高三數(shù)學函數(shù)中探索性問題北師大人教

高三數(shù)學函數(shù)中探索性問題上海市奉賢中學數(shù)學組教學目的：1，引導(dǎo)學生運用已有函數(shù)的認識探索未知的函數(shù)問題，形成自覺運用數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學思想方法分析問題解決問題的能力和意識。2，創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)學生主動參與、團結(jié)協(xié)作的精神，體驗數(shù)學探索研究的魅力。3，揭示數(shù)學研究活動的一般過程，培養(yǎng)學生觀察、類比、聯(lián)想、歸納的探索研究的思維方法，培養(yǎng)學生研究性學習的能力和創(chuàng)新精神。 教學重點：函數(shù)性質(zhì)研究的思想方法和數(shù)學研究活動的一般過程教學難點：運用多條性質(zhì)構(gòu)造函數(shù) 教學過程：一、引入由國際數(shù)學家大會引發(fā)的“數(shù)學熱”導(dǎo)出課題。二、學生探索過程問題一（1）函數(shù)是奇函數(shù)；（2）對于任意，都有；（3）函數(shù)在上單調(diào)遞減；（4）不是函數(shù)的最小值。根據(jù)以上條件，寫出一組能滿足其中三條性質(zhì)的函數(shù)的解析式。（學生研究討論，教師巡視指導(dǎo)）（學生成果展示，教師適時提問）教師點評小結(jié)：數(shù)學研究活動的一般過程發(fā)現(xiàn)問題產(chǎn)生聯(lián)想進行修正歸納論證問題二給出新的概念：對于任意定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則稱是函數(shù)在區(qū)間D上一個不動點。（對函數(shù)不動點概念的學習）請同學們在剛才研究1的基礎(chǔ)上，探求自己所得到的函數(shù)的不動點。將問題研究1中性質(zhì)（1）（2）（3）中一條修改為：“函數(shù)有2個或2個以上的不動點?！蹦芊駥懗鐾瑫r滿足四條性質(zhì)的一個函數(shù)解析式。（學生研究討論，教師巡視指導(dǎo)）（學生成果展示，教師適時提問）是否還有其他的研究設(shè)想？教師點評小結(jié)： 函數(shù)新性質(zhì)的理解中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)學研究活動的一般過程是發(fā)現(xiàn)與論證兩個過程。三、課堂小結(jié)1，研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法；2，數(shù)學研究活動的一般過程；3，數(shù)學學習的魅力。四、課后學習1、函數(shù)不動點的后續(xù)學習：（1）若函數(shù)在沒有不動點，求a的范圍。（2）對特殊函數(shù)不動點個數(shù)的研究。思考：a、是否存在無限個不動點的函數(shù)？若有指出其函數(shù)特征。b、定義在R上的奇函數(shù)的不動點若為有限個，則數(shù)目有什么特點？請證明你的結(jié)論。定義域不是R呢？c、問題b能否推廣至其他特殊的函數(shù)？2、每一位同學在學習中多嘗試對探索性問題的研究，將自己遇到的覺得有研究價值的問題推薦作為每日一題的材料，提供給大家討論研究。教案設(shè)計說明：函數(shù)中的一些開放性、研究性等探索問題，往往是圍繞著函數(shù)的基本性質(zhì)展開的。函數(shù)的性質(zhì)與圖象是高中數(shù)學中重要的內(nèi)容，在高三數(shù)學復(fù)習教學中占據(jù)重要地位。要求學生能夠靈活運用函數(shù)的性質(zhì)，掌握常用函數(shù)的圖象特征，并能運用函數(shù)的思想方法解決一些具體問題。本節(jié)課是“問題解決”課堂教學模式與開放型教學模式的綜合實踐課，在教學中以問題解決為核心，以學生探索為課堂主要活動方式。 “問題解決”課堂教學模式就是通過問題情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學生求知欲，以獨立思考和交流討論的形式，發(fā)現(xiàn)并解決問題，培養(yǎng)學生收集處理信息、獲取新知、應(yīng)用知識的能力，培養(yǎng)科學探索的思維習慣，增強團結(jié)協(xié)作的意識。開放型教學模式就是在課堂教學中使學生自然成為認知的主體，尊重學生以自己的方式構(gòu)建知識，體驗知識創(chuàng)新的樂趣，培養(yǎng)學生學習能力、探索能力與創(chuàng)新能力。函數(shù)中探索性問題的課題設(shè)計前提首先是根據(jù)對高三學生知識層面、能力水平的了解，學生已能獨立地研究一些函數(shù)問題；其次是平時在對新知識、新概念教學中實施“問題解決”課堂教學模式的實踐基礎(chǔ)上，嘗試開放性教學模式的研究與實踐，也為下階段在其他數(shù)學知識的復(fù)習中加強探索性問題的研究作好鋪墊。本節(jié)課的教學情感目標力求激發(fā)學生學習的興趣，讓學生體驗探索研究的樂趣，努力創(chuàng)設(shè)“自主、合作、體驗、發(fā)展”的課堂研究氛圍。教學知識目標的設(shè)計中考慮到學生探索未知函數(shù)問題的需要，著重培養(yǎng)學生觀察、類比、聯(lián)想、歸納的數(shù)學探索的思維方法，形成自覺運用數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學思想方法分析問題解決問題的能力和意識。教學能力目標是力求學生的探索活動中有意識地總結(jié)數(shù)學研究活動的一般過程，從問題的提出，運用函數(shù)圖象類比聯(lián)想到常見函數(shù)，再進行不斷的檢驗修正，并經(jīng)過實踐論證后直至問題的解決構(gòu)成一個數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)過程與論證過程。從而培養(yǎng)學生學習和實踐的能力以及創(chuàng)新精神，在鞏固基礎(chǔ)性學力的基礎(chǔ)上，逐步形成發(fā)發(fā)展性學力。改變學生的學習方式，推進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，主要取決于學生主體意識的形成和對學生主體參與能力的培養(yǎng)。在這堂課的設(shè)計中，從課題的引入到問題的研究，課后學習的延伸都以此為目標：1、課題引入：通過對國際數(shù)學家大會介紹，讓學生體驗數(shù)學美，并且在探索知識過程能感受到數(shù)學美，從而激發(fā)學生學習的興趣。2、問題研究1的情景創(chuàng)設(shè)為學生營造了濃厚的研究氣氛，促使他們?nèi)ニ妓鳎ヌ角?。鑒于學生已學過函數(shù)的性質(zhì)，為他們探索未知函數(shù)性質(zhì)具備了一定的基礎(chǔ)。讓學生通過獨立研究和小組的交流，變被動學習為主動探索，并逐步形成對數(shù)學研究活動的一般過程的認識。問題研究2是函數(shù)不動點性質(zhì)的逐步理解和運用的過程。而對自己構(gòu)造的函數(shù)進一步研究使學生的主體參與意識增強，同時也與問題研究1前后呼應(yīng)。在教學過程中，使學生能自覺的形成從方程的角度去研究函數(shù)的“數(shù)”的特征，從圖象的角度去研究函數(shù)“形”的特征的數(shù)學思想。3、40分鐘的學習畢竟是有限，課后準備的學習材料能使學生重溫課堂研究的成果，學習的時間和空間得以延伸。發(fā)現(xiàn)問題產(chǎn)生聯(lián)想進行修正歸納論證這堂課的教學重點一是函數(shù)性質(zhì)研究的數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合，類比聯(lián)想；二是揭示數(shù)學研究活動的一般過程：由性質(zhì)探求未知的函數(shù)解析式思維的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)繪出圖像，突破口是根據(jù)圖象性質(zhì)寫出解析式。前者需要數(shù)形結(jié)合，后者需要合理類比聯(lián)想。揭示數(shù)學研究學習的普遍性規(guī)律，可使學生在探索活動中自覺地運用積累的學習經(jīng)驗，使之更有經(jīng)驗，更具目的，也可發(fā)揮自己的想象力與創(chuàng)造力，進行發(fā)散性思維，從而發(fā)展了學生的數(shù)學思維，增強了數(shù)學素養(yǎng)，提高他們分析問題解決問題的能力。這堂課的教學難點在于運用若干函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)。因此課堂上的會出現(xiàn)意想不到的結(jié)果，這需要教師隨機應(yīng)變。一是學生在問題研究中存在開放性。在學生不盡相同的思維角度下，不同函數(shù)性質(zhì)的組合，聯(lián)想出不同的函數(shù)特征；相似的函數(shù)圖象，也會有不同的解析式。二是教師教法的開放性。學生對單一函數(shù)性質(zhì)的感性認識容易得到不完善的猜想，這就需要教師主導(dǎo)作用的發(fā)揮，指導(dǎo)他們不斷檢驗，修正猜想中不正確的部分最終歸納出改進的結(jié)論。學生活動的開放性，使教學中存在不確定因素，因此對教學提出了挑戰(zhàn)，這就需要教師要有充分的思想準備。（詳案）一、引入師：今年八月底，在北京召開了第24屆國際數(shù)學家大會。這次大會充分顯示了中國數(shù)學在世界數(shù)學界的地位，提出了“還數(shù)學于美麗”的口號。當然數(shù)學真正的魅力只有在研究與探索問題的過程中才能體驗到。今天，我們就一起去探索與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題，體驗數(shù)學研究的魅力。（引出課題板書：“函數(shù)中的探索性問題”）二、學生探索過程函數(shù)的性質(zhì)：（1）函數(shù)是奇函數(shù)；（2）對于任意，都有；（3）函數(shù)在上單調(diào)遞減；（4）不是函數(shù)的最小值。師：在一堂研究函數(shù)性質(zhì)的課上，老師與同學們一起研究了某個函數(shù)的性質(zhì)。小王同學在筆記中記下了以下幾條：（創(chuàng)設(shè)情景，屏幕顯示）在后來復(fù)習過程中，他發(fā)現(xiàn)，由于自己的疏忽，沒有記下該函數(shù)的解析式，可能也記錯了一條性質(zhì)。根據(jù)這些信息，我們能否找到一個具備上述四條性質(zhì)的函數(shù)？請同學們思考，給出回答。（學生思考問答）（1分鐘左右）生：不能。性質(zhì)1，2，3存在矛盾。師：為什么？可能的研究：因為奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則必在上單調(diào)遞減，不可能是對稱軸。若在上單調(diào)遞減，有對稱軸，則必在上單調(diào)遞增，則不可能是奇函數(shù)。若奇函數(shù)有對稱軸，則必有對稱軸，若在單調(diào)遞減，必在單調(diào)遞增，與函數(shù)在上單調(diào)遞減矛盾。尋找能滿足其中三條性質(zhì)的一個函數(shù)解析式。師：既然這樣，就請同學們探究出一組滿足三條性質(zhì)的函數(shù)解析式。（屏幕上打出研究問題）要求同學們能獨立研究（1分鐘左右）?？梢孕〗M討論，將自己的想法與同學共享，進行集體合作研究（4分鐘左右）。（學生思考討論，教師巡視指導(dǎo)）師：請部分小組派代表將他們的研究成果進行交流展示。上臺交流的同學分別談?wù)劒毩⑺伎嫉倪^程和小組交流的過程，展示你們研究探索的經(jīng)歷，讓同學們一起感受你們的得失成敗。（學Oxy生成果交流，教師適時追問）可能的研究： （設(shè)問）滿足1，3，4（發(fā)現(xiàn)問題）奇函數(shù)（聯(lián)想）正比例函數(shù)或奇次冪函數(shù)遞減（修正）更一般性的形式（歸納論證）注意：回答簡潔明了給予表揚：你的回答很好，說明對已學函數(shù)的性質(zhì)圖象掌握自如。若已回答出之類的提出追問：是否還有更具一般性的形式？。Oxy滿足2，3，4（發(fā)現(xiàn)問題）對稱軸（聯(lián)想）二次函數(shù)或V字形折線（分段函數(shù)）遞減（檢驗修正） 更一般性的形式（歸納論證）注意：若回答出二次函數(shù)提出問題：二次函數(shù)的性質(zhì)同學們掌握的情況相當好，是否還有更具一般性的形式？Oxy若沒有出折線（巡視）提出要求：是否還有不同與二次函數(shù)的研究設(shè)想？滿足1，2，4（發(fā)現(xiàn)問題）對稱軸（聯(lián)想）二次函數(shù)奇函數(shù)（修正）有周期性（聯(lián)想）三角函數(shù)（修正）（歸納論證）注意：若能有周期性折線深入追問：這位同學的想法十分精彩，那么能否寫出解析式？（不能，較為復(fù)雜）是否可以由此聯(lián)想到比較熟悉的數(shù)學知識呢？問題一的小結(jié)師：平時我們較多的是由已知函數(shù)出發(fā)探究函數(shù)性質(zhì)與圖象，今天正好反其道而行之。小王同學的粗心大意為大家提供一次進行逆向思維的過程，提供了一次運用所學的知識、能力思想方法解決問題的機會。發(fā)現(xiàn)問題產(chǎn)生聯(lián)想給予修正加以歸納在問題一的探索中，同學們的研究過程往往有以下共性：比如由性質(zhì)2，3，4組成所需研究的問題；再根據(jù)對稱軸、單調(diào)性的性質(zhì)聯(lián)想到了二次函數(shù)，；經(jīng)過其他性質(zhì)的檢驗，我們不斷修正自己探索中的函數(shù)表達式，最后歸納出更具一般性的形式加以論證。象這樣的過程是數(shù)學研究的一般過程。（板書“數(shù)學研究的一般過程”及流程圖）我們首先發(fā)現(xiàn)所需研究的問題，根據(jù)某些條件能聯(lián)想到已知的數(shù)學知識，再經(jīng)過不斷檢驗，修正自己的研究假設(shè)，最后歸納出一般的結(jié)論加以科學的論證，使該問題得以解決。了解數(shù)學研究活動的一般過程有助于我們更好的進行探索研究。另外，象這類條件和結(jié)論都不唯一函數(shù)開放性問題。研究時要求同學們能辨析問題的主干，結(jié)合對函數(shù)性質(zhì)與常見函數(shù)知識的遷移、聯(lián)想，合理運用數(shù)學思想比如數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想、分類討論等來解決問題，。小王同學在一次課外閱讀中發(fā)現(xiàn)了一個新的概念，就請老師推薦給同學們。（屏幕顯示）（學生閱讀思考）對于任意定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則稱是函數(shù)在D上一個不動點。師：思考一下，你們是如何理解這個概念的？注意：若回答“函數(shù)值與自變量相等”追問：由此能聯(lián)想到什么熟悉的數(shù)學知識呢？若回答出“交點”追問：如何求解？可能的想法：函數(shù)的不動點是方程的解，從圖象上觀察是函數(shù)圖象和直線的交點的橫坐標。（板書函數(shù)的不動點是方程的解，是函數(shù)圖象和直線的交點的橫坐標。）師：既然有方程的解與圖象交點的這兩個研究角度，那么我們就可以是從數(shù)和形兩個方面去研究這條性質(zhì)。就請同學們對你所得到的函數(shù)，進行一番函數(shù)不動點個數(shù)的研究?？梢杂懻摗＃▽W生研究）（1分鐘）。師：有什么樣的發(fā)現(xiàn)？生：我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)不動點不一定存在，存在也不一定唯一。若將問題研究1中性質(zhì)（1）（2）（3）中某一條修改為：“函數(shù)有2個或2個以上的不動點?！蹦芊駥懗鐾瑫r滿足四條性質(zhì)的一個函數(shù)解析式。師：如此說來，函數(shù)的不動點也是函數(shù)的一種特殊的性質(zhì)。那么若將問題研究1中性質(zhì)（1）（2）（3）中某一條修改為：“函數(shù)有2個或2個以上的不動點?！蹦芊駥懗鐾瑫r滿足四條性質(zhì)的一個函數(shù)解析式。（屏幕顯示）要求在研究探索過程中，能積極的討論，體驗數(shù)學研究活動的一般過程。（學生研究，教師巡視）Oxy（學生成果展示，教師適時提問）可能的研究： （設(shè)問）改2：滿足1，3，4+新性質(zhì)1個（“0”）就目前研究的函數(shù)，不存在2個或2個以上不動點。注意若回答出“一個”追問：那么對更具一般性的函數(shù)，它的不動點個數(shù)的情況如何？若回答出“總是一個”追問：對于修改了2的四條性質(zhì)，能否找到？Oxy改1：滿足2，3，4+新性質(zhì)二次方程的根的判別式2個，1個，沒有。滿足二次方程的根的判別式時函數(shù)有2個不動點。Oxy若回答出有關(guān)“交點”的情況追問：問題解決過程中，主要是從函數(shù)的數(shù)和形哪一個方面研究函數(shù)不動點的性質(zhì)的。曲線與直線的交點且沒有， 且無數(shù)個且、且、且1個且2個滿足且時函數(shù)有2個不動點；當且時函數(shù)有無數(shù)個不動點。注意：若回答出“無限個不動點”的說法表揚追問：若修改函數(shù)中某個常量，能否進行更具一般性的研究？Oxy改3：滿足1，2，4+新性質(zhì)（發(fā)現(xiàn)問題）|A|較大時，曲線與直線的交點有3個以上（奇數(shù)個）滿足|A|足夠大時函數(shù)有3個（奇數(shù)個）以上的不動點。注意：若回答出“A=1時3個不動點”追問：若修改函數(shù)中某一個常量，那么函數(shù)不動點的個數(shù)是否發(fā)生變化？有什么變化規(guī)律？問題二的小結(jié)師：在問題二的研究中：對新數(shù)學知識的學習，同學們能很快掌握函數(shù)不動點的概念。主要得力于對函數(shù)與方程之間“數(shù)”的關(guān)系，函數(shù)“形”的特征等角度的正確研究，這些都是探索函數(shù)的出發(fā)點，若能將“數(shù)”和“形”兩者有機的結(jié)合起來，則可使學習研究更直接，更清晰。發(fā)現(xiàn)問題產(chǎn)生聯(lián)想給予修正加以歸納我們發(fā)現(xiàn)問題二是問題一的繼續(xù)，起初研究函數(shù)并不完全符合修改后要求，但是通過同學們不斷的檢驗修正，將聯(lián)想、發(fā)散的論點中不正確的內(nèi)容加以改進，再歸納出一定的規(guī)律，從而找到了一系列滿足的函數(shù)解析式。這再一次