冪的運(yùn)算講義

中小學(xué)個(gè)性化教育輔導(dǎo)專家特爾教育一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)講義學(xué)科： 數(shù)學(xué) 任課教師：雷夢(mèng)華 授課時(shí)間：2014年 11月 23日(星期 )姓名年級(jí)性 別 總課時(shí)_ 第_ 課教學(xué)目標(biāo)掌握冪的運(yùn)算法則，并能熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算；難點(diǎn)重點(diǎn) 熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；教學(xué)過(guò)程教材精華：1、 同底數(shù)冪的乘法法則：（m、n為正整數(shù)）。同底數(shù)冪相乘時(shí)，底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，若底數(shù)是多項(xiàng)式，可以用字母表示為：；同底數(shù)冪的乘法法則還可以逆用：（m、n為正整數(shù)）；同底數(shù)冪相乘時(shí)，底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，再冪的運(yùn)算中常用到下面兩種變形： = 鞏固訓(xùn)練：（1）計(jì)算： ； ； 。思路引導(dǎo)：將式子中不同的底數(shù)轉(zhuǎn)化成相同的底數(shù)，然后再用同底數(shù)冪乘法的法則進(jìn)行計(jì)算：解： 。 。 。方法總結(jié)：同底數(shù)冪相乘，先確定符號(hào)，負(fù)因數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)就取負(fù)號(hào)，出現(xiàn)偶數(shù)個(gè)就取正號(hào)，然后按照同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算。（2） 計(jì)算： ； ； ； ；思路引導(dǎo)：將a+b，x+2看成是一個(gè)整體，然后運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算；若底數(shù)為互為相反數(shù)的冪相乘時(shí)，可以利用冪確定符號(hào)的方法先轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪再按法則計(jì)算。解： 。 。 。 。方法總結(jié)：若底數(shù)為互為相反數(shù)的冪相乘時(shí)，在統(tǒng)一底數(shù)時(shí)，盡可能地改變偶次冪的底數(shù)，這樣可以減少符號(hào)的變化。（3） 已知，且m比n大3，求mn的值。思路引導(dǎo)：運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，然后由指數(shù)相等列出關(guān)于m，n的一個(gè)方程，與“m比n大3”列出的方程組成方程組可解得m，n的值，進(jìn)而可求mn的值。解：，1+m+n=14 .又m比n大3，m-n=3 .組成方程組為 ，解得 ， mn=85=40.方法總結(jié)：解此類問(wèn)題，首先要根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則構(gòu)造方程或方程組，再通過(guò)解方程或方程組求出指數(shù)中的字母，通過(guò)轉(zhuǎn)化和方程組呃綜合運(yùn)用來(lái)解決問(wèn)題。（4） 計(jì)算： ； ； 思路引導(dǎo)：先算同底數(shù)冪相乘，再合并同類項(xiàng)。解： =2； =；（5） 同底數(shù)冪的乘法在科學(xué)計(jì)數(shù)法中的應(yīng)用： 光的速度大約是千米/秒，如果一束光線從地球上向火星發(fā)射，大約需要20分鐘才能到達(dá)火星，求火星距離地球大約多少千米？ 09年全年生產(chǎn)總值比2008年增長(zhǎng)10.7%，達(dá)到19367億元，19367億用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為： 思路引導(dǎo)： 根據(jù)“路程=速度時(shí)間”可以求出火星與地球的大約距離?？茖W(xué)計(jì)數(shù)法的一般形式是a10（1a10）；解： 3.0102060=3.610（千米）；答：火星距離地球大約3.610千米； 科學(xué)計(jì)數(shù)法的一般形式是a10（1a0且a1，m，n是正整數(shù)），則m=n。利用這個(gè)結(jié)論解決以下兩個(gè)問(wèn)題：如果，求x的值；如果，求x的值；思路引導(dǎo)：首先分析題意，分析結(jié)論的使用條件，即只要有（a0且a1，m，n是正整數(shù)），則可知m=n，即指數(shù)相等，然后在解題中應(yīng)用即可。解： ，1+3x+4x=22，解得x=3，即x的值為3； ，6x=6，解得x=1，即x的值為1；方法總結(jié)：綜合運(yùn)用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，運(yùn)用方程確定字母的值是解決這類問(wèn)題的常用方法。（4） 已知a=，b=，c=，則有（）A. abc B.cba C.cab D.acac，故應(yīng)選C。答案：C。三、積的乘方法則：（n為正整數(shù)），即把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。積的乘方的逆用：（n為正整數(shù)）；鞏固訓(xùn)練：（1） 計(jì)算： ； ； ； ； 。思路引導(dǎo)：利用積的乘方法則計(jì)算，計(jì)算順序?yàn)椋合人惴e的乘方，再算冪的乘方，最后算同底數(shù)冪的乘法，有同類項(xiàng)的要先合并同類項(xiàng)。解： =；=； =； =； =；易錯(cuò)警示：運(yùn)用積的乘方時(shí)，每個(gè)因式都要乘方，不能漏掉任何一個(gè)因式；系數(shù)連同他的符號(hào)一起乘方，系數(shù)是-1時(shí)不可忽略。（2） 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：； ；思路引導(dǎo)：觀察該式的特點(diǎn)可知本題需利用乘法的結(jié)合律和逆用積的乘方公式求解；，故知該式需逆用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方公式求解。解： =11=1； =-8；（3） 已知，求的值。解：=； 已知，試用a，b表示的值。思路引導(dǎo)：=，已知條件是的值，所以；解：=；在積的乘方運(yùn)算比較復(fù)雜時(shí)，可以利用積的乘方法則展開，并把其轉(zhuǎn)化為由已知冪表示的式子，然后采用整體帶入的方法求其值。四、同底數(shù)冪的除法法則：（a0，m，n為正整數(shù)，并且mn）；同底數(shù)冪的除法法則逆用：（a0，m，n為正整數(shù)，并且mn）；鞏固訓(xùn)練：（1） 判斷下列各式是否正確，錯(cuò)誤的請(qǐng)改正： ； ； ； 。解： 不正確，應(yīng)改為：，法則中底數(shù)不變，指數(shù)相減，而不是指數(shù)相除； 不正確，應(yīng)改為：，與底數(shù)不同，要先化為同底數(shù)，即，再計(jì)算； 不正確，應(yīng)改為，x-y與y-x互為相反數(shù)，先化同底數(shù)再計(jì)算； 不正確，應(yīng)改為，指數(shù)相減應(yīng)為（m-1）-（m-2）=1；方法總結(jié)：底數(shù)不同時(shí)不能直接與運(yùn)用同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算，一定要先化成相同底數(shù)的冪再運(yùn)算。計(jì)算：； ； ； ； ； ； ；思路引導(dǎo)：按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，底數(shù)不相同要先化為同底數(shù)冪再計(jì)算；解 =； =； 原式=； 原式=； 原式= ； 原式=； 原式=；方法總結(jié)：多個(gè)同底數(shù)冪相除要按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算。（2） 解方程：； 解不等式：；解： 原方程可化為，即；x-1=2，解得x=3； ， 2x-1-3(1-x)， 2x-13+3x， -x-2， xac 思路引導(dǎo)：，故，即bac； 7. m=3，n=5； 8. x=2； x=1； x=4； x7；綜合發(fā)展題：1.；思路引導(dǎo)：先由“兩非負(fù)數(shù)和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0,”得到x，y的值，然后化簡(jiǎn)求值；2.；思路引導(dǎo)：先由“三個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0,”得到x，y，z的值，然后代入求值；3.1；思路引導(dǎo)： ， ，同理有， ，即， xy=x+y，即=1；4.8或12或16；思路引導(dǎo)：由已知條件可以列出方程組 ， 又 m8， 2y+28， y3； y是正整數(shù)，y只能去1、2、3。則： 當(dāng)y=1時(shí)，m=4，x+2y+m=8； 當(dāng)y=2時(shí)，m=6