淺談數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

淺談數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練,數(shù)學(xué)是思維的體操.利用數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，這是其它學(xué)科無法比擬的。培養(yǎng)抽象思維有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念；培養(yǎng)數(shù)學(xué)想象力是形成數(shù)學(xué)創(chuàng)造的主力；而培養(yǎng)邏輯思維則有利于數(shù)學(xué)證明的形成。因此，進(jìn)行思維訓(xùn)練有助于提高學(xué)生成績。,數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的意義,利用數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。,數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的意義,數(shù)學(xué)思維,數(shù)學(xué)思維就是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維。,一、數(shù)學(xué)思維的基本方式,1、(思維的指向)發(fā)散思維與收斂思維2、(思維的形式)邏輯思維與形象思維3、(智力的品質(zhì))再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維,1、發(fā)散思維與收斂思維（指向性）,發(fā)散思維又稱為輻射思維、擴(kuò)散思維、求異思維，是在思維過程中，以某一問題為中心，沿著不同方向、不同角度，向外擴(kuò)散的一種思維方法。在思維方向上具有逆向性和多向性的特點(diǎn)，多用于探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的教學(xué)環(huán)節(jié)，在解答問題中常有三種主要的表現(xiàn)形式，“一題多變”、“一題多解”、“一法多用”。實(shí)質(zhì)：從一到多。猶如光源向四面八方輻射光線一樣，灑水壺式的思維方式。,【例】楊瀾當(dāng)年考正大綜藝主持人的時(shí)候考官問她“你敢不敢穿三點(diǎn)式”她的回答是“這不是個(gè)敢不敢的問題，而是一個(gè)得不得體的問題。如果在美國西海岸的浴場上穿三點(diǎn)式，是很正常的事；如果在一個(gè)民風(fēng)淳樸的山村大街上穿三點(diǎn)式，是對(duì)那里人感情的一種褻瀆；如果在浴池里，穿三點(diǎn)式純屬多余。,一位老太太有兩個(gè)女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。,后來有一位聰明的人勸她：老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。這么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。,逆向思維-一則小故事:,收斂思維,又稱集中思維，它是指由所提供的條件或事實(shí)聚合起來，朝著同一個(gè)方向思考，得出確定的答案。,收斂思維實(shí)際上是由多到一,發(fā)散思維是一種從點(diǎn)到面的思維形態(tài),而收斂思維是一種從面到點(diǎn)的內(nèi)聚式思維形態(tài)。收斂思維能力強(qiáng)的人一般具有較強(qiáng)的洞察力,看問題比較深刻,善于推理分析,且嚴(yán)謹(jǐn)周密。,收斂思維,【例】高爾基童年在食品店干雜活，曾碰到過一位刁鉆的顧客，“訂九塊蛋糕，但要裝在四個(gè)盒子里，而且每個(gè)盒子里至少要裝三塊蛋糕”。高爾基的辦法是先將九個(gè)蛋糕分裝在三個(gè)盒子里，每盒三塊，然后再把這三個(gè)盒子一起裝在一個(gè)大盒子里，用包裝袋扎好。,在某一山區(qū)，牧羊人發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的山洞，帶一獵狗走進(jìn)去，走不多遠(yuǎn)狗就癱倒在地，四肢抽搐后死掉，他自己卻安然無恙。人們把這個(gè)洞稱之“怪洞”。怪洞之謎引起了科學(xué)家的興趣，他們用各種動(dòng)物做試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)狗、貓、老鼠等頭部離地面較近的動(dòng)物在山洞會(huì)死，人在山洞不會(huì)死，馬、牛等頭部離地面較遠(yuǎn)的牲畜不會(huì)死?？茖W(xué)家得到一條結(jié)論：頭部離地面近是動(dòng)物死亡的原因，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這個(gè)巖洞地下冒出很多二氧化碳?xì)怏w，因?yàn)槎趸急瓤諝獗戎兀磧?nèi)又不通風(fēng)，二氧化碳沉積在地面，動(dòng)物因缺氧而死。,追問到底法,豐田公司的管理方法:機(jī)器為什么不轉(zhuǎn)了?因?yàn)楸ｋU(xiǎn)絲斷了.為什么保險(xiǎn)絲會(huì)斷?因?yàn)槌?fù)荷而電流太大.,為什么會(huì)超負(fù)荷?因?yàn)檩S承枯澀不夠潤滑.為什么不夠潤滑?因?yàn)橛捅梦簧蠞櫥蜑槭裁次簧嫌?因?yàn)槌橛捅卯a(chǎn)生了嚴(yán)重磨損為什么會(huì)產(chǎn)生磨損?因?yàn)橛捅梦囱b過濾器而使鐵屑混入.,2、邏輯思維與形象思維（形式）,邏輯思維是按照邏輯的規(guī)律、方法和形式，有步驟、有根據(jù)的從已知的知識(shí)和條件導(dǎo)出新結(jié)論的思維。形象思維是未經(jīng)過步步分析、無清晰的步驟，而對(duì)問題突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維。,物理學(xué)上的“阿基米德定律”是阿基米德在跳入澡缸的一瞬間，發(fā)現(xiàn)澡缸邊緣溢出的水的體積跟他自己身體入水部分的體積一樣大，從而悟出了著名的浮力定律。達(dá)爾文在觀察到植物幼苗的頂端向太陽照射的方向彎曲現(xiàn)象時(shí)，就想到了它是幼苗的頂端因含有某種物質(zhì)，在光照下跑向背光一側(cè)的緣故。但在他有生之年未能證明這是一種什么物質(zhì)。后來經(jīng)過許多科學(xué)的反復(fù)研究，終于在1933年找到了這種物質(zhì)-植物生長素。,2、邏輯思維與形象思維（形式）,在這個(gè)階段學(xué)生的抽象思維得到初步的發(fā)展，但是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中形象思維的成分仍然占著很大的比例。從形象思維逐步過渡到抽象思維，是初中生的認(rèn)知特點(diǎn)。,初中生思維特點(diǎn),新課改中十分注重?cái)?shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)按照學(xué)生思維發(fā)展的年齡來組織。主要體現(xiàn)在教材的內(nèi)容做到了螺旋式上升的編排結(jié)構(gòu)，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的思維發(fā)展水平為依據(jù)，善于把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，教學(xué)內(nèi)容符合學(xué)生的實(shí)際水平。初中數(shù)學(xué)教材的編排側(cè)重于思維的集中。,初中生思維特點(diǎn),3、再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維（智力品質(zhì)）,再現(xiàn)性思維：運(yùn)用所獲得的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方法或程序去解決問題的思維。創(chuàng)造性思維：在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)問題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。,二、數(shù)學(xué)思維的一般方法,觀察與實(shí)驗(yàn)分析與綜合演繹與歸納概括與抽象特殊化與一般化判斷與推理,觀察與實(shí)驗(yàn),觀察是人們對(duì)事物或問題的數(shù)學(xué)特征通過視覺獲取信息，運(yùn)用思維辨認(rèn)其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)的方法?！睌?shù)學(xué)思維通常都要從觀察數(shù)學(xué)對(duì)象開始，結(jié)合運(yùn)用其它方法才能獲得關(guān)于客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，因此觀察法是數(shù)學(xué)思維過程的必需的和第一位的方法。,“實(shí)驗(yàn)是根據(jù)所研究問題的需要，按照研究對(duì)象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，人為地設(shè)置條件使所希望的現(xiàn)象產(chǎn)生或?qū)ζ溥M(jìn)行控制的科學(xué)方法。”,小明是這樣做的：將一張長方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.,如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？,剪一剪,邊：,角：,當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí),AB=BC=CD=AD,AOB=AOD=DOC=BOC=901=2=3=45=6=7=8,探索發(fā)現(xiàn)：,對(duì)角線：,ACBD,推理論證,已知:如圖，四邊形ABCD是菱形，求證：,(1)AB=BC=CD=DA,(2)ACBD,AC平分DAB和DCB,BD平分ADC和ABC,證明(1)四邊形ABCD是菱形,DA=DC(菱形的定義),DA=BC,AB=DC,AB=BC=DC=DA,(2)在等腰DAC中,AO=CODBAC，DB平分ADC（三線合一）,同理：DB平分ABC；AC平分DAB和DCB,分析與綜合,分析：由結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法。綜合：從條件推到到由條件產(chǎn)生的結(jié)果的一種思維方法。證明：先分析后綜合,演繹與歸納,演繹：一般特殊歸納：特殊一般,完全歸納法：數(shù)學(xué)證明的方法（第一數(shù)歸法）,不完全歸納法：猜測，驗(yàn)證,概括與抽象,概括：擺脫具體內(nèi)容，并且在各種對(duì)象、關(guān)系運(yùn)算的結(jié)構(gòu)中，抽取出相似的、一般的和本質(zhì)的東西的思維過程。抽象：舍棄研究對(duì)象的非本質(zhì)特征，揭示其本質(zhì)特征的思維過程。,例如蘋果、香蕉、生梨、葡萄、桃子等，它們共同的特性就是水果。得出水果概念的過程，就是一個(gè)抽象的過程。所謂的共同特征，是相對(duì)的，是指從某一個(gè)刻面看是共同的。比如，對(duì)于汽車和大米，從買賣的角度看都是商品，都有價(jià)格，這是他們的共同的特征，而從其他方面來比較是，他們則是不同的。所以在抽象時(shí)，同與不同，決定于從什么角度上來抽象。抽象的角度取決于分析問題的目的。,特殊化與一般化,特殊化：研究數(shù)學(xué)問題由原范圍縮小到一個(gè)較小范圍或個(gè)別情形（特例、反例分析法）一般化：由原范圍到更大范圍進(jìn)行研究特殊化與一般化相結(jié)合,例,證明：具有下列形式的數(shù)是完全平方數(shù)。分析：先從特殊情況出發(fā)，找出某種規(guī)律：,于是猜想,判斷與推理,判斷：反映對(duì)象本身及其某些屬性和聯(lián)系存在或不存在的思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷稱為命題推理：由一個(gè)或幾個(gè)判斷推出另一個(gè)新的判斷的思維過程。,化歸與映射,化歸：將待研究的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化映射：關(guān)系映射反演原則，一種特殊的化歸,三教學(xué)過程與策略,一、問題情境的創(chuàng)設(shè)二、學(xué)生進(jìn)行自主探索三、師生合作學(xué)習(xí)四、學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)五、學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)。,（一）問題情境的創(chuàng)設(shè),問題情境的創(chuàng)設(shè)，其目的在于引起學(xué)生的注意，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)任務(wù)；生活中的現(xiàn)實(shí)問題對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)最有意義，面對(duì)熟悉的、真實(shí)的問題情境，學(xué)生會(huì)全身心地投入到探索中。,1、問題具有導(dǎo)向性。問題要有明確的目的，要使學(xué)生的思維趨向于某一確定的方向，有利于解決當(dāng)前要研究和解決的問題；2、問題的難易要集中。問題不易太難或者太易，難易之間應(yīng)有一定的坡度；3、問題要有啟發(fā)性。許多教師嘗嘗把啟發(fā)式教學(xué)誤認(rèn)為提問式，認(rèn)為問題提得越多越好。實(shí)際上，問題不在于多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性問題，是否能夠觸及問題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生積極思考，這才是關(guān)鍵；4、問題應(yīng)具有新穎性。問題的設(shè)計(jì)要新穎、生動(dòng)，這樣才能引起學(xué)生的注意，激起學(xué)生探究的興趣。,（二）學(xué)生進(jìn)行自主探索,探索的過程既有假設(shè)、類比、化歸和推理，又是失誤、頓悟的過程，是主體的能動(dòng)性的表現(xiàn)，是思維的實(shí)驗(yàn)。教師應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生的啟發(fā)誘導(dǎo)。教師及時(shí)檢查學(xué)生獲取資料的手段、方法是否恰當(dāng)，詢問學(xué)生思維上的問題。教師可以要求學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行假設(shè)、分析和解釋，并質(zhì)疑學(xué)生的思維過程，尋問學(xué)生知識(shí)、概念的內(nèi)涵，要求學(xué)生對(duì)他們的思維和邏輯性進(jìn)行檢查和反思。,（三）師生合作學(xué)習(xí),通過呈現(xiàn)不同的觀點(diǎn)、思路和做法，導(dǎo)致各方面的差異性沖突和不平衡，不僅可以激發(fā)學(xué)生探求真理的欲望和動(dòng)力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性，而且能啟迪學(xué)生的思維產(chǎn)生創(chuàng)造性的火花；學(xué)生在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步補(bǔ)充、修正、深化自己的理解，形成對(duì)新