2一元二次方程根的分布.doc

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用。函數(shù)與方程思想：若=與軸有交點(diǎn)()=0若=()與=()有交點(diǎn)(，)=有解。下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹一元二次方程實(shí)根分布的充要條件及其運(yùn)用。一一元二次方程根的基本分布零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程（）的兩個(gè)實(shí)根為，且。【定理1】，(兩個(gè)正根)，推論：，或上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到?！纠?】 若一元二次方程有兩個(gè)正根，求的取值范圍。分析：依題意有03）【定理3】【例3】 在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根？分析：依題意有03【定理4】 ，且；，且?！纠?】 若一元二次方程有一根為零，則另一根是正根還是負(fù)根？分析：由已知3=0，=3，代入原方程得3+5=0，另一根為負(fù)。二一元二次方程的非零分布分布設(shè)一元二次方程（）的兩實(shí)根為，且。為常數(shù)。則一元二次方程根的分布（即，相對(duì)于的位置）有以下若干定理?！径ɡ?】【定理2】。【定理3】。推論1 。推論2 ?！径ɡ?】有且僅有（或）【定理5】或此定理可直接由定理4推出，請(qǐng)讀者自證?！径ɡ?】或三、例題與練習(xí)【例5】 已知方程的兩實(shí)根都大于1，求的取值范圍。（）（2）若一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根都大于-1，求的取值范圍。 （）（3）若一元二次方程的兩實(shí)根都小于2，求的取值范圍。 （）【例6】 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范圍。 （）（2）已知方程有一實(shí)根在0和1之間，求的取值范圍。 （）（3）已知方程的較大實(shí)根在0和1之間，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 變式：改為較小實(shí)根 （不可能；）（4）若方程的兩實(shí)根均在區(qū)間（、1）內(nèi)，求的取值范圍。 （）（5）若方程的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求的取值范圍。 （）（6）已知關(guān)于的方程的兩根為且滿足，求的取值范圍。 （或）【例7】 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題，解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.技巧與方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得.(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0m1是因?yàn)閷?duì)稱軸x=m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)練習(xí)：1 若方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根，求的取值范圍。提示：令=轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根。答案：012 若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。提示：原方程等價(jià)于即令=+12+6+3(1) 若拋物線=與軸相切，有=1444(6+3)=0即=。O206將=代入式有=6不滿足式，。(2) 若拋物線=與軸相交，注意到其對(duì)稱軸為=6，故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有且僅有一個(gè)滿足式的充要條件是解得。當(dāng)時(shí)原方程有唯一解。另法：原方程等價(jià)于+20=863(0)O2061633問題轉(zhuǎn)化為：求實(shí)數(shù)的取值范圍，使直線=863與拋物線=+20(0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。雖然兩個(gè)函數(shù)圖像都明確，但在什么條件下它們有且只有一個(gè)公共點(diǎn)卻不明顯，可將變形為+12+3=6(0)，再在同一坐標(biāo)系中分別也作出拋物線=+12+3和直線=6，如圖，顯然當(dāng)36163即時(shí)直線=6與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。3 已知=()()2()，并且，是方程=