高考數(shù)學(xué)選修知識講解_《《推理與證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）

推理與證明全章復(fù)習(xí)與鞏固編稿：李 霞 審稿： 張林娟【學(xué)習(xí)目標】 1. 了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進行簡單的推理；掌握演繹推理的基本模式；體會它們的重要性，并能運用它們進行一些簡單的推理；2. 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；3. 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；4. 了解間接證明的一種基本方法：反證法；了解反證法的思考過程、特點；5. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】 要點一：有關(guān)推理概念歸納推理：又稱歸納法，是從特殊到一般、部分到整體的推理根據(jù)歸納對象是否完備，分為完全歸納法和不完全歸納法完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每一個對象或每一個子類的情況作出的關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理；不完全歸納法是根據(jù)某類事物中的一部分對象具有某種特征而作出該類事物都具有這一特征的一般性結(jié)論的推理由于僅列舉了歸納對象中的一小部分，因此得出的結(jié)論與前提未必有必然的聯(lián)系，故其結(jié)論未必正確，必須經(jīng)過理論的證明和實踐的檢驗類比推理：又稱類比法，是由特殊到特殊的推理這是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的“開拓型”“發(fā)散型”思維方式和歸納推理一樣，能由已知推測未知，推理的結(jié)論也不一定為真，有待進一步證明，通常情況下，類比的相似性越多，類比得出的結(jié)論就越可靠演繹推理：又稱演繹法是從一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)證明中的基本推理形式演繹推理的結(jié)論完全蘊涵于前提之中它是“封閉型”的思維方法，只要前提真實，邏輯形式正確，則結(jié)論必然真實，但由它一般不能取得突破性進展故合情推理與演繹推理各有側(cè)重，相輔相成合情推理有助于發(fā)現(xiàn)新事物、新結(jié)論、新規(guī)律，演繹推理保證結(jié)論的可靠性，去偽存真要點詮釋：演繹推理更注重推理的形式規(guī)則，常見的有假言推理、關(guān)系推理、三段論推理三段論推理：其一般形式為：大前提：所有M都是P；小前提：S是M；結(jié)論：S是P要點二：有關(guān)證明方法綜合法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法，是數(shù)學(xué)推理證明中的主要方法即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待征結(jié)論或需求問題如果要證明的命題是，那么證明步驟用符號表示為p(已知)分析法分析法就是從待征結(jié)論出發(fā)，一步一步探索下去，尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實用分析法證明的邏輯關(guān)系：q(結(jié)論)(已知)間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真，間接達到目的反證法就是間接證法的一種 反證法證題步驟為： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立 (2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾 (3)由矛盾判斷假設(shè)不成立從而肯定命題的結(jié)論成立 反證法導(dǎo)出矛盾常見的有以下幾種情況： 導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾 導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾 導(dǎo)出一個與定義、公理、定理等矛盾的命題 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題時，常采用的一種方法，它是一種完全歸納法，其步驟為：第一步：證明n取第一個值時命題成立第二步：假設(shè)nk(k，kN+)時命題成立，證明nk+1時命題成立 第三步：下結(jié)論，命題對從開始的所有自然數(shù)n都成立要點詮釋：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，如果證明恒等式或不等式應(yīng)特別注意項及項數(shù)的變化規(guī)律；證明幾何命題時，要特別注意從nk到nk+1的幾何圖形中幾何元素的變化規(guī)律；證明整除性命題時，要特別注意湊配項的變形技巧；證明與奇、偶數(shù)有關(guān)的命題要注意過渡時的特點，如一個命題對所有奇數(shù)n成立，應(yīng)假設(shè)n2k-1時命題成立，推證n2k+1時命題成立或假設(shè)nk(k為奇數(shù))時命題成立，推證nk+2時命題成立 （2）“歸納一猜想證明”的論題，要特別關(guān)注項的構(gòu)成規(guī)律，作出合理的猜想后再證明【典型例題】類型一：合情推理與演繹推理例1. 若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列(nN+)也為等比數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等差數(shù)列，則有_也是等差數(shù)列【思路點撥】類比猜想可得也成等差數(shù)列.【解析】若設(shè)等差數(shù)列的公差為x，則 可見是一個以為首項，為公差的等差數(shù)列，故猜想是正確的 【總結(jié)升華】類比猜想是以兩個對象之間某已知的相同或相似之處為根據(jù)，從而推出對象之間未知的相似之點的推理方法，這個根據(jù)是不充分的，因而類比推理的結(jié)論有時正確，有時不正確，其結(jié)論都需要證明舉一反三：【變式1】在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是_【答案】【變式2】觀察，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)滿足，記g(x)為的導(dǎo)函數(shù)，則g(-x)( ) A B C D 【答案】 D 【解析】 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(-x)-g(x)例2. 在數(shù)列中，nN+ (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項和； (3)證明不等式，對任意nN+皆成立【解析】 (1)由題設(shè)得，nN+ 又，所以數(shù)列是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列 (2)由(1)可知，于是數(shù)列的通項公式為 所以數(shù)列的前n項和 (3)對任意的nN+， 0 所以不等式，對任意nN+皆成立 【總結(jié)升華】本題屬于遞推數(shù)列問題，是高考考查的熱點解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列舉一反三：【變式1】紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“”的面的方位是 ( ) A南 B北 C西 D下 【答案】 B【解析】將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為，最左面為東，最里面為上， 將正方體旋轉(zhuǎn)后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“”的方位為北【變式2】（2016 廣州一模）以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中的“楊輝三角性”該表由若干數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，第2015行公差為 ，故第1行的第一個數(shù)為： ，第2行的第一個數(shù)為： ，第3行的第一個數(shù)為：，第n行的第一個數(shù)為：，第2016行只有M，則 類型二：直接證明與間接證明例3. 設(shè)a，b，c均為大于1的正數(shù)，且ab10 求證：【解析】證法一(綜合法)：因為ab10，所以又因為a，b，c均為大于1的正數(shù)，所以lg a，lg b，lg c均大于0，故即證法二(分析法)：由于，b1故要證明只要證明，即又，所以只要證明，即因為，所以，故只要證明 由于a1，b1，所以，0所以，即當且僅當時等號成立，即式成立，所以原不等式成立舉一反三：【變式】設(shè)a，bR且ab，a+b2，則必有（ )A1ab BC D【答案】B 【解析】 a+b2 b2-a， ab1 ab1 ， ， ，綜上可得 例4. 設(shè)函數(shù)對定義域內(nèi)任意實數(shù)都有，且成立求證：對定義域內(nèi)任意x，都有【思路點撥】直接證明有些困難，考慮用反證法.【解析】假設(shè)滿足題設(shè)條件的任意x，不成立，即存在某個，有0 ， 又知這與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立故對任意的x都有【總結(jié)升華】此題證明過程中，“對任意x，都有”的否命題是：“存在x0，使0”，而不是“對所有的x，都有0”，因此在應(yīng)用反證法時正確寫出結(jié)論的否定形式是很重要的舉一反三：【變式】函數(shù)的圖象( ) A關(guān)于原點對稱 B關(guān)于直線yx對稱 C關(guān)于x軸對稱 D關(guān)于y軸對稱 【答案】 D【解析】 對于選項A，點在上，但點不在上；對于選項B，點(0，2)在上，但點(2，0)不在，(z)上； 對于選項C，函數(shù)的圖象不能關(guān)于x軸對稱；對于選項D， 函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱類型三：數(shù)學(xué)歸納法例5. 等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn2(log2an1)(nN*)，證明：對任意的nN*，不等式成立【解析】(1)由題意：Snbnr，當n2時，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列又a1br，a2b(b1)，即，解得r1.(2)當b2時，由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所證不等式為當n1時，左式，右式.左式右式，所以結(jié)論成立，假設(shè)nk(kN*)時結(jié)論成立，即，則當nk1時，要證當nk1時結(jié)論成立，只需證，即證由均值不等式成立故成立，所以當nk1時，結(jié)論成立由可知，nN*時，不等式成立【總結(jié)升華】本題屬中等難度題，求解關(guān)鍵是要掌握數(shù)學(xué)歸納法舉一反三：【變式1】已知，則f(k1)f(k)_.【答案】【變式2】試比較2n2與n2的大小(nN*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論【答案】當n1時，2124n21，當n2時，2226n24，當n3時，23210n29，由n4時，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當n1時，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊，所以原不等式成立當n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當n3時，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊(2)假設(shè)nk(k3且kN*)時，不等式成立，即2k2k2.那么當nk1時，2k1222k22(2k2)22k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立根據(jù)(1)和(2)，原不等式對于任何nN*都成立【變式3】（2016 南通一模）已知函數(shù)f0（x