)f x xlnx 2，存在x00,4，使得f x0m成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是

13、.1【答案】，2e【解析】由題意可得 m f x max，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y f x在區(qū)間0,4上的最大值，即可得出實(shí)數(shù) m的取值范圍.【詳解】Q f xxln x 2，存在 xo0,4，使得 f Xom成立等價(jià)為fxmaxm.f x1 lnx 1,令 f x 0，得 x -.e當(dāng)x10,時(shí)，f x 0,函數(shù) f xxlnxe2是增函數(shù)；當(dāng)x丄4e時(shí)，f x0，函數(shù)f xxlnx 2是減函數(shù)，當(dāng)x110,4時(shí)，函數(shù)f xxl nx 2在x處取得最大值2，所以mee1 2e1因此，實(shí)數(shù) m的取值范圍是，2 .e1故答案為：，丄2 .e【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立問(wèn)題，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為與

14、函數(shù)最值相等的不等式問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16.觀察卜列各式：1cosi sin 3322cos isin 2133223cos i sin 1 ；334Ccos isin 1- 3332226根據(jù)以上規(guī)律可得cos i sin33【答案】1二3 i2 2【解析】觀察題干中的四個(gè)等式:可得出COS i si n-nn cosi sin n ,然后令3333n 26代入計(jì)算可得出結(jié)果【詳解】觀察題干中的四個(gè)等式可猜cosni sin cos-n.ni sin 3333將n 26代入，可得 cos i sin26cos26i sin261.3 .i .33332 2故答案為：

15、1 _i3i .2 2【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，根據(jù)等式的結(jié)構(gòu)歸納出一般的等式是解答的關(guān)鍵，考推理能力，屬于中等題 三、解答題2 217. z m 5m 6 m 8m 15 i , i為虛數(shù)單位， m為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，求m的值;(2)當(dāng)復(fù)數(shù)z 8i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求m的取值范圍.【答案】(1)m 2 ； (2)1,23,7 .【解析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的概念可得出關(guān)于m的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)m的值;(2)將復(fù)數(shù)8i表示為一般形式，結(jié)合條件得出該復(fù)數(shù)的實(shí)部為正數(shù)、虛部為負(fù)數(shù),可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，即可解得實(shí)數(shù) m的取值范圍.【詳解】(1)由z為純虛數(shù)得m

16、2 5mm2 8m6°，解得m15 0(2)復(fù)數(shù) z 8i m2 5m 6m2 8m 7 i因?yàn)閺?fù)數(shù)z 8i位于第四象限，所以2m2m5m 68m 7°,解得1 m 2或3 m 7.0故m的取值范圍為1,23,7【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與幾何意義求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題18 .直線y X分拋物線y 2x X2與X軸所圍成的圖形為兩部分，求這兩部分的面積 比(小面積比大面積).【答案】1:7【解析】 作出圖形，利用定積分計(jì)算出兩區(qū)域的面積，進(jìn)而可得出結(jié)果【詳解】x2的交點(diǎn)為0,0與1,1，拋物線與X軸的交點(diǎn)為0,0與 2,0 ,拋物線y 2x x2與x軸圍成

17、的面積為位于直線yX上方的較小面積為S12x12 2x x dXx x dX00所以,位于直線 y x下方的較大面積為因此,1: 7S221 3-X2S2x X2dx2 X40303112131X-X.23067S2S S6【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分計(jì)算曲邊區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題19. (1)證明：、a 、a 7. a 2- a9 a 0；(2)若 sin 23sin，證明：tan 2tan【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析. a 7，將所得不等【解析】(1)將所證不等式等價(jià)變形為 '2 .廠9a 2式逐步平方、消元，結(jié)合分析法可得證;(2)由 2，結(jié)合兩角和與差的正弦公

18、式以及弦化切的思想可證得 tan 2tan【詳解】(1)要證,aa7 、a2 ,9 成立,只需證k a a 9, a 2 、一 a 7，只需證 2 2：.a . a 9. a 2. a 7,只需證2a2, a2 9a 2a 9 2 a2 9a14，只需證9aa2 9a 14 ,只需證14而140顯然成立.所以 a、a 2 a 9 a(2)Q sin 23sin , sin3sin展開(kāi)得sincoscossin3 sincos cossin整理得4sincos2cossin兩邊同除2coscos得 2tantan即 tan 2tan【點(diǎn)睛】 本題考查利用分析法和綜合法證明不等式與等式，考查推理能

19、力，屬于中等題 20 .觀察下列等式：1；.13 233 ；13 23 336 ；3333.23410 ；?33 3 3 31234515 ；(1)猜想第n(n N)個(gè)等式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想【答案】 n n 1 ；（2）（i）當(dāng)n 1時(shí)，等式顯然成立；（ii）見(jiàn)證明;2【解析】（1）猜想第n個(gè)等式為*2333 n3（2）先驗(yàn)證n 1時(shí)等式成立，再假設(shè)n k等式成立，并利用這個(gè)假設(shè)證明當(dāng) n k 1 時(shí)命題也成立.【詳解】（1）猜想第n個(gè)等式為,13 23 33 n3（2）證明：當(dāng)n 1時(shí)，左邊 1,右邊1，故原等式成立;設(shè) n k 時(shí)，有.1323 33k31，則當(dāng)n k 1時(shí),

20、23 33 k3k1 , ;2 k 1故當(dāng)n k 1時(shí)，命題也成立,由數(shù)學(xué)歸納法可以原等式成立【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般有2個(gè)基本的步驟：（1）歸納起點(diǎn)的證明即驗(yàn)證n ko命題成立；（2）歸納證明：即設(shè) n k命題成立并證明n k 1時(shí)命 題也成立，此處的證明必須利用假設(shè)，最后給出一般結(jié)論13221 .已知函數(shù)f xax x 1 .3（1） 若a 1時(shí)，直線y m與函數(shù)y f x圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取 值范圍；（2）討論f x的單調(diào)性.【答案】（1） 1,- ； （2）見(jiàn)解析3【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù) y f x的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可得

21、出實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求得導(dǎo)數(shù)f xax2 2x,對(duì)實(shí)數(shù)a分a 0和a 0兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，進(jìn)而可得出函數(shù)y f x的單調(diào)遞增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】(1)當(dāng) a 1 時(shí)，f x-x3 x2 1， f x x2 2x x x 2 .3令f x 0,得x 0或x 2，當(dāng)x變化時(shí)，f x , f x的變化情況如下表：所以，函數(shù)y f x的單調(diào)遞減區(qū)間為,0和2, ，單調(diào)遞增區(qū)間為 0,2當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)y f x有極小值f 01;當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)y f x有極大x,000,222,f x00f x極小值Z極大值值f 23，如下圖所示:若直線ym與函數(shù)y f x圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)

22、，貝U1 m -3因此，實(shí)數(shù) m的取值范圍為1,7 ；31322(2)Q f x-ax3 x2 1 f x ax 2x3 '當(dāng) a 0 時(shí)，f x x2 1, f x 2x.令 f x 0 ,得 x 0 ；令 f x 0 ,得 x 0.所以，函數(shù)y f x的單調(diào)遞減區(qū)間為,0，單調(diào)遞增區(qū)間為 0,當(dāng)a 0時(shí)，令f2x 0 ,得 x -或 x 0 ；令 fx 0，得-x 0.aa所以，函數(shù)y fx的單調(diào)遞增區(qū)間為2 2,和0,單調(diào)遞減區(qū)間為,0aa當(dāng)a 0時(shí)，令fx 0，得 0 x2 2 ;令f x 0，得x 0或x.aa所以，函數(shù)y fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,22，單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)

23、和，aa綜上所述，當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)yf x的單調(diào)遞減區(qū)間為,0，單調(diào)遞增區(qū)間為 0,;當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)yf x的單調(diào)遞增區(qū)間為2,和0,，單調(diào)遞減區(qū)間為a2小,0 ；a當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)yf x的單調(diào)遞增區(qū)間為20,，單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 考查分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題122.已知函數(shù)f x minx nx在x處有極值 ln3 1.3(1)求f x的解析式；(2)若關(guān)于x的不等式2fx2 ax2a 8 x 1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1) f x in x3x ；(2)1,.0【解析】（1）由題意得出可得出關(guān)于 m、n的