圓過定點問題xx.doc

1、 問題背景圓過定點問題是高考中常見的題型，是圓的特殊性質(zhì)，圓的方程在高考中是C級要求，對圓的性質(zhì)要求學(xué)生會運用。因此對計算的要求也比較高，圓相比較橢圓和雙曲線的性質(zhì)更具有特殊性。因此在近幾年各地的高考中屬于?？碱}型。2、 常見的方法特殊化，消元法，換元法（整體換元、三角換元）等，主要思想方法：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想。范例例1.二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為（1）求實數(shù)c的取值范圍；（2）求的方程；（3）問是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與c的取值無關(guān)）？請證明你的結(jié)論【解題分析】（1）令x=0求出y的值，確定出拋物線與y軸的交點坐標(biāo)，令f（x）=0，根據(jù)與x軸交點有兩個得到c不為0且根的判別式的值大于0，即可求出c的范圍；（2）設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x2+Dx+F=0，這與x2x+=0是同一個方程，求出D，F(xiàn)令x=0得，y2+Ey+F=0，此方程有一個根為c，代入得出E，由此求得圓C的一般方程；（3）圓C過定點（0，）和（，），證明：直接將點的坐標(biāo)代入驗證【解法】：（1）令x=0，得拋物線與y軸的交點（0，c），令f（x）=3x24x+c=0，由題意知：c0且0，解得：c且c0；（2）設(shè)圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得到x2+Dx+F=0，這與x2x+=0是一個方程，故D=，F(xiàn)=；令x=0，得到y(tǒng)2+Ey+F=0，有一個根為c，代入得：c2+cE+=0，解得：E=c，則圓C方程為：x2+y2x（c+）y+=0；（3）圓C必過定點（0，）和（，），理由為：由x2+y2x（c+）y+=0，令y=，解得：x=0或，圓C必過定點（0，）和（，）【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題變式1.已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA、PB，切點為A、B.(1) 若APB60，試求點P的坐標(biāo)；(2) 若P點的坐標(biāo)為(2,1)，過P作直線與圓M交于C、D兩點，當(dāng)CD時，求直線CD的方程；(3) 求證：經(jīng)過A、P、M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo)例2已知定點G（3，0），S是圓C：（X3）2+y2=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E設(shè)點E的軌跡為M（1）求M的方程；（2）是否存在斜率為1的直線，使得直線與曲線M相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【解題分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6的橢圓，由此能求出動點E的軌跡方程（2） 假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，其方程為y=x+m，由，得3x2+4mx+2m218=0由此能求出符合題意的直線l存在，所求的直線l的方程為y=x或y=x2【解法】：（1）由題知|EG|=|ES|，|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6又|GC|=6，點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6的橢圓，動點E的軌跡方程為=1（4分）（2）假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，其方程為y=x+m，由消去y，化簡得3x2+4mx+2m218=0直線l與橢圓C相交于A，B兩點，=16m212（2m218）0，化簡得m227，解得3 x1+x2=，x1x2=以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，=0，所以x1x2+y1y2=0又y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，x1x2+y1y2=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=0，解得m=（11分）由于（3，3），符合題意的直線l存在，所求的直線l的方程為y=x或y=x2【點評】本題考查點的方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用變式2已知橢圓,點是橢圓上異于頂點的任意一點,過點作橢圓的切線,交軸與點直線過點且垂直與,交軸與點試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能,求出定點坐標(biāo);若不能,請說明理由.變式3已知圓C：，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線L的方程，若不存在說明理由例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=1（）判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系；（）若動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長，則動圓C是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由【解題分析】（）求出兩圓的圓心距離，即可判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系；（）根據(jù)圓C同時平方圓周，建立條件方程即可得到結(jié)論【解法】：（）C1：（x+1）2+y2=1的圓心為（1，0），半徑r=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=1的圓心為（3，4），半徑R=1，則|C1C2|=，圓C1與圓C2的位置關(guān)系是相離（）設(shè)圓心C（x，y），由題意得CC1=CC2，即，整理得x+y3=0，即圓心C在定直線x+y3=0上運動設(shè)C（m，3m），則動圓的半徑，于是動圓C的方程為（xm）2+（y3+m）2=1+（m+1）2+（3m）2，整理得：x2+y26y22m（xy+1）=0由，解得或，即所求的定點坐標(biāo)為（1，2），（1+，2+）【點評】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，以及與圓有關(guān)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力。例4如圖所示，已知圓C：x2+y2=r2（r0）上點處切線的斜率為，圓C與y軸的交點分別為A，B，與x軸正半軸的交點為D，P為圓C在第一象限內(nèi)的任意一點，直線BD與AP相交于點M，直線DP與y軸相交于點N（1）求圓C的方程；（2）試問：直線MN是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，求出此定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由【解題分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合點在圓上，求出圓的半徑即可求圓C的方程；（2）根據(jù)條件求出直線MN的斜率，即可得到結(jié)論【解法】：（1），點在圓C：x2+y2=r2上，故圓C的方程為x2+y2=4（2）設(shè)P（x0，y0），則x02+y02=4，直線BD的方程為xy2=0，直線AP的方程為y=+2聯(lián)立方程組，得M（，），易得N（0，），kMN=2X=，直線MN的方程為y=x+，化簡得（yx）x0+（2x）y0=2y2x（*）令，得，且（*）式恒成立，故直線MN經(jīng)過定點（2，2）【點評】本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力變式4.已知O：x2y21和點M(4,2)(1) 過點M向O引切線l，求直線l的方程；(2) 求以點M為圓心，且被直線y2x1截得的弦長為 4的M的方程；(3) 設(shè)P為(2)中M上任一點，過點P向O引切線，切點為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由四、練習(xí)1.（08江蘇）設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C（）求實數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論2.已知定點G（3，0），S是圓C：（X3）2+y2=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E設(shè)點E的軌跡為M（1）求M的方程；（2）是否存在斜率為1的直線，使得直線與曲線M相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由3.如圖，點A，B，C是橢圓的三個頂點，D是OA的中點，P、Q是直線上的兩個動點。 （）當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為1時，求證：直線CD與BP的交點在橢圓上； （）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點，請說明理由。4.橢圓C:的左、右焦點分別是，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸、短軸端點外的任一點，過點P作直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)l與y軸的交點為A，過點P作與l