數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：幾何初步及三角形--知識(shí)講解（提高）

選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 中考總復(fù)習(xí)：幾何初步及三角形中考總復(fù)習(xí)：幾何初步及三角形知識(shí)講解（提高）知識(shí)講解（提高） 【考綱要求】【考綱要求】 1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)解決與線段有 關(guān)的實(shí)際問(wèn)題； 2.了解角的概念和表示方法，會(huì)把角進(jìn)行分類以及進(jìn)行角的度量和計(jì)算； 3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點(diǎn)、性質(zhì)和判定； 4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會(huì)簡(jiǎn)單的證明有關(guān)命題； 5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線） ，會(huì)畫(huà)出任意三角形的角平分線、中線 和高，了解三角形的穩(wěn)定性. 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】【考點(diǎn)梳理】 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 考點(diǎn)一、直線、射線和線段考點(diǎn)一、直線、射線和線段 1 1直線直線 代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對(duì)折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無(wú)限延伸.(直線的概念是 一個(gè)描述性的定義，便于理解直線的意義). 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 1 1） 直線的兩種表示方法：直線的兩種表示方法： (1)用表示直線上的任意兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示這條直線，如直線 AB，其中 A、B 是表示直線上兩 點(diǎn)的字母； (2)用一個(gè)小寫(xiě)字母表示直線，如直線 a. 2)2)直線和點(diǎn)的兩種位置關(guān)系直線和點(diǎn)的兩種位置關(guān)系 (1)點(diǎn)在直線上(或說(shuō)直線經(jīng)過(guò)某點(diǎn))； (2)點(diǎn)在直線外(或說(shuō)直線不經(jīng)過(guò)某點(diǎn)). 3).3).直線的性質(zhì)：直線的性質(zhì)： 過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(即兩點(diǎn)確定一條直線). 2 2射線射線 直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無(wú)限延伸. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： (1)用表示射線的端點(diǎn)和射線上任意一點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示這條射線，如射線 OA，其中 O 是端點(diǎn)， A 是射線上一點(diǎn)； (2)用一個(gè)小寫(xiě)字母表示射線，如射線 a. 3.3.線段線段 直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn). 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 1)1)線段的表示方法：線段的表示方法： (1)用表示兩個(gè)端點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如線段 AB，A、B 是表示端點(diǎn)的字母； (2)用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如線段 a. 2)2)線段的性質(zhì)：線段的性質(zhì)： 所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短(即兩點(diǎn)之間，線段最短). 3)3)線段的中點(diǎn)：線段的中點(diǎn)： 線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn). 4)4)兩點(diǎn)的距離：兩點(diǎn)的距離： 連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)的距離. 考點(diǎn)二、角考點(diǎn)二、角 1 1角的概念：角的概念： (1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線分 別叫做角的邊. (2)定義二：一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò) 的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 1 1） 角的表示方法：角的表示方法： (1)用三個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，注意將頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，如AOB； (2)用一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，注意頂點(diǎn)處只有一個(gè)角用此法，如A； (3)用一個(gè)數(shù)字或希臘字母來(lái)表示，如1，. 2 2） 角的分類：角的分類： (1)按大小分類： 銳角-小于直角的角(090)； 直角-平角的一半或 90的角(=90)； 鈍角-大于直角而小于平角的角(90180) (2)平角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角， 平角等于 180. 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 (3)周角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置又回到起始位置時(shí)，所成的角叫做周角，周角等于 360. (4)互為余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角(90)，那么這兩個(gè)角叫做互為余角. (5)互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角(180)，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角. 3 3） 角的度量：角的度量： (1)度量單位：度、分、秒； (2)角度單位間的換算：1=60，1=60(即：1 度=60 分，1 分=60 秒)； (3)1 平角=180，1 周角=360，1 直角=90. 4 4） 角的性質(zhì)：角的性質(zhì)： 同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等. 2 2角的平分線：角的平分線： 如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫做這個(gè)角的平分線. 考點(diǎn)三、相交線考點(diǎn)三、相交線 1 1對(duì)頂角對(duì)頂角 (1)定義：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)， 而且一個(gè)角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線，那么 這兩個(gè)角叫對(duì)頂角. (2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等. 2 2鄰補(bǔ)角鄰補(bǔ)角 (1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角. (2)性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ). 3 3垂線垂線 （1 1）定義：）定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線是互相垂直 的，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂直用符號(hào)“”來(lái)表示. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直. 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短. (2)(2)點(diǎn)到直線的距離定義：點(diǎn)到直線的距離定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離. 4 4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 (1)(1)基本概念：基本概念：兩條直線(如 a、b)被第三條直線(如 c)所截，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱三線八角，如圖所 示： 1 和8、2 和7、3 和6、4 和5 是同位角；1 和6、2 和5 是內(nèi)錯(cuò)角；1 和5、2 和6 是同旁內(nèi)角. (2)(2)特點(diǎn)：特點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個(gè)角.兩個(gè)角的一條邊在同一 直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上. 考點(diǎn)四、平行線考點(diǎn)四、平行線 1 1平行線定義：平行線定義： 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號(hào)“”來(lái)表示，.如直線 a 與 b 平行， 記作 ab.在幾何證明中， “”的左、右兩邊也可能是射線或線段. 2 2平行公理及推論：平行公理及推論： (1)經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行. (2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即： 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 如果 ba，ca，那么 bc. 3 3性質(zhì)：性質(zhì)： (1)平行線永遠(yuǎn)不相交； (2)兩直線平行，同位角相等； (3)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； (4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； (5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號(hào)表示為： 若 bc，ba，則 ca. 4 4判定方法：判定方法： (1)定義； (2)平行公理的的推論； (3)同位角相等，兩直線平行； (4)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； (5)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行； (6)垂直于同一條直線的兩條直線平行. 考點(diǎn)五、命題、定理、證明考點(diǎn)五、命題、定理、證明 1 1命題：命題： (1)定義：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題. (2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題； (3)命題的表達(dá)形式：如果那么；若則； (4)命題的分類：真命題和假命題； (5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè). 2 2公理、定理：公理、定理： (1)公理：人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理. (2)定理：經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的真命題叫做定理. 3 3證明：證明： 用推理的方法證實(shí)命題正確性的過(guò)程叫做證明. 考點(diǎn)六、三角形的概念及其性質(zhì)考點(diǎn)六、三角形的概念及其性質(zhì) 1 1三角形的概念三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 2 2三角形的分類三角形的分類 (1)(1)按邊分類：按邊分類： (2)(2)按角分類：按角分類： 3 3三角形的內(nèi)角和外角三角形的內(nèi)角和外角 (1)三角形的內(nèi)角和等于 180. (2)三角形的任意一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它 不相鄰的內(nèi)角. 4 4三角形三邊之間的關(guān)系三角形三邊之間的關(guān)系 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊. 5 5三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系 在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊. 6 6三角形具有穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性. . 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 考點(diǎn)七、三角形的“四心”和中位線考點(diǎn)七、三角形的“四心”和中位線 三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線. 1 1內(nèi)心：內(nèi)心： 三角形角平分線的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等. 2 2外心：外心： 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 3 3重心：重心： 三角形三條中線的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的 2 倍. 4 4垂心：垂心： 三角形三條高線的交點(diǎn). 5 5三角形的中位線：三角形的中位線： 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線. 中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： (1)三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部. (2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部. (3)直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn). (4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內(nèi)部. 【典型例題】【典型例題】 類型一、幾何初步類型一、幾何初步 1判斷下列語(yǔ)句是不是命題 延長(zhǎng)線段 AB( ) 兩條直線相交，只有一交點(diǎn)( ) 畫(huà)線段 AB 的中點(diǎn)( ) 若|x|=2，則 x=2( ) 角平分線是一條射線( ) 【思路點(diǎn)撥】判斷語(yǔ)句是否是命題有兩個(gè)關(guān)鍵，首先觀察是不是一個(gè)完整的句子，再觀察是否作出判 斷. 【答案與解析】?jī)蓚€(gè)語(yǔ)句都沒(méi)有作出判斷，所以不是 是 不是 是 是. 【總結(jié)升華】本題考查學(xué)生對(duì)命題概念的理解. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】命題：對(duì)頂角相等；垂直于同一條直線的兩直線平行；相等的角是對(duì)頂角；同位角 相等.其中假命題有( ) A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè) 【答案】B. 類型二、三角形類型二、三角形 2 （2015 春盱眙縣期中）四邊形 ABCD 是任意四邊形，AC 與 BD 交點(diǎn) O 求證：AC+BD （AB+BC+CD+DA） 證明：在OAB 中有 OA+OBAB 在OAD 中有 ， 在ODC 中有 ， 在 中有 ， OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 即： ， 即：AC+BD （AB+BC+CD+DA） 【思路點(diǎn)撥】直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可 【答案與解析】證明：在OAB 中 OA+OBAB 在OAD 中有 OA+ODAD， 在ODC 中有 OD+OCCD， 在OBC 中有 OB+OCBC， OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA 即 2（AC+BD）AB+BC+CD+DA， 即 AC+BD （AB+BC+CD+DA） 故答案為：OA+ODAD；ODOCCD；OBC；OB+OCBC；2（AC+BD）AB+BC+CD+DA 【總結(jié)升華】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小 于第三邊 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】 【高清課堂：幾何初步及三角形【高清課堂：幾何初步及三角形 專題二專題二 8 8】 【答案】50. 3如圖，將第一個(gè)圖（圖）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（圖） ； 再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（圖） ；再將第三個(gè)圖中 最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，則得到的第五個(gè)圖中，共有_個(gè)正三角 形 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【思路點(diǎn)撥】分別寫(xiě)出前三個(gè)圖形的正三角形的個(gè)數(shù)，并觀察出后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多分割出四 個(gè)小的正三角形，依此類推即可寫(xiě)出第 n 個(gè)圖形的正三角形的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出第 5 個(gè)圖中正三角形的 個(gè)數(shù) 【答案與解析】圖有個(gè)正三角形；圖有（）個(gè)正三角形； 圖有（）個(gè)正三角形；圖有（）個(gè)正三角形； 圖有（）個(gè)正三角形； 所以共有 17 個(gè). 【總結(jié)升華】這是一道找規(guī)律的題目，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什 么規(guī)律變化的. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】一個(gè)三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個(gè)三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 【答案】B. 4 （2015陜西校級(jí)期末）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形( )的交點(diǎn) A.三個(gè)內(nèi)角平分線 B. 三邊垂直平分線 C.三條中線 D.三條高 【思路點(diǎn)撥】可分別根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行思考，首先滿足到 A 點(diǎn)、B 點(diǎn)的距離相等，然后思 考滿足到 C 點(diǎn)、B 點(diǎn)的距離相等，都分別在各自線段的垂直平分線上，于是答案可得 【答案】B. 【解析】三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等. 【總結(jié)升華】考點(diǎn)：線段垂直平分線的定理. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】 【高清課堂：幾何初步及三角形【高清課堂：幾何初步及三角形 專題二專題二 9 9】 【答案】A. 類型三、綜合運(yùn)用類型三、綜合運(yùn)用 5如圖：已知，ABC 中，A=50 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 (1)如圖(1)，點(diǎn) O 是ABC 和ACB 的平分線交點(diǎn)，則BOC=_； (2)如圖(2)，點(diǎn) P 是ABC 和外角ACE 的平分線交點(diǎn)，則BPC=_； (3)如圖(3)，點(diǎn) M 是外角BCE 和CBF 的平分線交點(diǎn)，則BMC=_. 【思路點(diǎn)撥】本題涉及知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì) 【答案與解析】圖(1)中，BOC=180-(OBC+OCB) 圖(2)中，BPC=PCE-PBC 圖(3)中，BMC=180-(MBC+MCB) . 【總結(jié)升華】本題考查角平分線，三角形內(nèi)角和，外角和內(nèi)角關(guān)系等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，常采用建立方程或 直接推理的方法. 6探索 在如圖-1 至圖-3 中，ABC 的面積為 a. 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 (1)如圖-1，延長(zhǎng)ABC 的邊 BC 到點(diǎn) D，使 CD=BC，連結(jié) DA，若ACD 的面積為 S1，則 S1=_(用 含 a 的代數(shù)式表示)； (2)如圖-2，延長(zhǎng)ABC 的邊 BC 到點(diǎn) D，延長(zhǎng)邊 CA 到點(diǎn) E，使 CD=BC，AE=CA，連結(jié) DE，若DEC 的面積為 S2，則 S2=_(用含 a 的代數(shù)式表示)，并寫(xiě)出理由； (3)在圖-2 的基礎(chǔ)上延長(zhǎng) AB 到點(diǎn) F，使 BF=AB，連結(jié)