數學閱讀課“田忌賽馬”的教學設計

閱讀對于一個人成長的重要性不言而喻。數學閱讀作為學生閱讀能力、閱讀習慣培養(yǎng)的重要一環(huán)，對發(fā)展學生的核心素養(yǎng)起著不可替代的作用。然而，目前適合小學生的數學讀物并不多見，對數學閱讀課的探索成果也較為稀少。如何開發(fā)合適的數學閱讀材料，開設數學閱讀課成為十分重要的研究課題。本刊將長期關注數學閱讀，不定期刊發(fā)這方面的探索成果，以期推動小學生數學閱讀的發(fā)展，提升學生核心素養(yǎng)水平?！疤锛少愸R”是我國著名的歷史典故，它具有豐富的內涵，對培養(yǎng)學生的思辨能力具有重要意義。筆者將這個策略故事和數學知識結合起來，先給學生編寫一些閱讀材料，再利用這些閱讀材料上課，形成了一節(jié)知識豐富且妙趣橫生的數學閱讀課?！窘虒W適用年級】四至六年級?！窘虒W目標】（1）拓寬認識事物的角度，能夠從多個角度解讀“田忌賽馬”的故事。（2）拓展知識面，初步了解“定性描述”與“定量描述”、“同時博弈”與“相繼博弈”的含義。（3）認識到規(guī)則的重要性、公平性以及規(guī)則與策略之間的關系?！窘虒W過程】環(huán)節(jié)一：閱讀故事，熟悉內容引導語：請同學們讀一讀“田忌賽馬”的故事，思考并解決材料1中的問題。（材料1）齊國的大將田忌很喜歡賽馬。有一回，他和齊威王約好一起賽馬。他們把各自的馬分成上、中、下三等，每一次都派出一匹馬對戰(zhàn)。由于他們都依次派出上等馬、中等馬和下等馬進行比賽，而齊威王每個等級的馬都比田忌同等級的馬強，所以三場比賽下來，田忌都失敗了。田忌覺得很掃興，垂頭喪氣地準備離開賽馬場。孫臏是田忌的門客，頗有才華。他看了比賽后，發(fā)現(xiàn)雙方馬的奔跑速度其實相差不多，于是對田忌說：“從剛才的情形來看，齊威王的馬比將軍的馬快不了多少……”孫臏還沒有說完，田忌便瞪了他一眼：“想不到你也來挖苦我！”孫臏說：“我不是挖苦您，您與他再賽一次，我有辦法讓您取勝?！碧锛梢苫蟮乜粗鴮O臏：“你是說另換幾匹馬？”孫臏搖頭：“一匹也不用換?！碧锛蓻]有信心地說：“那還不是照樣輸！”孫臏胸有成竹：“您就照我的主意辦吧。”于是，田忌和齊威王就又賽了一次。第一場，田忌用下等馬對齊威王的上等馬，輸了。第二場，田忌拿上等馬對齊威王的中等馬，勝了。這時，齊威王有點兒心慌了。第三場，田忌拿中等馬對齊威王的下等馬，又勝了。這下，齊威王目瞪口呆了。比賽結束，田忌勝兩場輸一場，贏了齊威王。馬還是原來的馬，但田忌只是調換了一下馬的出場順序，就讓比賽轉敗為勝了。問題：這個故事中一共舉行了兩次賽馬比賽，每次賽馬都要比三場。從第一次的三場比賽中，孫臏發(fā)現(xiàn)了什么？全班交流，回答問題。學生會表達出：孫臏發(fā)現(xiàn)齊威王和田忌每一等級馬的奔跑速度差不了多少。（設計意圖：讓學生通過閱讀與交流，弄清故事內容，明確孫臏的發(fā)現(xiàn)。）環(huán)節(jié)二：讀懂不同表達，評價不同表達引導語：孫臏的發(fā)現(xiàn)可以怎么表達出來呢？下面兩個人有不同的表達方式，請你閱讀他們的表達并進行評價。（材料2）下面兩個人都寫了孫臏的發(fā)現(xiàn)。第一個人是這樣寫的。（1）齊威王和田忌的馬都是上等馬跑得最快，中等馬次之，下等馬最慢。（2）齊威王的上等馬比田忌的上等馬跑得快，齊威王的中等馬比田忌的中等馬跑得快，齊威王的下等馬比田忌的下等馬跑得快。（3）田忌的上等馬比齊威王的中等馬跑得快，田忌的中等馬比齊威王的下等馬跑得快。第二個人是這樣寫的。如果把齊威王與田忌分別用A、B表示，上等馬、中等馬、下等馬分別用1、2、3表示，那么，齊威王三個等級的馬分別可以用[A1]、[A2]、[A3]表示，田忌三個等級的馬則可以用[B1]、[B2]、[B3]表示?！癧A1gt;B1]”表示“齊威王上等馬的速度比田忌上等馬的速度要快”，其他的速度關系也可用類似的方式表示，這樣很快可以寫出孫臏的發(fā)現(xiàn)。即：（1）[A1gt;A2gt;A3]，[B1gt;B2gt;B3]。（2）[A1gt;B1]，[A2gt;B2]，[A3gt;B3]。（3）[B1gt;A2]，[B2gt;A3]。評價上面兩個人的表達可以有多種不同的角度，下面是從數學角度給出的評價。在數學中，常常會使用符號進行表達。從使用符號的多少與其簡潔情況來看：第一個人的表達除了文字沒有使用其他符號；第二個人的表達則使用了符號，并先說明每一個符號的含義，再用符號來表達孫臏的發(fā)現(xiàn)，但如果直接看他使用的符號，就不容易看懂。可見，要讀懂用符號表達的信息，就一定要先弄清楚符號的含義，再讀懂符號表達的各種關系。如果能夠弄清楚符號的含義，那么用符號表達將是十分簡潔、明了的。你同意這樣的評價嗎？你覺得使用符號還有什么好處？全班交流，說一說不同表達方式的特點。引導學生：（1）認識符號表達的優(yōu)越性，體會這種表達的模型價值——即使換成“張三的馬與李四的馬比賽”“王五的馬與趙六的馬比賽”“甲的馬與乙的馬比賽”，使用的符號也可以不變；（2）明白用符號表達時，必須先弄清符號的含義。（設計意圖：讓學生在閱讀與交流中，通過對比感受符號表達的優(yōu)越性，并明晰具備這種優(yōu)越性的前提條件是明確符號表達的含義，培養(yǎng)學生的符號意識。）環(huán)節(jié)三：初步了解“定性描述”與“定量描述”的含義引導語：如果要對馬的奔跑速度進行描述，可以有哪些不同的方法呢？請同學們閱讀下面的材料，并回答其中的問題。（材料3）在這個故事中，每匹馬奔跑的速度不一樣。如果用分數來表示馬的奔跑速度，分數大表示奔跑速度快，分數小表示奔跑速度慢，滿分為10分，那么根據故事里對馬奔跑速度的描述，每匹馬的奔跑速度分別可以打幾分呢？表1是兩個人對每匹馬奔跑速度的打分，你覺得他們的打分都對嗎？小明認為：“有了等級，就可以區(qū)分出馬奔跑的快慢了，沒必要再給出分數。也就是說，再給馬的奔跑速度打分是多余的?！蹦阌X得小明說得有道理嗎？為什么？把馬分成上等馬、中等馬和下等馬這樣的等級，是對馬奔跑速度的描述，人們通常把這樣的描述稱為定性描述。給馬打分，比如用10分或3分來描述馬的奔跑速度，也是一種描述方式，這樣的描述稱為定量描述或定量刻畫。第一個人給齊威王的上等馬打10分，中等馬打8分，給田忌的上等馬打9分，這個9分的定量描述就反映出“田忌的上等馬比齊威王的上等馬跑得慢，但比齊威王的中等馬跑得快”這樣的定性描述。第二個人給田忌的上等馬打9.5分，這不但反映了“比齊威王的上等馬慢、中等馬快”這樣的描述，還刻畫了“比齊威王的上等馬慢0.5分，比中等馬快1.5分”這樣的情況，從而反映出“比齊威王的上等馬要慢一點，但比齊威王的中等馬快很多”這樣的定性描述。上面的表格中，兩個人的打分都是對的，都正確地反映了故事中對馬奔跑速度的描述。但兩個人打的分數不完全一樣，說明他們對“快多少或者慢多少”的理解是不一樣的?？梢姡棵枋瞿芨鼮榫_地衡量事物的性質、程度，也更利于進行數學的處理。人們?yōu)榱烁娴孛枋鲆粋€事物，通常采用定性和定量相結合的方法。因此，“定量描述是多余的”這樣的觀點并不正確。你能不能試著舉一個例子，說一說什么叫定性描述和定量描述？讓學生先獨立舉出一個事件，對它作定性描述與定量描述，再說一說這兩種描述的特點，然后全班交流。學生會舉出類似于考試成績這樣的事件，用優(yōu)、良、及格、不及格來描述考試成績是定性描述，用分數來描述考試成績是定量描述。引導學生得出：（1）兩種描述都很重要；（2）定性描述相對模糊，定量描述相對精確；（3）進行科學研究時，常常需要將定性描述與定量描述結合起來。（設計意圖：讓學生通過閱讀與交流，初步了解定性描述與定量描述的含義，拓寬他們的視野，引導學生建立正確描述事物的觀念，提升理性思考的能力。）環(huán)節(jié)四：認識“馬的實力”與“策略”的關系引導語：要贏得賽馬比賽，主要依靠什么呢？請同學們閱讀下面的材料，并回答其中的問題。（材料4）在這個故事中，田忌聽了孫臏的建議，調換了出馬的順序，最終以2∶1贏得了第二次比賽。那么，是否還有其他的出馬順序，也可以讓田忌贏得比賽呢？請看表2。表2中，在齊威王出馬的順序固定為上等馬、中等馬、下等馬的前提下，田忌可以有六種不同的出馬順序，但只有一種出馬順序可以幫助田忌贏得比賽，其余五種出馬順序田忌都會輸。這時，我們可以說田忌贏得比賽的可能性是[16]。孫臏在觀察了第一次賽馬時的三場比賽后，能夠迅速發(fā)現(xiàn)齊威王與田忌各自馬的奔跑速度以及它們速度之間的關系，并馬上選擇出這種唯一能贏得比賽的策略，真是充滿智慧！而田忌也正是靠這種充滿智慧的策略才贏得比賽的。如果齊威王出馬的順序也變成了依次出中等馬、下等馬、上等馬，那田忌是不是也有贏的可能呢？表3中排出了這種情況下田忌可能的六種出馬順序，想一想，田忌贏的可能性是多少？相信通過表3中的排列與計算，你一定得到了田忌只有一種出馬順序才能贏，也就是他贏得比賽的可能性是[16]的結論。那為什么田忌贏得比賽的可能性這么小呢？這是因為他每一個等級的馬都不如齊威王的馬。如果田忌好好養(yǎng)馬、馴馬，提高馬的奔跑速度，就一定會增加贏的可能性。比如，假使田忌能將他的下等馬訓練得比齊威王的下等馬跑得快，那么即使其他等級的馬的奔跑速度不變，田忌是不是也能提高贏的可能性呢？答案是肯定的。這時候，在六種出馬順序中，已經有兩種順序能夠使田忌贏得比賽了。也就是說，田忌贏得比賽的可能性由原來的[16]（不到17%）上升到了現(xiàn)在的[13]（約33%）?，F(xiàn)在請想一想，賽馬取勝最重要的因素是什么？是孫臏這樣的策略？還是馬的奔跑速度？全班交流。引導學生認識到：要贏得賽馬比賽，最主要的影響因素是馬的實力。（設計意圖：讓學生通過閱讀“可能性大小的數據”，從理性的層面認識到“馬的實力”的重要性。）環(huán)節(jié)五：初步了解“同時博弈”與“相繼博弈”的含義，理解規(guī)則的重要性引導語：這個故事里，齊威王在第二次比賽中輸了。如果你是齊威王，你會怎么想？怎么做？請獨立思考，回答問題。全班交流，說一說自己的想法。多數學生會表達出：在比賽時，要求田忌先出馬，或要求同時出馬。也有學生要求先制訂比賽規(guī)則。引導語：如何開展比賽是一門很大的學問，請同學們讀一讀材料5，并回答其中的問題。（材料5）像這樣研究如何作出最優(yōu)決策的學問叫作博弈論，它是現(xiàn)代數學的一個分支。如果參與者是同時作出決策的，稱為同時博弈。比如，玩“石頭、剪刀、布”游戲時，一定要兩人同時出石頭、剪刀或布，“同時出招”就是這個游戲的規(guī)則。而兩個人下棋就不是同時博弈，因為他們不是同時出棋的，而是“你走一步，我再走一步”，這樣的博弈稱為“相繼博弈”，“你走一步，我再走一步”也是一種游戲規(guī)則。只有大家都遵守規(guī)則，游戲才能玩得長久，玩得開心。那么，你覺得應該如何制訂齊威王與田忌的賽馬規(guī)則呢？先想一想，再讀一讀下面的規(guī)則。1.雙方各出三匹馬，自己決定三匹馬的出場順序，確定順序后告訴裁判，之后便不能再做變動。2.每次比賽時，雙方都根據事先約定好的順序出馬。3.每場比賽都以馬先到達終點者為贏，后到達終點者為輸。三場比賽結束后，誰贏得的比賽次數多，就算誰勝利。4.如有不符合上述規(guī)則的行為，則取消比賽資格，并把每場比賽結果都定為輸。你認為應該在什么時候制訂規(guī)則？制訂規(guī)則時，需要雙方或多方討論嗎？我們要積極提倡遵守規(guī)則嗎？為什么？決定賽馬勝負最重要的因素是什么？如果制訂了規(guī)則，像孫臏這樣充滿智慧的策略還有用嗎？實際上，在雙方或多方展開比賽或是博弈前，就要制訂比賽、博弈的規(guī)則。規(guī)則制訂的過程需要雙方或多方協(xié)商，且制訂的規(guī)則要對參加比賽、博弈的雙方或多方都公平、公正。我們必須積極提倡遵守規(guī)則，只有這樣才能公平、公正地比賽。而賽馬取勝最重要的因素是馬的奔跑速度。因此，為了贏得賽馬比賽，平時一定要花時間和精力研究馬的成長情況、奔跑規(guī)律，好好養(yǎng)馬、馴馬，提高馬的奔跑速度。不過，這不是說策略沒有用，它依舊能夠最大限度地調動人的精神力量和物質力量來取得勝利，只是運用策略時必須遵守規(guī)則。但我們也應當明白，最終能長期無敵天下的，一定是“馬的實力”，而非孫臏這樣的策略。全班圍繞“孫臏的策略是否違反規(guī)則？”“規(guī)則為什么重要？”“如何認識策略與規(guī)則的關系？”三個問題展開交流。引導學生得到：（1）一開始的“田忌賽馬”故事中并沒有制訂賽馬的規(guī)則，因此孫臏的策略沒有違反規(guī)則；（2）有規(guī)則才能使游戲玩得長久，玩得開心；（3）策略很重要，但策略也要在遵守規(guī)則的前提下使用。（設計意圖：讓學生從齊威王的角度思考問題，引發(fā)制訂比賽規(guī)則的需求；通過閱讀初步了解“同時博弈”與“相繼博弈”的含義，拓展知識面；在閱讀中進一步思考規(guī)則的制訂過程、規(guī)則的公平性；通過交流進一步認識策略與規(guī)則的關系。）【教學反思】筆者在浙江杭州、廣東東莞兩地，分別用兩個六年級班級和一個五年級班級的學生上了這節(jié)課，并在課后發(fā)放調查問卷，以了解學生對閱讀材料與這節(jié)課的看法。三個班級共有125名學生聽了這節(jié)課，并接受了調查。具體的調查結果如下。（1）對閱讀材料的喜歡程度（喜歡、一般、不喜歡）及打分情況（滿分10分）。所有學生都選擇了喜歡，且只有3個學生打了9分，其余都打了10分。（2）對這節(jié)課的喜歡程度（喜歡、一般、不喜歡）及打分情況（滿分10分）。所有學生都選擇了喜歡，并打了10分。（3）寫一寫對今天這節(jié)課的感受。絕大部分學生都表達了他們對這樣的課的喜愛。如：“我覺得數學很有趣、很神奇，比如符號可以代表任何事物?！薄拔曳浅Ｏ矚g