（推薦）初中到高中學習函數(shù)概念的體會

1、初中到高中學習函數(shù)概念的體會初中的函數(shù)知識從映射開始，一個x值有且只對應(yīng)一個y值，然后提到了一次函數(shù)，直角坐標系，從此又學到一個函數(shù)式就有一個函數(shù)圖象，接著是二次函數(shù)、反比例函數(shù)，過度到高中時則提出了指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，在高中的課程中函數(shù)的增減性、奇偶性是重點， 初中時學函數(shù)是從表達式開始的，例如2a-3b這樣的式子，因為初中的思維是習慣常量的，所以對這些表達式表現(xiàn)得難以理解，引入等式后，似乎能理解自變量與因變量間的對應(yīng)關(guān)系，特別是以映射的方式。由此根據(jù)函數(shù)圖象可連接到函數(shù)上，建立為這么一種關(guān)系，有一種直觀的感覺。不過到了高中，函數(shù)的內(nèi)容要深多了，提到增減性和奇偶性、最值等概念，當然都

2、有自己的學習方法和理解方式。函數(shù)概念的發(fā)展歷程函數(shù)就是在某變化過程中有兩個變量X和Y，變量Y隨著變量X一起變化，而且依賴于X。如果變量X取某個特定的值，Y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，那么稱Y是X的函數(shù)。這一要領(lǐng)是由法國數(shù)學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產(chǎn)生于德國的數(shù)學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發(fā)明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了“function一詞。翻譯成漢語的意思就是“函數(shù)。不過，它和我們今天使用的函數(shù)一詞的內(nèi)涵并不一樣，它表示”冪”、“坐標”、“切線長”等概念。 1 / 6直到18世紀，法國數(shù)學家達朗貝爾在進行研究中，給函數(shù)重新下了一個定義，他認為，所謂變量的函數(shù)，就是指由這

3、些變量和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數(shù)關(guān)系。后來瑞士的數(shù)學家歐拉又把函數(shù)的定義作了進一步的規(guī)范，他認為函數(shù)是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的圖像、正比例函數(shù)的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數(shù)關(guān)系的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數(shù)關(guān)系，各自有它們的優(yōu)點，但是如果作為函數(shù)的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現(xiàn)象上，而沒有提示出函數(shù)的本質(zhì)來。 19世紀中期，法國數(shù)學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次準確地提出了函數(shù)的定義：如果某一個量依賴于另一個量，使后一個量變化時，前一個量也隨著變化，那么就把前一個量叫做后一個量的函數(shù)。

4、黎曼定義的最大特點在于它突出了就是之間的依賴、變化的關(guān)系，反映了函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。 數(shù)學家與函數(shù)函數(shù)概念是全部數(shù)學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學的發(fā)展。本文擬通過對函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對函數(shù)概念的教學進行一些探索。 1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展 11 早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù) 十七世紀伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，

5、法，15961650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。 12 十八世紀函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù) 1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，16671748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。 18世紀中葉歐拉(LE

6、uler，瑞，17071783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。 13 十九世紀函數(shù)概念對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù) 1822年傅里葉(Fourier，法，17681830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，

7、從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，17891857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學家狄利克雷。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859)認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以

8、往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。 等到康托爾(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。 14 現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù) 1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用“

9、序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。 函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀40年代，物理學研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1