高考數(shù)學(xué)必修知識講解直線的傾斜角與斜率基礎(chǔ)

直線的傾斜角與斜率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解直線傾斜角的概念，掌握直線傾斜角的范圍；2.理解直線斜率的概念，理解各傾斜角是時的直線沒有斜率；3.已知直線的傾斜角(或斜率)，會求直線的斜率(或傾斜角)；4.掌握經(jīng)過兩點和的直線的斜率公式：()；5.熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件.【要點梳理】要點一、直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是要點詮釋：1.要清楚定義中含有的三個條件直線向上方向；軸正向；小于的角.2.從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.3.傾斜角的范圍是.當(dāng)時，直線與x軸平行或與x軸重合.4.直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng).5.已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置.要點二、直線的斜率1定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即要點詮釋：(1)當(dāng)直線與x軸平行或重合時，=0，k=tan0=0；(2)直線與x軸垂直時，=90，k不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.2直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然要點三、斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式.要點詮釋：1.對于上面的斜率公式要注意下面五點：(1) 當(dāng)x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角=90，直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；(4)當(dāng)y1=y2時，斜率k=0，直線的傾斜角=0，直線與x軸平行或重合；(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到2.斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：(1)由、點的坐標(biāo)求的值；(2)已知及中的三個量可求第四個量；(3)已知及、的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求；(4)證明三點共線.要點四、兩直線平行的條件設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為.若，則與的傾斜角與相等.由，可得，即.因此，若，則.反之，若，則.要點詮釋：1.公式成立的前提條件是兩條直線的斜率存在分別為；不重合；2.當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時，的傾斜角都是，則.要點五、兩直線垂直的條件設(shè)兩條直線的斜率分別為.若，則.要點詮釋：1.公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；2.當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.【典型例題】 類型一：直線的傾斜角與斜率例1設(shè)直線與x軸的交點為P，且傾斜角為，若將其繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線的傾斜角為+45，則（ ）A090 B0135 C0135 D0135【答案】D【解析】 ，+45均為傾斜角，0135又直線與x軸相交，0故選D【總結(jié)升華】 （1）傾斜角的概念中含有三個條件：直線向上的方向；x軸的正方向；小于平角的正角（2）傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對于x軸正方向的傾斜程度（3）平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等（4）確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可 例2下列說法正確的是_ 若兩直線的傾斜角相等，則兩直線平行或重合；若一直線的傾斜角為150，則此直線關(guān)于y軸的對稱直線的傾斜角為30；若，2，3分別為三條直線的傾斜角，則不大于60；若傾斜角=90，則此直線與坐標(biāo)軸垂直【答案】 【解析】 若傾斜角相等，則兩直線平行或重合，故正確；若兩直線關(guān)于y軸對稱，則其傾斜角互補，故正確；當(dāng)=60時，3=180，故錯誤；若=90，則直線與x軸垂直故錯誤【總結(jié)升華】本題考查直線的傾斜角定義中的條件及傾斜角的取值范圍理解傾斜角的定義是解決此題的關(guān)鍵舉一反三： 【變式1】 下圖中各標(biāo)注的直線的傾斜角是否正確？為什么？ 【答案】（1）不正確（2）不正確（3）不正確（4）不正確【解析】題圖（1）中的角的一邊取的是x軸的負方向，因此標(biāo)注不正確；題圖（2）中的角的一邊取的是直線向下的方向，因此標(biāo)注不正確；題圖（3）中的角的兩邊分別取的是x軸的負方向和直線向下的方向，因此標(biāo)注不正確，但是它的大小等于直線的傾斜角題圖（4）中的角是x軸正方向與直線向上方向所成的角，因此標(biāo)注不正確【高清課堂：直線的傾斜角與斜率381490例2】例3如圖所示，直線的傾斜角，直線與垂直，求，的斜率【答案】 k2=【解析】由圖形可知，則k1，k2可求直線的斜率直線的傾斜角=90+30=120，直線的斜率k2=tan120=tan(18060)=tan60=【總結(jié)升華】（1）本例中，利用圖形的形象直觀挖掘出直線與的傾斜角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵（2）公式tan(180)=tan是一個重要公式，它是求傾斜角為鈍角時的直線斜率的關(guān)鍵，即把鈍角的正切轉(zhuǎn)化為銳角的正切熟記30，45，60角的正切值可快速求解舉一反三：【變式1】（2016 山西曲沃縣模擬）過兩點A（3mm2，2m），B（m2+2，3m2）的直線的傾斜角為135，求m的值【答案】m=2【解析】依題意可得：直線的斜率為1又直線過兩點A（3mm2，2m），B（m2+2，3m2）即：整理的可求得m=2或m=1經(jīng)檢驗m=1不合題意，故m=2類型二：過兩點的直線斜率公式的應(yīng)用例3經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率（1）（1，1），（3，2）；（2）（1，2），（5，2）；（3）（3，4），（2，5）；（4）（3，0），（3，）【答案】（1）（2）0（3）（4）不存在【解析】 當(dāng)傾斜角=90時，斜率不存在；當(dāng)90時，（1）；（2）；（3）；（4）傾斜角=90，k不存在【總結(jié)升華】 應(yīng)用斜率公式求斜率時，首先應(yīng)注意這兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則這兩點的連線必與x軸垂直，即直線的傾斜角為90，故其斜率不存在，也就不能運用斜率公式求斜率事實上，此時若將兩點坐標(biāo)代入斜率公式，則其分母為零無意義，即斜率不存在；其次，在運用斜率公式時，分子的被減數(shù)與分母的被減數(shù)必須對應(yīng)著同一點的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)舉一反三：【變式1】 直線過點A（1，2），B（m，3），求的斜率【答案】不存在或【解析】若m=1，此時的傾斜角為，顯然直線斜率不存在，；若m1，則直線斜率存在，設(shè)此時斜率為k，傾斜角為，例4已知A（a，2），B（5，1），C（4，2a）三點在同一條直線上，求a的值【答案】2 或 【解析】 A，B，C三點共線，kAB=kBC，解得a=2或故所求的a的值為2或【總結(jié)升華】 由于直線上任意兩點的斜率都相等，因此A，B，C三點共線A，B，C中任意兩點的斜率相等（如kAB=kAC）斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等這正是利用斜率可證三點共線的原因舉一反三：【變式1】已知A（3，5），B（1，3），C（5，11）三點，試判斷這三點是否在同一直線上【答案】在同一直線上【解析】由題意可知直線AB的斜率，直線BC的斜率因為kAB=kBC，即兩條直線的斜率相同，并且它們過同一點B，所以A，B，C三點在同一直線上例5（2015春 三明月考）已知兩點A（3，4），B（3，2），過點C（2，1）的直線l與線段AB有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍【思路點撥】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出滿足條件的直線l斜率k的取值范圍【答案】k1或k3【解析】如圖所示， A（3，4），B（3，2），C（2，1），；要使過點C的直線L與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k1或k3【總結(jié)升華】本題考查了已知兩點的坐標(biāo)求直線斜率的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題舉一反三：【變式1】 已知直線過點且與線段相交，設(shè)，則直線的斜率的取值范圍是 【答案】 【解析】畫出圖形，數(shù)形結(jié)合類型三：兩條直線平行的條件例6已知經(jīng)過A（3，3），B（8，6），經(jīng)過，求證：【解析】 直線的斜率為，直線的斜率為，k1=k2，【總結(jié)升華】判定兩條不重合的直線是否平行的依據(jù)是：當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時，只需看它們的斜率是否相等即可，反過來，兩條直線平行，則隱含著這兩條直線的斜率相等（當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時）判定兩條直線是否平行，只要研究兩條直線的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情況，以及兩條直線是否重合 舉一反三：【變式1】 判斷下列各小題中的直線與是否平行（1）經(jīng)過點A（1，2），B（2，1），經(jīng)過點M（3，4），N（1，1）；（2）的斜率為1，經(jīng)過點A（1，1），B（2，2）；（3）經(jīng)過點A（0，1），B（1，0），經(jīng)過點M（1，3），N（2，0）（4）經(jīng)過點A（3，2），B（3，10），經(jīng)過點M（5，2），N（5，5）【解析】 （1），k1k2，與不平行（2）k1=1，k1=k2，或與重合（3），k1=k2，（4）與都與x軸垂直，【總結(jié)升華】 k1=k2是針對斜率都存在的直線，對于斜率不存在或可能不存在的直線要注意利用圖形求解 例7已知ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求頂點D的坐標(biāo)【答案】 （3，4）【解析】 解法1：設(shè)D（m，n），線段AC的中點為E（2，2），所以線段BD的中點為E（2，2），則，解得m=3，n=4，所以D（3，4）解法2：設(shè)D（m，n），由題意得ABDC，ADBC，則有kAB=kDC，kAD=kBC，所以，解得m=3，n=4，所以D（3，4）【總結(jié)升華】 解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形的幾何性質(zhì)，并用解析幾何中的相關(guān)知識解決解決本題的關(guān)鍵是如何利用平行四邊形的幾何性質(zhì)，其出發(fā)點是已知平行四邊形的三個頂點如何作出第四個頂點，這兩種作法對應(yīng)著兩種解法類型四：兩條直線垂直的條件例8判斷下列各題中與是否垂直（1）經(jīng)過點A（1，2），B（1，2），經(jīng)過點M（2，1），N（2，1）；（2）的斜率為10，經(jīng)過點A（10，2），B（20，3）；（3）經(jīng)過點A（3，4），B（3，10），經(jīng)過點M（10，40），N（10，40）【解析】 求出斜率，利用k1k2=1進行判斷，注意數(shù)形結(jié)合及斜率不存在的特殊情況（1），k1k2=1，與不垂直；（2）k1=10，k1k2=1，；（3）的傾斜角為90，則x軸；，則x軸，【總結(jié)升華】 判斷兩條直線是否垂直的依據(jù)是：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行時，兩條直線也垂直例9已知定點A（1，3），B（4，2），以A，B為直徑的端點，作圓與x軸交于點C，求交點C的坐標(biāo)【答案】（1，0）或（2，0）【解析】 本題中有三個點A，B，C，由于AB為直徑，C為圓上的點，所以ACB=90，因此，必有kACkBC=1列出方程，求解即可以線段AB為直徑的圓與x軸的交點為C，則ACCB設(shè)C（x，0），MJ ，去分母解得x=1或2C（1，0）或C（2，0）【總結(jié)升華】利用直線平行與垂直的條件解題，主要利用其斜率的關(guān)系，當(dāng)然，在解題時要特別注意斜率不存在的情況，以及分類討論的思想本例中，利用ACB=90，及兩條直線垂直時斜率之間的關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于x的方程，解之便求出其交點坐標(biāo)，因此利用直線垂直與