（試題 試卷 真題）競賽講座 09圓

競賽講座09 圓基礎(chǔ)知識如果沒有圓，平面幾何將黯然失色圓是一種特殊的幾何圖形，應(yīng)當(dāng)掌握圓的基本性質(zhì)，垂線定理，直線與圓的位置關(guān)系，和圓有關(guān)的角，切線長定理，圓冪定理，圓和圓的位置關(guān)系，多邊形與圓的位置關(guān)系圓的幾何問題不是獨立的，它與直線形結(jié)合起來，將構(gòu)成許多豐富多彩的、漂亮的幾何問題，“三角形的心”，“幾何著名的幾何定理”，“共圓、共線、共點”，“直線形” 將構(gòu)成圓的綜合問題的基礎(chǔ)本部分著重研究下面幾個問題：1角的相等及其和、差、倍、分；2線段的相等及其和、差、倍、分；3二直線的平行、垂直；4線段的比例式或等積式；5直線與圓相切；6競賽數(shù)學(xué)中幾何命題的等價性命題分析例1已知為平面上兩個半徑不等的和的一個交點，兩圓的外公切線分別為，、分別為、的中點，求證：例2證明：唯一存在三邊長為連續(xù)整數(shù)且有一個角為另一個角的兩倍的三角形例3延長至，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一點，為銳角在線段上，在半圓上，且，求證：例4求證：若一個圓外切四邊形有兩條對邊相等，則圓心到另外兩邊的距離相等例5設(shè)是中最小的內(nèi)角，點和將這個三角形的外接圓分成兩段弧，是落在不含的那段弧上且不等于與的一個點，線段和的垂直平分線分別交線段于和，直線和相交于證明：例6菱形的內(nèi)切圓與各邊分別切于，在與上分別作切線交于，交于，交于，交于，求證：例7和與的三邊所在直線都相切，為切點，并且的延長線交于點求證：直線與垂直例8在圓中，兩條弦相交于點，為弦上嚴(yán)格在、之間的點過的圓在點的切線分別交直線、于已知，求（用表示）例9設(shè)點和是的邊上的兩點，使得又設(shè)和分別是、的內(nèi)切圓與的切點求證：例10設(shè)滿足，過作外接圓的切線，交直線于，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，由到所作垂線的垂足為，的中點為，交于點，證明直線為外接圓的切線例11兩個圓和被包含在圓內(nèi)，且分別現(xiàn)圓相切于兩個不同的點和經(jīng)過的圓心經(jīng)過和的兩個交點的直線與相交于點和，直線和直線分別與相交于點和求證：與相切例12已知兩個半徑不相等的和相交于、兩點，且、分別與內(nèi)切于、兩點求證：的充要條件是、三點共線例13在凸四邊形中，與不平行，過、且與邊相切于點，過、且與邊相切于點和相交于、，求證：平分線段的充要條件是例14設(shè)凸四邊形的兩條對角線與互相垂直，且兩對邊與不平行點為線段與的垂直平分線的交點，且在四邊形的內(nèi)部求證：、四點共圓的充要條件為訓(xùn)練題1內(nèi)接于，過、兩點的切線交于，為的中點，求證：（1）；（2）2已知分別是外接圓上不包含的弧的中點，分別和、相交于、兩點，分別和、相交于、兩點，分別和、相交于、兩點求證：的充要條件是為等邊三角形 3以的邊為直徑作半圓，與、分別交于點和，過、作的垂線，垂足分別為、線段、交于點求證：4在中，已知內(nèi)的旁切圓與相切于，內(nèi)的旁切圓與相切于，過和的中點和作一直線，求證：直線平分的周長，且與的平分線平行5在中，已知，過該三角形的內(nèi)心作直線平行于交于在邊上取點使得求證：6半圓圓心為，直徑為，一直線交半圓于，交于（）設(shè)是與的外接圓除點外之另一交點求證：為直角7已知，是銳角的角平分線，且求證： 8為的邊上任一點，分別為、的內(nèi)切圓半徑；分別為這三個三角形的旁切圓半徑（在內(nèi)部）求證：9設(shè)是的邊上的一個內(nèi)點，交外接圓于，、是分別到和的垂足，是直徑為的圓證明：與相切當(dāng)且僅當(dāng)10若是圓的弦，是的中點，過任意作弦和，連分別交于，則11設(shè)為的垂心，為該