初中數(shù)學(xué)論文：用發(fā)現(xiàn)式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)之眼.doc

初中數(shù)學(xué)論文用發(fā)現(xiàn)式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)之眼摘 要 “做數(shù)學(xué)”是目前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要理念，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的體驗(yàn)、理解和反思的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)理解的重要性，認(rèn)為學(xué)生的實(shí)踐、探索與數(shù)學(xué)思考是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的主要條件。學(xué)生要想牢固地掌握有用的數(shù)學(xué)，就必須用發(fā)自內(nèi)心的喜好來(lái)創(chuàng)造并體驗(yàn)數(shù)學(xué)。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何開(kāi)啟學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼睛”，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光“自我發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)新知識(shí)（對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新的）的興趣，體驗(yàn)創(chuàng)造成功的樂(lè)趣進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)呢？根據(jù)筆者長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐及參與教學(xué)調(diào)研的結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生“動(dòng)手做發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”式一種十分有效的再創(chuàng)造式數(shù)學(xué)教學(xué)方法。關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 動(dòng)手 發(fā)現(xiàn) 體驗(yàn)成功根據(jù)初中學(xué)生的心理特征：他們喜歡把新的抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)跟具體現(xiàn)實(shí)及自己的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)圖表，模型和其它的具體手段進(jìn)行學(xué)習(xí)。從“讓學(xué)生學(xué)現(xiàn)實(shí)的，有用的數(shù)學(xué)”出發(fā)，結(jié)合初中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)內(nèi)容，挑選富有情境性，開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，設(shè)計(jì)符合初中學(xué)生心理特點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（其中有些實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生個(gè)體完成，有的則可以在課內(nèi)讓學(xué)生小組集體完成），從課內(nèi)外結(jié)合著手。根據(jù)學(xué)生充分的課前準(zhǔn)備，課內(nèi)動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，邊做便讓學(xué)生利用正式的表達(dá)，合作實(shí)驗(yàn)，討論交談，記錄下來(lái)的圖表，模型，數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行交流，寓學(xué)于樂(lè)，特別有利于學(xué)生創(chuàng)新的培養(yǎng)。筆者不避粗陋，就此方面談一下個(gè)人認(rèn)識(shí)。一、從嘗試整體化的思想設(shè)計(jì)再發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一道數(shù)學(xué)題構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)的處理（解題）要借用系統(tǒng)科學(xué)的思想方法.事實(shí)上，題目中的所有信息都是一個(gè)有機(jī)的整體，各部分之間的精彩配合是解題成功的必要前提，有人稱之為“整體方法”或“整體策略”，而實(shí)質(zhì)上是整體思想,它是系統(tǒng)科學(xué)中的整體性原理在解題中的應(yīng)用?！景咐浚ɑ梅教顢?shù)實(shí)驗(yàn)）把“1、2、3、4、5、6、7、8、9”九個(gè)數(shù)分別填入圖1的九個(gè)空格中，使每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)相加的和都相等。1、師生解題策略分析：abcdefghi圖2圖1(1) 學(xué)生解題策略分析：為了容易表述，現(xiàn)將九個(gè)方格子上的數(shù)字分別記為a、b、i（圖2）。首先，從圖形及數(shù)字的對(duì)稱性，容易產(chǎn)生直覺(jué)，e處的數(shù)字填5。然后可以發(fā)現(xiàn)a+i=b+h=c+g=d+f，這樣就把這八個(gè)數(shù)分成四組(a,i)、(b,h)、(c,g)、(d,f)，很顯然，它們與(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)一一對(duì)應(yīng)，從而說(shuō)明每行每列各數(shù)之和是15。接著嘗試實(shí)驗(yàn)，取a=1，則i=9，由于b+c=d+g=14，而它們四個(gè)數(shù)的和的最大值=5+6+7+8=3628，所以a=1嘗試失敗。繼續(xù)嘗試實(shí)驗(yàn)，取b=1，h=9，此時(shí)易想到a、c對(duì)應(yīng)著6、8，然后就不難得到九宮格中的各數(shù)了。(2) 教師的解題策略分析：首先，不管怎么填，這九個(gè)數(shù)的和是不變的，等于45（不變量1），根據(jù)每行的和相等，可得每行的和等于15（不變量2）。然后，根據(jù)(a+e+i)+(c+e+g)+(b+e+h)+(d+e+f)=415=60，得45+3e=60，解得e=5（不變量3）。接著再進(jìn)行上述的嘗試。2、實(shí)驗(yàn)步驟設(shè)計(jì)(1)給出問(wèn)題，學(xué)生嘗試填數(shù)。題意簡(jiǎn)明易懂，學(xué)生完全能夠自主實(shí)驗(yàn)，探索結(jié)論。(2)學(xué)生相互交流、討論。學(xué)生之間的差異是客觀存在的，讓學(xué)生進(jìn)行相互交流討論，可以發(fā)揮出學(xué)生的教育資源。(3)收集學(xué)生的答案，逐一比較。各小組之間的答案如下圖所示：圖5672159834 294753618圖3圖4276951438收集學(xué)生的答案之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比圖3與圖4的兩種填法，可以發(fā)現(xiàn)將圖3沿對(duì)角線折疊，可得圖4的結(jié)果；再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比圖3與圖5的兩種填法，可以發(fā)現(xiàn)將圖3沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)就可得到圖5的結(jié)果； (4)提出問(wèn)題，引導(dǎo)探索對(duì)比了各種答案之后，容易想到，如果把經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱變換后完全一致的兩種填法視為一種，那么到目前為止，我們只有一種填法。從而自然地引出，這個(gè)問(wèn)題只有一種填法，還是不止這一種填法？顯然，學(xué)生會(huì)對(duì)e的各種不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論，再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，反思。(5)抓住不變量，整體把握再次引導(dǎo)學(xué)生思考：運(yùn)用分類(lèi)討論的思想我們解決了這個(gè)問(wèn)題，但過(guò)程很繁瑣，本題有無(wú)簡(jiǎn)單易行的解法呢？在實(shí)驗(yàn)的時(shí)候我們著眼于各個(gè)具體的方格，感覺(jué)各個(gè)位置上的數(shù)字都會(huì)有許多種可能性，這樣的一一判別很繁瑣，現(xiàn)在我們換一種方式去思考，能否從整體上進(jìn)行把握，哪些量是不會(huì)改變的？通過(guò)老師的逐步引導(dǎo)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)其中的不變量，從而解決這個(gè)問(wèn)題。(6)對(duì)比反思，提煉思想最后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種解法進(jìn)行對(duì)比，提煉出其中的數(shù)學(xué)思想。通過(guò)學(xué)生實(shí)驗(yàn)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中利用直覺(jué)提出猜想，進(jìn)而檢驗(yàn)，得到問(wèn)題的解，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探索的第一個(gè)歷程。正當(dāng)學(xué)生沾沾自喜之際，就地取材，匯總學(xué)生答案，對(duì)答案進(jìn)行比較，引起思考，學(xué)生就不會(huì)滿足于僅僅填出答案，激起探索熱情。通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)他們進(jìn)行深入地思考，從而使學(xué)生感受到抓不變量的整體化思想。由于前一方法繁瑣只關(guān)心特解，而后一方法可從總體上認(rèn)識(shí)問(wèn)題，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的對(duì)比，就能深刻體會(huì)到整體化思想。二、從抽象概念的直觀化設(shè)計(jì)再發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過(guò)具體的直觀實(shí)驗(yàn)引入課題，有利于數(shù)學(xué)原理和概念的教學(xué)。列夫托爾斯泰曾說(shuō)：“知識(shí)，只有當(dāng)它靠積極的思維得來(lái)，而不是憑記憶得來(lái)的時(shí)候，才是真正的知識(shí)。”新理念就要求教師在概念教學(xué)中注重知識(shí)的生成，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供大量操作、思考與交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流與反思等過(guò)程，進(jìn)而在增加感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念?！景咐繜o(wú)理數(shù)的概念教學(xué)1、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：課前準(zhǔn)備一把剪刀、兩張同樣大小的正方形紙片（邊長(zhǎng)視為1）、計(jì)算器。實(shí)驗(yàn)要求：讓學(xué)生利用這些工具剪拼出面積為2的正方形；2、利用計(jì)算器探求 的小數(shù)部分。實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：考慮到本節(jié)課的特點(diǎn)和隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，他們的思維水平也在不斷提高，為此直接提出富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題“拼得的正方形的面積是多少？”“它的邊長(zhǎng)是多少？”“估計(jì) 的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間？”“能用分?jǐn)?shù)表示嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與探索，發(fā)展抽象思維能力在探索了以上幾個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，學(xué)生真實(shí)體會(huì)到了面積為2的正方形的邊長(zhǎng)不能用有理數(shù)來(lái)表示，但它確實(shí)存在，切身感受到除有理數(shù)外還有一類(lèi)數(shù)點(diǎn)出概念“無(wú)理數(shù)”。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：拼圖對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)易如反掌，通過(guò)動(dòng)手操作，班級(jí)交流，全班一致認(rèn)為最容易、最美觀的拼圖是： 因?yàn)橐呀?jīng)學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的概念，學(xué)生馬上就說(shuō)出了大正方形的邊長(zhǎng)是 。但接下去的“用計(jì)算器探求 的小數(shù)部分”就有點(diǎn)困難了，教師提示：（1）輸入大于1小于2的數(shù)，平方的結(jié)果比2大了，怎樣調(diào)整？結(jié)果比2小呢？（2） 我們能否找到一個(gè)有限的小數(shù),使得它的平方剛好等于2？（3）大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)1.4142出現(xiàn)循環(huán),那你認(rèn)為在省略號(hào)的背后, 有沒(méi)有可能出現(xiàn)循環(huán)?從而引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)到：事實(shí)上, =1.4142是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。在動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)和展示結(jié)果的過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)、培養(yǎng)合作精神，并從中體驗(yàn)成功的喜悅，當(dāng)然加深了學(xué)生對(duì)概念的理解。三、從加深理解的角度設(shè)計(jì)再發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)壓縮了學(xué)習(xí)知識(shí)的思維過(guò)程，往往造成感知與概括之間的思維斷層，既無(wú)法保證教學(xué)質(zhì)量，更不可能發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)策略。新理念提倡重視過(guò)程教學(xué)，在揭示知識(shí)生成規(guī)律上，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，從而理解更深刻?！景咐咳切稳扰卸l件的探索課前要求準(zhǔn)備好刻度尺、量角器、紙板、剪刀等課堂上教師先告訴學(xué)生今天要研究三角形全等的判定方法，然后請(qǐng)學(xué)生按以下程序操作并思考實(shí)驗(yàn)的道具：一張邊長(zhǎng)分別為13cm，10cm，8cm三角形紙片，五根邊長(zhǎng)分別為13cm，10cm，8cm，12cm，7cm的木棒，一張實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。實(shí)驗(yàn)步驟：（1）取一條木棒使其長(zhǎng)為三角形紙片一邊的長(zhǎng)（如：取10cm的木棒），再取兩根木棒，長(zhǎng)度與三角形紙片另兩邊都不相等，兩個(gè)三角形能重合嗎?ABCABC實(shí)驗(yàn)結(jié)果：只有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能重合。（學(xué)生回答）（2）取兩根木棒使其長(zhǎng)分別等于三角形紙片兩條邊的長(zhǎng)度（如：取10cm，13cm的木棒），再取一根木棒，長(zhǎng)度與三角形紙片另一邊不相等，兩個(gè)三角形能重合嗎?ABCABC實(shí)驗(yàn)結(jié)果：只有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不能重合。（學(xué)生回答）（3）取三根木棒使其長(zhǎng)分別等于三角形紙片三邊的長(zhǎng)度，兩個(gè)三角形能重合嗎?CABCAB實(shí)驗(yàn)結(jié)果：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形能夠重合。完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，以4人小組為一個(gè)單位，討論實(shí)驗(yàn)的結(jié)論，選出代表發(fā)表結(jié)論。再次探索：?jiǎn)枺喝呴L(zhǎng)度發(fā)生變化結(jié)論是否還成立？請(qǐng)按照下面的方法,用刻度尺和圓規(guī)畫(huà) DEF,使其三邊分別為8cm，6cm，5cm。畫(huà)法：1、畫(huà)線段EF=8cm，2、分別以E，F(xiàn)為圓心，6cm，5cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)兩條圓弧，交于點(diǎn)D（與D），3、連接DE，DF。師生共同完成作圖，以4人小組為單位，互相比較三角形是否重合，再次展開(kāi)討論，并發(fā)表結(jié)論。教師總結(jié)：一般地，有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”)即若AB=AB,BC=BC,CA=CA,則ABCABCCABCAB 實(shí)驗(yàn)報(bào)告單（附）只一邊對(duì)應(yīng)相 等只兩條邊對(duì)應(yīng)相等三條邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形是否重合結(jié) 論這類(lèi)設(shè)計(jì)的模式是：特殊一般特征特殊特征由于這一判定方法是以公理形式出現(xiàn)的，所以只要學(xué)生認(rèn)可即可這時(shí)，教師提醒學(xué)生每個(gè)同學(xué)得到的結(jié)論都一樣，這其實(shí)是實(shí)驗(yàn)證明了結(jié)論的正確性.再發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)不是把數(shù)學(xué)知識(shí)直接告訴學(xué)生，而是通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、合作探究獲得的，這是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程在這一過(guò)程中，通過(guò)動(dòng)手操作，把學(xué)生推到思維的前沿，把課堂交給了學(xué)生，給學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)、自主探索、合作交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在自主的思維活動(dòng)中去構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣既加強(qiáng)了數(shù)學(xué)交流，又培養(yǎng)了合作精神對(duì)于三角形內(nèi)角和定理、SAS、ASA、AAS公理，圓的軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)不變性等內(nèi)容的教學(xué)，都可以采用操作性實(shí)驗(yàn)教學(xué)法四、從極限的數(shù)學(xué)問(wèn)題的矛盾出發(fā)設(shè)計(jì)再發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)生的創(chuàng)新思維往往來(lái)自與學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維“偏差”和好奇心。學(xué)生在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，往往表現(xiàn)為隨著時(shí)間的推移，好奇心越來(lái)越弱，越來(lái)越順著老師講課的思維想問(wèn)題，思維中的“偏差”越來(lái)越少，思維的亮點(diǎn)也越來(lái)越少。而實(shí)驗(yàn)教學(xué)恰恰是提供學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)、嘗試錯(cuò)誤和猜想檢驗(yàn)的機(jī)會(huì)，只要教師善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，善于捕捉學(xué)生思維“偏差”的契機(jī)，恰當(dāng)引導(dǎo)，有時(shí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)會(huì)收到意想不到的效果?！景咐俊耙粡埣埌赐环较?qū)φ?，?duì)折次數(shù)能否超過(guò)7次？”這是筆者在教乘方時(shí)留給學(xué)生的一個(gè)數(shù)學(xué)思考題典例。有一次，一個(gè)調(diào)皮的學(xué)生問(wèn)了一句：“這個(gè)怎么折啊？”一個(gè)極限的數(shù)學(xué)問(wèn)題立即就演變成為一件棘手的課堂突發(fā)事件，怎么辦？于是筆者因勢(shì)利導(dǎo)，請(qǐng)全班同學(xué)馬上動(dòng)手做折紙實(shí)驗(yàn)：用練習(xí)本大小的紙你最多能對(duì)折多少次？課內(nèi)折紙實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：按同一方向?qū)φ?，練?xí)本的紙最多能折6次，超過(guò)6次的學(xué)生是按不同方向?qū)φ鄣玫降?。教師趁機(jī)提問(wèn)：?jiǎn)栴}：一般情況下，按同一方向?qū)φ?，為什么無(wú)法把一張紙對(duì)折超過(guò)7次？將其布置為學(xué)生需要長(zhǎng)期思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察等手段課后進(jìn)行解決。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：一些學(xué)生用紙反復(fù)對(duì)折，合作討論后發(fā)現(xiàn)：每次對(duì)折后紙的厚度就增加一倍，而寬度則減少一半，在紙的寬度不及其厚度的2倍時(shí)，就無(wú)法再將它對(duì)折了。一張紙對(duì)折了7次后，厚度是原來(lái)的128倍，而寬度則是原來(lái)的 ，這樣就接近了可以對(duì)折的極限。對(duì)于上述數(shù)學(xué)例子，教師應(yīng)該因勢(shì)利導(dǎo)，可以變成很好的教學(xué)資源進(jìn)行開(kāi)發(fā)，使學(xué)生通過(guò)學(xué)數(shù)學(xué)而變得聰明起來(lái)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引入，尤其是計(jì)算機(jī)參與下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引入，給我們的數(shù)學(xué)課注入了許多活力，更能給予學(xué)生一個(gè)“完整的數(shù)學(xué)”，培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的習(xí)慣，培養(yǎng)