山東高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：立體幾何專題（理）

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：立體幾何專題（理）一、山東省高考試題分析高考試卷中，立體幾何把考查的立足點(diǎn)放在空間圖形上，突出對空間概念和空間想象能力的考查。立體幾何的基礎(chǔ)是對點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的討論和研究，進(jìn)而討論幾何體。高考命題時(shí)，突出空間圖形的特點(diǎn)，側(cè)重于直線與直線、直線與平面、兩個(gè)平面的位置的關(guān)系以及空間角、面積、體積的計(jì)算的考查，以便檢測考生立體幾何的知識水平和能力。高考試題中題型分布及分值比例（以下是近三年考題、考點(diǎn)、分值分布統(tǒng)計(jì)表）卷型題 序分 值 考查的題型及知識點(diǎn)09年4、5、185+5+12=22幾何體三視圖、面面垂直的判定、線面平行的判定、二面角10年3、195+12=17線面垂直與

2、平行的判定與性質(zhì)、線面角、幾何體的體積11年11、195+12=17幾何體的三視圖、線面平行的證明、以及二面角從上表可以看出：立體幾何均分在20分左右，高考的命題堅(jiān)持以穩(wěn)定大局，控制難度，貫徹“說明”要求，命題的穩(wěn)定主要表現(xiàn)在：考查的重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定，高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定，線、面間的角的計(jì)算作為考查的重點(diǎn)；同時(shí)在創(chuàng)新方面做了一些有益的嘗試。1充分、必要條件與點(diǎn)線面位置關(guān)系的綜合高考對簡單邏輯用語中的充分、必要條件的考查，主要通過與其它部分的綜合問題出現(xiàn)，而與立體幾何相綜合的問題最為普遍，通過這種形式主要考查對充分、必要條件的理解和立體幾何部分的

3、幾何體、點(diǎn)線面的位置關(guān)系等嚴(yán)密性問題（09年理5）已知，表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件 【解析】：由平面與平面垂直的判定定理知，如果m為平面內(nèi)的一條直線，則；反過來則不一定所以“”是“”的必要不充分條件答案：b（10年理3）在空間，下列命題正確的是（ ）（a）平行直線的平行投影重合 （b）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行（c）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 （d）垂直于同一平面的兩條直線平行【解析】由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以很容易得出答案d.本題考查空間直線與平面

4、的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題?！军c(diǎn)評】：此類題目主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念解決此類問題的關(guān)鍵是弄清楚點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的判定此類小題是很容易出錯(cuò)的題目，解答時(shí)要特別注意2三視圖與幾何體的面積、體積的綜合空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，識別三視圖所表示的空間幾何體，柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征與新增內(nèi)容三視圖的綜合會重點(diǎn)考查，從近三年高考題來看，三視圖是出題的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題為主，屬中等偏易題隨著新課標(biāo)的推廣和深入，難度逐漸有所增加（09年理4）一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積

5、為( ).2 2 2 正(主)視圖 2 2 側(cè)(左)視圖 a. b. c. d. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,俯視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為. 答案:c【點(diǎn)評】本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準(zhǔn)確地計(jì)算出幾何體的體積. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 正（主）視圖俯視圖（11年理11）右圖是長和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖其中

6、真命題的個(gè)數(shù)是（a）3 （b）2 （c）1 （d）0【點(diǎn)評】：a.此題考查學(xué)生的空間想象能力，無論是命題形式與考查深度令人欣賞。應(yīng)該說2007年以來，立體幾何刪去了傳統(tǒng)的球面距離、球的切接問題、空間距離等明顯降低了立體幾何的難度。但是，空間想象能力為考試說明的第三能力。因此，此題非常好，難度適當(dāng)，形式自然，目的明確。3幾何體與線、面位置關(guān)系的綜合以空間幾何體為載體考查直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理和性質(zhì)定理證明線線平行或垂直、線面平行或垂直、面面平行或垂直，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線線垂直、線面垂直、面面垂直為主，屬中檔題4空間向量

7、與空間角和距離的綜合用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟：（1）用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問題（進(jìn)行向量運(yùn)算）；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問題）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d （09年理18）如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4， bc=cd=2， aa=2， e、e、f分別是棱ad、aa、ab的中點(diǎn)（1） 證明：直線ee

8、/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c的余弦值wwwks5ucom 解析：解法一：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中點(diǎn)f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 連接a1d，c1f1，cf1，因?yàn)閍b=4， cd=2，且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1/a1d，又因?yàn)閑、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn)，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因?yàn)槠矫鎓cc，平面fcc，所以直線ee/平面fcc（2）因?yàn)閍b=4， bc=cd=2， 、f是棱ab的中點(diǎn)，所以bf=bc=cf，bcf為正三角形，取cf的中點(diǎn)o，則o

9、bcf，又因?yàn)橹彼睦庵鵤bcd-abcd中，cc1平面abcd，所以cc1bo，所以ob平面cc1f，過o在平面cc1f內(nèi)作opc1f，垂足為p，連接bp，則opb為二面角b-fc-c的一個(gè)平面角， 在bcf為正三角形中，在rtcc1f中， opfcc1f， ， wwwks5ucom 在rtopf中，所以二面角b-fc-c的余弦值為e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 解法二:（1）因?yàn)閍b=4， bc=cd=2， f是棱ab的中點(diǎn)，所以bf=bc=cf，bcf為正三角形， 因?yàn)閍bcd為等腰梯形，所以bac=abc=60，取af的中點(diǎn)m，連接dm，則dmab，

10、所以dmcd，以dm為x軸，dc為y軸，dd1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則d（0，0，0），a（，-1，0），f（，1，0），c（0，2，0），c1（0，2，2），e（，0），e1（，-1，1），所以，設(shè)平面cc1f的法向量為則 所以取，則，所以，所以直線ee/平面fcc（2），設(shè)平面bfc1的法向量為，則所以，取，則，所以，由圖可知二面角b-fc-c為銳角，所以二面角b-fc-c的余弦值為【點(diǎn)評】：本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，以及應(yīng)用向量知識解答問題的能力，向量法求二面角是一種獨(dú)特的方法，因?yàn)樗坏莻鹘y(tǒng)方法的有力補(bǔ)充，而且還可以

11、另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問題向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：先作、證二面角的平面角，再求得二面角的大??；先求二面角兩個(gè)半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外），再求得二面角的大小為向量夾角或其補(bǔ)角；先分別在二面角兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線（垂足不重合），又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角二、2012年高考預(yù)測分析透析高考試題，可以看出本專題的熱點(diǎn)為：（1） 直線和平面平行、垂直的判定與性質(zhì)；（2） 兩個(gè)平面平行、垂直的判定與性質(zhì)；（3） 異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角；（4） 幾何體的表面積、體積，注重與三視圖的交匯，以及割補(bǔ)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在求體積

12、方面的應(yīng)用；（5） 利用空間向量來證明平行和垂直關(guān)系（包括線線垂直、平行；線面垂直、平行；面面垂直、平行）及利用空間向量解決求空間角；（6） 棱柱、棱錐、球的概念和性質(zhì)，棱柱、棱錐的復(fù)現(xiàn)率較高，在迎考中應(yīng)繼續(xù)關(guān)注；（7） 尋找截面形狀，多面體的外切球、內(nèi)接球，計(jì)數(shù)問題，折疊問題也值得我們注意。從近幾年高考來看，一般以12個(gè)客觀題來考查線面關(guān)系的判定、表面積與體積、空間幾何體的性質(zhì)與識圖等，以1個(gè)解答題來考查線面關(guān)系的證明以及角的計(jì)算在高考中屬于中檔題目而三視圖作為新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在近三年高考中，有2次在此知識點(diǎn)命題，主要考查三視圖和直觀圖，特別是通過三視圖來確定原圖形的相關(guān)量預(yù)計(jì)今后高考中，

13、在命題規(guī)律呈現(xiàn)如下： （一）客觀題仍以幾何體的的三視圖與表面積與體積的計(jì)算、空間線面關(guān)系與命題、充要條件的結(jié)合為主預(yù)測1 空間幾何體的三視圖與其表面積、體積的求解相結(jié)合仍會是2012年高考的命題熱點(diǎn)。 1、 若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 2、已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）矩形；不是矩形的平行四邊形；ba正視圖俯視圖側(cè)視圖a有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；每個(gè)面都是等腰三角形的四面體； ks*5每個(gè)面都是

14、直角三角形的四面體預(yù)測2 空間線面關(guān)系的判斷與命題、充要條件相結(jié)合會是今后高考命題的一個(gè)趨勢1、平面平面的一個(gè)充分條件是（ ）a. 存在一條直線 b. 存在一個(gè)平面 c. 存在一個(gè)平面 d. 存在一條直線2、已知三條不重合的直線m、n、l，兩個(gè)不重合的平面，有下列命題若； 若；若； 若；其中正確的命題個(gè)數(shù)是a1b2c3d4（二）解答題考查線面關(guān)系的位置關(guān)系和空間角預(yù)測3 解答題仍會以常規(guī)多面體（棱柱和棱錐）為載體，重點(diǎn)考查線面關(guān)系的邏輯推理與空間角的求解、空間向量的基本運(yùn)算以及空間想象能力和邏輯推理能力和應(yīng)用空間向量解決數(shù)學(xué)問題的意識和能力.1、在三棱柱abca1b1c1中，底面是邊長為的正三

15、角形，點(diǎn)a1在底面abc上的射影o恰是abocda1b1c1bc的中點(diǎn)（）求證：a1abc；（）當(dāng)側(cè)棱aa1和底面成45角時(shí)，求二面角a1acb的大小余弦值；（）若d為側(cè)棱a1a上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，bda1c12、已知梯形abcd中，adbc，abc =bad =，ab=bc=2ad=4，e、f分別是ab、cd上的點(diǎn)，efbc，ae = x，g是bc的中點(diǎn)。沿ef將梯形abcd翻折，使平面aefd平面ebcf (如圖) .(1) 當(dāng)x=2時(shí)，求證：bdeg ；(2) 若以f、b、c、d為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；(3) 當(dāng) f(x)取得最大值時(shí)，求二面角d-bf-c的

16、余弦值.三、立體幾何專題練習(xí)1、某師傅需用合板制作一個(gè)工作臺，工作臺由主體和附屬兩部分組成，主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件滑出臺面而設(shè)置的三面護(hù)墻，其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長度: cm), 則按圖中尺寸，做成的工作臺用去的合板的面積為（制作過程合板的損耗和合板厚度忽略不計(jì)）（）a. b. c. d. 2、設(shè)、是空間不同的直線或平面，對下列四種情形： 、均為直線； 、是直線，是平面； 是直線，、是平面； 、均為平面。其中使“且”為真命題的是 （）a b c d 3、一個(gè)幾何體的三視圖如右圖，其中主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（） a b c d4

17、、已知是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：若；若； 如果相交；若其中正確的命題是 （ ） abcd5、如圖，已知是底面為正方形的長方體，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)（1）試判斷不論點(diǎn)在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正切值的最大值6、如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，垂直于底面，分別為的中點(diǎn)。 (1)求證：；（2）求與平面所成的角；（3）求截面的面積。【參考答案】：1d，2c，3a，4d5、解：（1）不論點(diǎn)在上的任何位置，都有平面垂直于平面證明如下：由題意知，又 平面又平面 平面平面（2）解法一：過點(diǎn)p作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中 ,