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文檔簡介
1、 問題背景圓過定點問題是高考中常見的題型,是圓的特殊性質(zhì),圓的方程在高考中是C級要求,對圓的性質(zhì)要求學(xué)生會運用。因此對計算的要求也比較高,圓相比較橢圓和雙曲線的性質(zhì)更具有特殊性。因此在近幾年各地的高考中屬于??碱}型。2、 常見的方法特殊化,消元法,換元法(整體換元、三角換元)等,主要思想方法:數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想。范例例1.二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點,經(jīng)過這三個交點的圓記為(1)求實數(shù)c的取值范圍;(2)求的方程;(3)問是否經(jīng)過某定點(其坐標(biāo)與c的取值無關(guān))?請證明你的結(jié)論【解題分析】(1)令x=0求出y的值,確定出拋物線與y軸的交點坐標(biāo),令f(x)=0,根據(jù)與x軸交點有兩個得到c不為0且根的判別式的值大于0,即可求出c的范圍;(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得,x2+Dx+F=0,這與x2x+=0是同一個方程,求出D,F(xiàn)令x=0得,y2+Ey+F=0,此方程有一個根為c,代入得出E,由此求得圓C的一般方程;(3)圓C過定點(0,)和(,),證明:直接將點的坐標(biāo)代入驗證【解法】:(1)令x=0,得拋物線與y軸的交點(0,c),令f(x)=3x24x+c=0,由題意知:c0且0,解得:c且c0;(2)設(shè)圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得到x2+Dx+F=0,這與x2x+=0是一個方程,故D=,F(xiàn)=;令x=0,得到y(tǒng)2+Ey+F=0,有一個根為c,代入得:c2+cE+=0,解得:E=c,則圓C方程為:x2+y2x(c+)y+=0;(3)圓C必過定點(0,)和(,),理由為:由x2+y2x(c+)y+=0,令y=,解得:x=0或,圓C必過定點(0,)和(,)【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題變式1.已知圓M的方程為x2(y2)21,直線l的方程為x2y0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA、PB,切點為A、B.(1) 若APB60,試求點P的坐標(biāo);(2) 若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C、D兩點,當(dāng)CD時,求直線CD的方程;(3) 求證:經(jīng)過A、P、M三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標(biāo)例2已知定點G(3,0),S是圓C:(X3)2+y2=72(C為圓心)上的動點,SG的垂直平分線與SC交于點E設(shè)點E的軌跡為M(1)求M的方程;(2)是否存在斜率為1的直線,使得直線與曲線M相交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由【解題分析】(1)由已知條件推導(dǎo)出點E的軌跡是以G,C為焦點,長軸長為6的橢圓,由此能求出動點E的軌跡方程(2) 假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,其方程為y=x+m,由,得3x2+4mx+2m218=0由此能求出符合題意的直線l存在,所求的直線l的方程為y=x或y=x2【解法】:(1)由題知|EG|=|ES|,|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6又|GC|=6,點E的軌跡是以G,C為焦點,長軸長為6的橢圓,動點E的軌跡方程為=1(4分)(2)假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,其方程為y=x+m,由消去y,化簡得3x2+4mx+2m218=0直線l與橢圓C相交于A,B兩點,=16m212(2m218)0,化簡得m227,解得3 x1+x2=,x1x2=以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點,=0,所以x1x2+y1y2=0又y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=+m2=0,解得m=(11分)由于(3,3),符合題意的直線l存在,所求的直線l的方程為y=x或y=x2【點評】本題考查點的方程的求法,考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用變式2已知橢圓,點是橢圓上異于頂點的任意一點,過點作橢圓的切線,交軸與點直線過點且垂直與,交軸與點試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點?若能,求出定點坐標(biāo);若不能,請說明理由.變式3已知圓C:,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點,若存在求出直線L的方程,若不存在說明理由例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x+1)2+y2=1,圓C2:(x3)2+(y4)2=1()判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系;()若動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長,則動圓C是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由【解題分析】()求出兩圓的圓心距離,即可判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系;()根據(jù)圓C同時平方圓周,建立條件方程即可得到結(jié)論【解法】:()C1:(x+1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑r=1,圓C2:(x3)2+(y4)2=1的圓心為(3,4),半徑R=1,則|C1C2|=,圓C1與圓C2的位置關(guān)系是相離()設(shè)圓心C(x,y),由題意得CC1=CC2,即,整理得x+y3=0,即圓心C在定直線x+y3=0上運動設(shè)C(m,3m),則動圓的半徑,于是動圓C的方程為(xm)2+(y3+m)2=1+(m+1)2+(3m)2,整理得:x2+y26y22m(xy+1)=0由,解得或,即所求的定點坐標(biāo)為(1,2),(1+,2+)【點評】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷,以及與圓有關(guān)的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的計算能力。例4如圖所示,已知圓C:x2+y2=r2(r0)上點處切線的斜率為,圓C與y軸的交點分別為A,B,與x軸正半軸的交點為D,P為圓C在第一象限內(nèi)的任意一點,直線BD與AP相交于點M,直線DP與y軸相交于點N(1)求圓C的方程;(2)試問:直線MN是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過定點,求出此定點坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由【解題分析】(1)根據(jù)條件結(jié)合點在圓上,求出圓的半徑即可求圓C的方程;(2)根據(jù)條件求出直線MN的斜率,即可得到結(jié)論【解法】:(1),點在圓C:x2+y2=r2上,故圓C的方程為x2+y2=4(2)設(shè)P(x0,y0),則x02+y02=4,直線BD的方程為xy2=0,直線AP的方程為y=+2聯(lián)立方程組,得M(,),易得N(0,),kMN=2X=,直線MN的方程為y=x+,化簡得(yx)x0+(2x)y0=2y2x(*)令,得,且(*)式恒成立,故直線MN經(jīng)過定點(2,2)【點評】本題主要考查圓的方程的求解,以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算能力變式4.已知O:x2y21和點M(4,2)(1) 過點M向O引切線l,求直線l的方程;(2) 求以點M為圓心,且被直線y2x1截得的弦長為 4的M的方程;(3) 設(shè)P為(2)中M上任一點,過點P向O引切線,切點為Q. 試探究:平面內(nèi)是否存在一定點R,使得為定值?若存在,請舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由四、練習(xí)1.(08江蘇)設(shè)平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點,經(jīng)過這三個交點的圓記為C()求實數(shù)b 的取值范圍;()求圓C 的方程;()問圓C 是否經(jīng)過某定點(其坐標(biāo)與b 無關(guān))?請證明你的結(jié)論2.已知定點G(3,0),S是圓C:(X3)2+y2=72(C為圓心)上的動點,SG的垂直平分線與SC交于點E設(shè)點E的軌跡為M(1)求M的方程;(2)是否存在斜率為1的直線,使得直線與曲線M相交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由3.如圖,點A,B,C是橢圓的三個頂點,D是OA的中點,P、Q是直線上的兩個動點。 ()當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為1時,求證:直線CD與BP的交點在橢圓上; ()設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點,試判斷以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點,請說明理由。4.橢圓C:的左、右焦點分別是,離心率為,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1(1)求橢圓C的方程;(2)點P是橢圓C上除長軸、短軸端點外的任一點,過點P作直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點,設(shè)l與y軸的交點為A,過點P作與l
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