數(shù)學中考總復習：圓的有關概念、性質與圓有關的位置關系--知識講解（提高）

選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 中考總復習：圓的有關概念、性質與圓有關的位置關系中考總復習：圓的有關概念、性質與圓有關的位置關系 知識講解（提高）知識講解（提高） 【考綱要求】【考綱要求】 1. 圓的基本性質和位置關系是中考考查的重點，但圓中復雜證明及兩圓位置關系中證明會有下降 趨勢，不會有太復雜的大題出現(xiàn)； 2.中考試題中將更側重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關系，對應用、創(chuàng)新、開放探 究型題目，會根據(jù)當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又應 用于生活 【知識網絡】【知識網絡】 【考點梳理】【考點梳理】 考點一、圓的有關概念及性質考點一、圓的有關概念及性質 1 1圓的有關概念圓的有關概念 圓、圓心、半徑、等圓； 弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等??； 三角形的外接圓、三角形的內切圓、三角形的外心、三角形的內心、圓心角、圓周角 要點詮釋：要點詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧 2 2圓的對稱性圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸； 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形； 圓具有旋轉不變性 3 3圓的確定圓的確定 不在同一直線上的三個點確定一個圓 要點詮釋：要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小 4 4垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 推論 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 要點詮釋：要點詮釋：在圖中(1)直徑 CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述 5 個 CCAB ADBD 條件有 2 個成立，則另外 3 個也成立因此，垂徑定理也稱“五二三定理” 即知二推三 注意：(1)(3)作條件時，應限制 AB 不能為直徑 5 5圓心角、弧、弦之間的關系圓心角、弧、弦之間的關系 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的 其余各組量也相等 6 6圓周角圓周角 圓周角定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一 半 推論 1 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 推論 2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑 要點詮釋：要點詮釋：圓周角性質的前提是在同圓或等圓中 7.7.圓內接四邊形圓內接四邊形 （1）定義: 圓內接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內接四邊形 （2）性質：圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角（即它的一個外角等于它相鄰內角的對角） 考點二、與圓有關的位置關系考點二、與圓有關的位置關系 1 1點和圓的位置關系點和圓的位置關系 設O 的半徑為 r，點 P 到圓心的距離 OPd，則有： 點 P 在圓外dr； 點 P 在圓上dr； 點 P 在圓內dr 要點詮釋：要點詮釋：圓的確定： 過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示 過兩點 A、B 的圓有無數(shù)個，如圖所示 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 經過在同一直線上的三點不能作圓 不在同一直線上的三點確定一個圓如圖所示 2 2直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系 （1）切線的判定 切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 (會過圓上一點畫圓的切線) （2）切線的性質 切線的性質定理 圓的切線垂直于過切點的半徑 （3）切線長和切線長定理 切線長 經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長 切線長定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩 條切線的夾角 要點詮釋：要點詮釋：直線l是O 的切線，必須符合兩個條件：直線l經過O 上的一點 A；OAl （4）三角形的內切圓： 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓. （5）三角形的內心： 三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心. 三角形的內心到三邊的距 離都相等. 要點詮釋：要點詮釋： (1) 任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形； (2) 解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 的一半，即(S 為三角形的面積，P 為三角形的周長，r 為內切圓的半徑). (3) 三角形的外心與內心的區(qū)別： 名稱確定方法圖形性質 外心(三角形外 接圓的圓心) 三角形三邊中垂線的 交點 (1) 到三角形三個頂點的距 離相等，即 OA=OB=OC；(2) 外心不一定在三角形內部 內心(三角形內 切圓的圓心) 三角形三條角平分線 的交點 (1)到三角形三邊距離相等； (2)OA、OB、OC 分別平分 BAC、ABC、ACB； (3)內 心在三角形內部. 3 3圓和圓的位置關系圓和圓的位置關系 (1)基本概念 兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內切、內含的定義 (2)請看下表： 要點詮釋：要點詮釋： 相切包括內切和外切，相離包括外離和內含其中相切和相交是重點 同心圓是內含的特殊情況 圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解 “R-r”時，要特別注意，Rr 考點三、與圓有關的規(guī)律探究考點三、與圓有關的規(guī)律探究 1 1和圓有關的最長線段和最短線段和圓有關的最長線段和最短線段 了解和圓有關的最長線段與最短線段，對有關圓的性質的了解極為重要，下面對有關問題進行簡 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 單論述 (1)圓中最長的弦是直徑 如圖，AB 是O 的直徑，CD 為非直徑的弦，則 ABCD，即直徑 AB 是最長的弦 過圓內一點最短的弦，是與過該點的直徑垂直的弦，如圖，P 是O 內任意一點，過點 P 作O 的直徑 AB，過 P 作弦 CDAB 于 P，則 CD 是過點 P 的最短的弦 (2)圓外一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段都在過圓心的直線上 如圖所示，P 在O 外，連接 PO 交O 于 A，延長 PO 交O 于 B，則在點 P 與O 上各點連接的線 段中，PB 最長，PA 最短 (3)圓內一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段也都在過圓心的直線上 如圖所示，P 為O 內一點，直徑過點 P，交O 于 A、B 兩點，則 PB 最長、PA 最短 2 2與三角形內心有關的角與三角形內心有關的角 (1)如圖所示，I 是ABC 的內心，則BIC 1 90 2 A (2)如圖所示，E 是ABC 的兩外角平分線的交點， 1 90 2 BECA 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 (3)如圖所示，E 是ABC 內角與外角的平分線的交點， 1 2 EA (4)如圖所示，O 是ABC 的內切圓，D、E、F 分別為切點，則DOE180A (5)如圖所示，O 是ABC 的內切圓，D、E、F 為切點， 1 90 2 DFEA (6)如圖所示，O 是ABC 的內切圓，D、E、F 為切點，P 為上一點，則 DE 1 90 2 DPEA 【典型例題】【典型例題】 類型一、圓的性質及垂徑定理的應用類型一、圓的性質及垂徑定理的應用 1已知：如圖所示，O 中，半徑 OA4，弦 BC 經過半徑 OA 的中點 P，OPC60，求弦 BC 的長 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 【思路點撥】 要用好 60角，構造直角三角形在圓中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦長及半徑構 成直角三角形 【答案與解析】 解：過 O 作 OMBC 于 M，連接 OC 在 RtOPM 中，OPC60， OP， 1 2 2 OA PM1，OM3 在 RtOMC 中， BC2MC 22 22 13OCOM 【總結升華】 圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的 一半，可充分利用它們的關系解決有關垂徑定理的計算問題 2如圖所示，在O 中，弦 AB 與 CD 相交于點 M，連接 AC ADBC (1)求證：MAC 是等腰三角形； (2)若 AC 為O 直徑，求證：AC22AMAB 【思路點撥】 (1)證明MCAMAC；(2)證明AOMABC 【答案與解析】 證明：(1) ，MCAMAC ADCB 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 MAC 是等腰三角形 (2)連接 OMAC 為O 直徑，ABC90 MAC 是等腰三角形，OAOC， MOACAOMABC90 MAOCAB，AOMABC， ，AOACAMAB， AOAB AMAC AC22AMAB 【總結升華】 本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三 角形的判定與性質及三角形內角和定理，涉及面較廣，難度適中 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】如圖所示，在O 中，AB2CD，則( ) A B 2ABCD 2ABCD C D與的大小關系無法確定 2ABCD AB 2CD 【答案】 解：要比較與的大小有兩種思路 AB 2CD (1)把的一半作出來，比較與的大?。?AB 1 2 AB CD (2)把作出來，比較與的大小 2CD AB 2CD 如圖所示，作 OEAB，垂足為 E，交于 F則，且 AB AFBF 1 2 AEAB AB2CDAECD 在 RtAFE 中，AFAECD AFCD ，即 22AFCD 2ABCD 答案 A. 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 【高清課堂：圓的有關概念、性質及與圓有關的位置關系 ID:412074 經典例題 2】 3已知：如圖所示，ABC 內接于O，BD半徑 AO 于 D (1)求證：CABD； (2)若 BD4.8，sinC，求O 的半徑 4 5 【思路點撥】 過 O 作 OEAB 于 E，連接 BO，再由垂徑定理及三角函數(shù)進行證明與求解. 【答案與解析】 解法一：(1)過 O 作 OEAB 于 E， 連接 BO(如圖所示)，則 1 2 CBOAAOE 又 BDAO，ABD+BAD90 AOE+BAD90，ABDAOEC （2）在 RtABD 中， sin AD ABD AB 4 sin 5 AD C AB 設 AD4k，則 AB5k，BD3k4.8，k1.6 AB8，AE4 ，OA5sin AE AOE OA 44 5OA 解法二：（1）延長 AO 交O 于 C （如圖所示） 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 CC AC為O 的直徑， ABC90 C+BAD90 BAD+ABD90， ABDCC （2）在 RtBDC中，sinsin BD CC BC 4.8 6 0.8 BC 在 RtABC中， 4 sin 5 AB C AC 設 AB4k，則 AC5k，BC3k6 k2 11 105 22 OAAC 【總結升華】 解決圓周角的問題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉化為同弧所對圓心角的一半的角；二是 將圓周角的頂點移動到使其一邊經過圓心 類型二、圓的切線判定與性質的應用類型二、圓的切線判定與性質的應用 4 （2014 秋興化市月考）如圖，AB 是O 的直徑，點 C 是O 上一點，AD 與過點 C 的切線垂 直，垂足為點 D，直線 DC 與 AB 的延長線相交于點 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于點 F，連接 BE （1）求證：AC 平分DAB； （2）求證：PCF 是等腰三角形； （3）若 AC=8，BC=6，求線段 BE 的長 【思路點撥】 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 （1）根據(jù)切線的性質可得結論； （2）連接 OE，根據(jù)圓周角定理得ACB=90，進而可推導得出PCF 是等腰三角形； （3）先在 RtACB 中，根據(jù)勾股定理計算出 AB=10，最終算得 BE 的值 【答案與解析】 （1）證明：PD 為O 的切線， OCDP， ADDP， OCAD， DAC=OCA， OA=OC， OAC=OCA， OAC=DAC， AC 平分DAB； （2）證明：AB 為O 的直徑， ACB=90， CE 平分ACB， BCE=45， BOE=2BCE=90， OFE+OEF=90， 而OFE=CFP， CFP+OEF=90， OCPD， OCP=90，即OCF+PCF=90， 而OCF=OEF， PCF=CFP， PCF 是等腰三角形； （3）解：在 RtACB 中， AC=8，BC=6， AB=10， OB=5， BOE=90， BOE 為等腰直角三角形， BE=OB=5 【總結升華】本題考查了切線的性質，圓周角定理和等腰三角形的判定運用切線的性質來進行計算 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】 （2015畢節(jié)市）如圖，以ABC 的 BC 邊上一點 O 為圓心的圓，經過 A，B 兩點，且與 BC 邊 交于點 E，D 為 BE 的下半圓弧的中點，連接 AD 交 BC 于 F，AC=FC （1）求證：AC 是O 的切線； （2）已知圓的半徑 R=5，EF=3，求 DF 的長 【答案】 （1）證明：連結 OA、OD，如圖， D 為 BE 的下半圓弧的中點， ODBE， D+DFO=90， AC=FC， CAF=CFA， CFA=DFO， CAF=DFO， 而 OA=OD， OAD=ODF， OAD+CAF=90，即OAC=90， OAAC， AC 是O 的切線； （2）解：圓的半徑 R=5，EF=3， OF=2， 在 RtODF 中，OD=5，OF=2， DF= 類型三、切線的性質與等腰三角形、勾股定理綜合運用類型三、切線的性質與等腰三角形、勾股定理綜合運用 5如圖所示，O 是 RtABC 的外接圓，AB 為直徑，ABC30，CD 是O 的切線，EDAB 于 F 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 (1)判斷DCE 的形狀； (2)設O 的半徑為 1，且，求證DCEOCB 31 2 OF 【思路點撥】 （1）由于 AB 是直徑，那么ACB=90，而ABC=30，易求BAC=60，結合 OA=OC，易證 AOC 是正三角形，于是OCD=60，結合 CD 是切線，易求DCE=30，在 RtAEF 中，易求 E=30，于是DCE=E，可證CDE 為等腰三角形； （2）在 RtABC 中，由于A=60，AB=2，易求 AC=AO=1，利用勾股定理可求 BC=，CE=AE-3 AC=，那么 BC=CE，而OBC=OCB=DCE=DEC=30，從而可證OBCDCE3 【答案與解析】 解：(1)ABC30，BAC60 又OAOC，AOC 是正三角形 CD 是切線，OCD90 DCE180-609030 DCEDEC 而 EDAB 于 F， CED90BAC30 故CDE 為等腰三角形 (2)證明：在ABC 中， AB2，ACAO1，BC3 ， 31 2 OF 31 2 AFAOOF 又AEF30，AE2AF31 CEAEACBC3 而OCBACBACO30ABC， 故CDECOB 【總結升華】 本題考查了切線的性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形 的判定和性質解題的關鍵是證明AOC 是正三角形 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】如圖所示，PQ3，以 PQ 為直徑的圓與一個以 5 為半徑的圓相切于點 P，正方形 ABCD 的頂點 A、B 在大圓上，小圓在正方形的外部且與 CD 切于點 Q，則 AB_ 選師無憂/達分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費咨詢熱線：400-612-5351 【答案】 解：連接 PQ 并延長交 AB 于 E，設大圓的圓心為 O，連接 OA設 AB2x，則 AEx，OB2x-2 在 RtOAE 中，OA5， OA2OE2+AE2，即 52(2x-2)2+x2， x3AB6 答案：6 6如圖所示，O 的直徑 AB4，點 P 是 AB 延長線上的一點，PC 切O 于點 C，連接 ACPM 平 分APC 交 AC 于 M (1)若CPA30，求 CP 的長及CMP 的度數(shù)； (2)若點 P 在 AB 的延長線上運動，你認為CMP 的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變 化，請求出CMP 的度數(shù)； (3)若點 P 在直徑 BA 的延長線上，PC 切O 于點 C，那么CMP 的大小是否變化？