(完整版)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期函數(shù)壓軸(大題)練習(xí)(含答案),推薦文檔

1、高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期函數(shù)壓軸（大題）練習(xí)（含答案）1（本小題滿分 12 分）已知 x 滿足不等式 2(log 1 x)2 + 7 log 1 x + 3 0 ，22xx求 f (x) = log2 4 log2 2 的最大值與最小值及相應(yīng) x 值2.（14 分）已知定義域?yàn)?r 的函數(shù) f (x) =（1） 求 a 值；-2x + a2x + 1是奇函數(shù)（2） 判斷并證明該函數(shù)在定義域 r 上的單調(diào)性；（3） 若對(duì)任意的t r ，不等式 f (t 2 - 2t) + f (2t 2 - k ) 0 恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；3. （本小題滿分 10 分）已知定義在區(qū)間(-1,1) 上的函數(shù)

2、f (x) =(1) 求實(shí)數(shù) a , b 的值；ax + b1+ x212為奇函數(shù),且 f ( ) =.25(2) 用定義證明:函數(shù) f (x) 在區(qū)間(-1,1) 上是增函數(shù)；(3) 解關(guān)于t 的不等式 f (t -1) + f (t) 1 時(shí),f(x) 0,且a 1) ，當(dāng)點(diǎn) p(x, y) 是函數(shù) y = f (x) 圖象上的點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)q(x - 2a, - y) 是函數(shù) y = g(x) 圖象上的點(diǎn).（1） 寫(xiě)出函數(shù) y = g(x) 的解析式；（2） 若當(dāng) x a + 2, a + 3 時(shí)，恒有| f (x) - g(x) | 1 ，試確定 a 的取值范圍；（3） 把 y = g(x

3、) 的圖象向左平移 a 個(gè)單位得到 y = h(x) 的圖象，函數(shù)f (x) = 2a1-h( x) - a2-2h( x) + a-h( x) ，（ a 0,且a 1）在1 , 4 的最大值為 5 ，求 a 的值.447. （12 分）設(shè)函數(shù) f (x) = lg 1 + 2x + 4x a (a r) .3（1） 當(dāng) a = -2 時(shí)，求 f (x) 的定義域；（2） 如果 x (-, -1) 時(shí)， f (x) 有意義，試確定 a 的取值范圍；（3）如果 0 a 1 ，求證：當(dāng) x 0 時(shí)，有 2 f (x) f (2x) .8. （本題滿分 14 分）已知冪函數(shù) f (x) = x(2-

4、k)(1+k) (k z) 滿足 f (2) 0 且 a 1)（）若函數(shù) y = f (x) 的圖象經(jīng)過(guò) p(3 , 4)點(diǎn)，求 a 的值；1（）當(dāng) a 變化時(shí)，比較 f (lg)與f (-2.1) 大小，并寫(xiě)出比較過(guò)程；100（）若 f (lg a) = 100 ，求 a 的值10. （本題 16 分）已知函數(shù) f (x) = log9( 9x + 1) + kx ( k r )是偶函數(shù)(1) 求 k 的值；1 x + b 沒(méi)有交點(diǎn)，求 b 的取值范圍；(2) 若函數(shù) y = f (x) 的圖象與直線 y = 23(3) 設(shè) h(x) = log9 (a 3x - 4 a)，若函數(shù) f (x

5、) 與 h(x) 的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍11. （本小題滿分 12 分）二次函數(shù) y = f (x) 的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn) a(-3, 7), b(5, 7), c(2, -8) .（1） 求函數(shù) y = f (x) 的解析式（2）求函數(shù) y =f (x) 在區(qū)間t, t +1上的最大值和最小值12.(本小題滿分 14 分)xa已知函數(shù) f (x) = 2a()求 a 的值;+ ,且 f (x) 為奇函數(shù)2 xa()定義:若函數(shù) g(x) = x +, (a 0), x 0 ,則函數(shù) g(x) 在(0,xa 上是減函數(shù),在,+) 是增函數(shù).設(shè) f (x) = f (x) -

6、 f (x -1) + 2 ,求函數(shù) f (x) 在 x -1,1 上的值域13.(本小題滿分 16 分)設(shè) a 0 , b 0 ,已知函數(shù) f (x) =ax + b.x + 1()當(dāng) a b 時(shí),討論函數(shù) f (x) 的單調(diào)性(直接寫(xiě)結(jié)論);b()當(dāng) x 0 時(shí),(i)證明 f (1) f ( ) = f (ab )2 ;a14.(本小題滿分 16 分)設(shè)函數(shù) f (x) = lgax - (1+ a 2 )x2 的定義域區(qū)間為 i ,其中 a 0 . ()求 i 的長(zhǎng)度 l(a)(注:區(qū)間 (a,a)的長(zhǎng)度定義為a-a);()判斷函數(shù) l(a) 的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;()給定常數(shù)

7、 k (0,1) ,當(dāng) a 1- k,1+ k 時(shí),求區(qū)間 i 長(zhǎng)度 l(a) 的最小值.211221.解：由 2(log1 x) + 7 log1 x + 3 0 ， -3 log1 x -， log2 x 3 ，222xx3而 f (x) = log2 4 log2 2 = (log2 x - 2)(log2 x -1)= (log2 x)2 - 3log 2 x + 2 = (log2 x - )- 1 ，2242313當(dāng)log2 x =時(shí) f (x)min = -此時(shí) x= 22 = 2，2491當(dāng)log2 x = 3 時(shí) f (x)max =-= 2 ，此時(shí) x = 8 442. 解

8、：（1）由題設(shè)，需 f (0) = -1+a = 0, a = 1， f (x) = 1-2x 2經(jīng)驗(yàn)證， f (x) 為奇函數(shù)， a = 1（2 分）（2） 減函數(shù)（3 分）0證明：任取 x1, x2 r, x1 p x12-,2dx2 x =1-2xx1 2-x1 fx1 x2，1+2x由（1） dy =f () - f () =-=2(2 -2 )x2x11+2x21+2x1(1+2x1 )(1+2x2 )q x1 p x2,0 p 2x1 p 2x2 , 2x1 - 2x2 p 0, (1+ 2x1 )(1+ 2x2 ) f 0dy p 0+該函數(shù)在定義域 r 上是減函數(shù) （7 分）a

9、ax + b12b23. 解：(1)由 f (x) =為奇函數(shù),且 f ( ) =2151+ x- a + b21+ ( )221則 f (- ) =2 2= -1+ (- 1 )221f ( )2= - 2 ，解得： a = 1,b = 0 。 f (x) =5x1+ x2(2)證明：在區(qū)間 (-1,1) 上任取 x1 , x2 ，令-1 x1 x2 1,)(1+ x)(1+ x 2 )(1+ x 2 )xxx (1+ x 2 ) - x (1+ x 2 )(x - x )(1- x x )x1+ x(1+ xf (x1 ) - f (x2 ) = 1+ 1 2 -2 2 = 12 222

10、1=121 2 121212q -1 x x 1 x - x 0 , (1+ x 2 ) 0 , (1+ x 2 ) 012 f (x1) - f (x2 ) 012即 f (x1 ) f (x2 )1 212故函數(shù) f (x) 在區(qū)間(-1,1) 上是增函數(shù).(3) q f (t -1) + f (t) 0 f (t) - f (t -1) =t 1- tf (1- t)q 函數(shù) f (x) 在區(qū)間(-1,1) 上是增函數(shù) 1-1 t 1-1 1- t 1 0 t 1，所以 f(k)x所以 kxx,f(kx)f(x)對(duì) xr+恒成立，所以f(x)為 r+上的單調(diào)減函數(shù)法二：設(shè) x1 , x2

11、 (0,+)且x1 1f (x1 ) - f (x2 ) = f (x1 ) - f (kx2 ) = f (x1 ) - f (k ) - f (x2 ) = - f (k )有題知，f(k) 0即f (x1 ) f (x2 )所以 f(x)在（0，+ ）上為減函數(shù)法三：設(shè) x1 , x2 (0,+)且x1 1 f ( x2 ) 0即f (x1 ) f (x2 )所以 f(x)在（0，+ ）上為減函數(shù)b5 解：f(x)=(x-b)2-b2+4的對(duì)稱軸為直線 xb（ b1），b31(i) 當(dāng) 1b4 時(shí)，g(b)f(b)-b2+; 當(dāng)b4 時(shí)，g(b)f(4)16-b ，44-b2 + b(1

12、 4)4綜上所述，f(x)的最小值 g(b) 31。16 -b(b4)b(ii) 當(dāng) 1b4 時(shí)，g(b)-b2+441-(b-8)2+13， 當(dāng)b1 時(shí)，mg(1)-；644當(dāng) b4 時(shí)，g(b)16- 31 b 是減函數(shù)，g(b)16- 31 4-15- 3 ，4443綜上所述，g(b)的最大值 m= - 。46. 解：（1）設(shè)點(diǎn)q 的坐標(biāo)為(x , y ) ，則 x = x - 2a, y = - y ，即 x = x + 2a, y = - y 。點(diǎn) p(x, y) 在函數(shù) y = loga (x - 3a) 圖象上 - y = log (x + 2a - 3a) ，即 y = log

13、1 g(x) = log1aa x - aa x - a(2)由題意 x a + 2, a + 3 ，則 x - 3a = (a + 2) - 3a = -2a + 2 0 ， 1 =1 0 .x - a(a + 2) -a又 a 0 ， 且 a 1， 0 a 1| f (x) - g(x) |=| log (x - 3a) - log 1 |=| log (x2 - 4ax + 3a2 ) |aa x - aa f (x) - g(x) 1 -1 loga(x2 - 4ax + 3a2 ) 1 0 a 2a ，則 r(x) = x2 - 4ax + 3a2 在a + 2, a + 3 上為增

14、函數(shù)，函數(shù)u(x) = log (ax2 - 4ax + 3a2 ) 在a + 2, a + 3 上為減函數(shù)，a從而u(x)max = u(a + 2) = loga (4 - 4a) 。u(x)min = u(a + 3) = loga (9 - 6a)a又則 a 1,log (9 - 6a) -1 log (4 - 4a) 10 0,且a 1， f (x) 的對(duì)稱軸為 x = 2a + 1 ，又在1 , 4 的最大值為2a24，546令 2a + 1 0 a 2 +；此時(shí) f (x) 在1 , 4 上遞減， 2a244 f (x) 的最大值為 f (1 ) = 5 - 1 a2 + 1 (

15、2a + 1) = 5 a2 - 8a + 16 = 0 a = 4 (2 +4416446, +) ，此時(shí)無(wú)解；令 2a + 1 4 8a2 - 2a - 1 0 - 1 a 0,且a 1， 0 a 1 ；此時(shí) f (x) 在2a24221 , 4 上遞增， f (x) 的最大值為 f (4) = 5 -16a2 + 8a + 4 = 5 a = 1 4 2 ，又 0 a 0,且a 12a421 a 2 + 6且a 1 ，此時(shí) f (x) 的最大值為 f ( 2a + 1) = 5 -a 2 (2a +1)2 + (2a + 1)2 = 52 (2a + 1)22a244a42a245= 5

16、 a2 - 4a - 1 = 0 ，解得： a = 1a 2 +4a2455 a = 2 +；綜上， a 的值為 2 +.2， 又 26且a 1 ，7 解：（1）當(dāng) a = -2 時(shí)，函數(shù) f (x) 有意義，則1 + 2x - 2 4x 0 1 + 2x - 2 4x 0 ，令t = 2x 不3等式化為： 2t2 - t - 1 0 - 1 t 1 ，轉(zhuǎn)化為- 1 2x 1 x 0 ，此時(shí)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?2(-, 0)（2）當(dāng) x 0 1 + 2x + 4x a 0 a - 1 + 2x = -( 1 + 1 ) ， 令 y = -( 1 + 1 ) 在34xx (-, -1)

17、 上單調(diào)遞增， y -6 ，則有 a -6 ；（3）當(dāng) 0 a 1, x 0 時(shí)，4x2x4x2x2 f (x) - f (2x) = 2 log 1 + 2x + 4x a - lg 1 + 22x + 42x a = lg (1 + 2x + 4x a)2 ，333(1+ 22x + 42x a)設(shè) 2x = t ， x 0 ， t 1 且 0 a 1 ，則(1 + 2x + 4x aa)2 - 3(1 + 22x + 42x aa) = t4 (a2 - 3a) + 2at3 + t2 (2a - 2) + 2(t - 1) t4 (a2 - 3a2 ) + 2at3 + t2 (2a

18、- 2) + 2(t - 1) = -(at - 1)2 t2 - (at2 - 1)2 - (t - 1)2 0 2 f (x) f (2x)8 解 : （）q f (2) 0 -1 k 0 ，2m -11q g (x)開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸 x = 1- 0m 16 2m 1 25 2 6 m = 5 +2g 1- = 5m = 2m 29. （）函數(shù) y = f (x) 的圖象經(jīng)過(guò) p(3, 4) a3-1 = 4 ，即 a2 = 4 . 又 a 0 ，所以 a = 2 .（）當(dāng) a 1 時(shí)， f (lg 1100) f (-2.1) ;當(dāng)0 a 1時(shí)， f (lg 1100) 1 時(shí)，

19、y = ax 在(-, +) 上為增函數(shù)， -3 -3.1 ， a-3 a-3.1 .即 f (lg 1100) f (-2.1) .當(dāng)0 a -3.1 ， a-3 a-3.1 .即 f (lg 1100（） 由 f (lg a) = 100 知 ， alga-1 = 100 .) f (-2.1) .所以， lg alga-1 = 2 （或lg a -1 = loa g 100 ）. (lg a -1) lg a = 2 . lg2 a - lg a - 2 = 0 ，或 lg a = 2 ，所以， a = 1 lg a = -110(1)因?yàn)?y = f (x) 為偶函數(shù)， 所以x r,

20、f (-x) = f (-x) ，或 a = 100 .10即 log 9(9-x + 1) - kx = log 9(9x + 1) + kx 對(duì)于x r 恒成立.于是 2kx = log(9-x + 1) - log (9x + 1) = log 9x + 1 - log (9x + 1) = -x 恒成立,9999x9而 x 不恒為零，所以 k = - 1 .42(2) 由題意知方程 log ( 9x + 1) - 1 x = 1 x + b 即方程log ( 9x + 1) - x = b 無(wú)解.9229令 g(x) = log9(9x + 1) - x ，則函數(shù) y = g(x) 的

21、圖象與直線 y = b 無(wú)交點(diǎn).9x + 11 因?yàn)?g(x) = log9 9x= log9 1 + 9x 任取 x 、 x r，且 x x，則 0 9x1 1 .12129x19x2于是log 1 + 1 log 1 + 1 ，即 g(x ) g(x ) ，99 x 9 9x 121 2 所以 g(x) 在(-, + )上是單調(diào)減函數(shù).因?yàn)? + 1 1 ，所以 g(x) = log 1 + 1 0 .9x99x所以 b 的取值范圍是(-, 0.6(3) 由題意知方程3x + 13x= a 3x - 4 a 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根3令3x = t 0 ，則關(guān)于 t 的方程(a - 1)t2 -

22、 4 at - 1 = 0 (記為(*)有且只有一個(gè)正根.3若 a=1，則t = - 3 ，不合, 舍去；4若 a 1，則方程(*)的兩根異號(hào)或有兩相等正跟.由d = 0 a = 3 或3；但 a = 3 t = - 1 ，不合，舍去；而 a = -3 t = 1 ；4422方程(*)的兩根異號(hào) (a - 1) (-1) 1.綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是-3 u (1, + ) 611. (1) 解 a, b 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同故可令 f (x) - 7 = a(x + 3)(x - 5) 即f (x) = a(x + 3)(x - 5) + 7 將c(2, -8) 代入上式可得 a = 1f

23、 (x) = (x + 3)(x - 5) + 7 = x2 - 2x - 84 分(2) 由 f (x) = x2 - 2x - 8 可知對(duì)稱軸 x = 11） 當(dāng)t +1 1即t 0 時(shí) y = f (x) 在區(qū)間t, t +1上為減函數(shù) f (x)max =f (t) = t 2 - 2t - 8f (x)min = f (t +1) = (t +1)2 - 2(t +1) - 8 = t 2 - 962） 當(dāng)t 1時(shí)， y =f (x) 在區(qū)間t, t +1上為增函數(shù)f (x)max = f (t +1) = (t +1)2 - 2(t +1) - 8 = t 2 - 9f (x)mi

24、n = f (t) = t 2 - 2t - 88 分123）當(dāng)1- t t +1-1 0 即 0 t 時(shí)2f (x)min = f (1) = -91f (x)max = f (t) = t - 2t - 810 分4）當(dāng) 0 1- t t +1-1 即2 t 0), x 0 ,則函數(shù) g(x) 在(0,xa 上是減函數(shù),在,+) 是增函數(shù).設(shè) f (x) = f (x) - f (x -1) + 2 ,求函數(shù) f (x) 在 x -1,1 上的值域 解：（）函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?r， f (x) 為奇函數(shù)，f（0）=0，1+a=0，a=-13 分f (x) - f (x -1) + 2

25、 = 2x - 1 - x-11 + 2 = 2 + 1 + 2 .x3 分()xf (x) =2+2x2x-1122x設(shè) 2 = t ，則當(dāng) x -1,1 時(shí)， t , 2，3 分2 y = 1 t + 1 + 22t111當(dāng)t , 2 時(shí)，函數(shù) y =2 t + + 2 單調(diào)遞減；當(dāng)t 2, 2 時(shí)，1 2 1t函 數(shù) y =當(dāng)t =t + + 2 單調(diào)遞增；2 分2t22時(shí)，y 的最小值為 2 +當(dāng)t =117=時(shí)， y，當(dāng)t = 2 時(shí)， y =717，y 的最大值為2 分242417 函數(shù) f (x) 在 x -1,1 上的值域是2 +2,。1 分4 13.(本小題滿分 16 分)設(shè)

26、 a 0 , b 0 ,已知函數(shù) f (x) =ax + b.x + 1()當(dāng) a b 時(shí),討論函數(shù) f (x) 的單調(diào)性(直接寫(xiě)結(jié)論);b()當(dāng) x 0 時(shí),(i)證明 f (1) f ( ) = f (a2ab b )2 ;a(ii)若 a + b f (x) b - aab ,求 x 的取值范圍.解：（）由 f (x) = a +，得x +1當(dāng) a b 時(shí)， f (x) 分別在(- ,-1),(-1,+)上是增函數(shù)；2 分a b + bab +1a當(dāng) a 02 分babb當(dāng) a b 時(shí)， 1 ，baaab由（）可知， f (x) 在(0,+)上是增函數(shù)， x 的取值范圍為 x ababb

27、當(dāng) a 1，2 分aaba x b由（）可知， f (x) 在(0,+)上是減函數(shù)， x 的取值范圍為2 分baab綜上，當(dāng) a = b 時(shí)， x 的取值范圍為 x 0 ；當(dāng) a b 時(shí)， x 的取值范圍為abab x ；當(dāng) a 0 . ()求 i 的長(zhǎng)度 l(a)(注:區(qū)間 (a,a)的長(zhǎng)度定義為a-a);()判斷函數(shù) l(a) 的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;()給定常數(shù) k (0,1) ,當(dāng) a 1- k,1+ k 時(shí),求區(qū)間 i 長(zhǎng)度 l(a) 的最小值.解：（）由 ax - (1+ a 2)x2 0 ，得 0 x a1+ a 2，2 分i = (0,a1+ a 2) l(a) =a1+ a 2。1 分（） l(a) 在(0,1上是增函數(shù)，在1,+)上是減函數(shù)，1 分a1a2(a1 - a2 )(1- a1a2)設(shè) 0 a1 a2 1 ，則 l(a1 ) - l(a2 ) =1+ a 2 1-1+ a 2(1+ a 2 )(1+ a 2 )2 分=212 0 a1 a2 1 ， a1 - a2 0 ， l(a1 ) l(a2 )2 分 l(a) 在(0,1上是增函數(shù)1 分同理可證， l(a) 在1,+)上是減函數(shù)1 分（） k (0,1) ， 0 1