分析數(shù)學教案第一章.doc

分析數(shù)學教案主講人 姜廣浩淮北師范大學數(shù)學科學學院2014年2月20日第一章 一元函數(shù)的極限 1.1 利用定義及迫斂性定理求極限設表示實數(shù)集合,表示擴張的實數(shù)集,即.例1 若.證明 (算術(shù)平均值收斂公式).證明 (1)設,由,當時, .因此,其中.又存在,當時, .因此當時, .(2) 設,則,當時,.因此,其中.由于,所以存在,當時, ,.因此.(3) 當時,證明是類似的.(或令轉(zhuǎn)化為(2).注 例1的逆命題是不成立的.反例為,容易看出,但是極限不存在.例2 設為單調(diào)遞增數(shù)列, .證明若,則證明 由為單調(diào)遞增數(shù)列,當時有.固定,則有,其中.令,則.又由于,所以.令,由迫斂性定理得注 當為單調(diào)遞減數(shù)列時,上述結(jié)論也成立.例3 設數(shù)列收斂,且,證明.(幾何平均值收斂公式).證明 設,則由極限的不等式性質(zhì)得.（方法一）(1)若,則,由例1, .因此(2)若,則.因此,.（方法二）(1)若,則由,得.再由不等式及例1和迫斂性定理得(2)若,則由不等式及例1和迫斂性定理得注 可以證明當時結(jié)論也成立.此外，可以轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)列形式: .而作為冪指函數(shù)的特例一般又可以轉(zhuǎn)化為的形式,這種轉(zhuǎn)化在考研解題中經(jīng)常見到.例4 設,證明:若存在,則也存在且.證明 令,.由例3得, .所以.例5 證明.證明（方法一） 設,則().由例4得（方法二） 利用司特林(Stirling)公式得（方法三）利用定積分的定義.原極限=.其中 .例6 設,().令.證明 .證明 （方法一）.由于數(shù)列收斂,故是有界的.設,則.利用例1得.（方法二）.易知,當時,由例1，二、三項極限為0.下證第四項為0.由于數(shù)列收斂,故是有界的.設,則（利用例1）.故.例7 設.證明.證明 由,當時, .所以,其中.又存在,當時, .故當時, .例8 證明.證明 令,則.所以.由迫斂性定理得, ().所以.例9 求極限.解 以下不等式是顯然的: .再由例8與迫斂性定理得所求極限為1.也可以利用例1的結(jié)論.例10 求數(shù)列的極限.解 由，知.這個式子相加得,由迫斂性定理，.同理可求,故數(shù)列的極限為2.例11 設，.試證.證明 注意到，由 （1）由條件,有,當時, ,即.令則當時,有從而有.再由（1）得. 注 為了證明 ，關鍵問題在于證明能任意小.為此，一般說來應盡可能將的表達式化簡.但有時雖然不能簡化，反倒可以把變復雜化，變成與相類似的形式.這種方法稱為擬合法.擬合法的思想實質(zhì)是將單位1作適當?shù)姆纸?，分析?shù)學利用這種擬合法，解決了不少最大問題，也是考研熱點.例12 設是兩個定數(shù),且當時.證明.證明 由, ,相加得.所以.這里利用無窮等比數(shù)列求和公式.這推出.例13 設,求極限.分析 若極限存在且為,則.由此解得.再由知.故.此外，本題利用擬合法.解 令,我們有.由上述遞推關系可得,由于,故得.例14 設,求極限.分析 若極限存在且為,則.由此解得.再由知.故.解 由得.同理有.一般情況有.所以.注 此題般結(jié)論：設,則.例15 設是正數(shù),對任意自然數(shù),令.證明.證明 ,同理.兩式相除得.由歸納法得.由于,得到.所以.若不存在，則必有,矛盾！從而.1.2 Stolz定理及其應用 定理1 設是趨于零的數(shù)列, 嚴格遞減趨于零,則當存在或為、時，有.證明 設.(1) 若是有限實數(shù),則,當時,有.由于,所以,上述各式相加得 .在上式中固定并令,由于,得 .注意到,由上式便得.所以.(2)若,則,當時,有 .仿照(1)中的證法可得,對任意自然數(shù),有,固定并令,得.所以.(3)若,可用代替轉(zhuǎn)化為(2)的情形.定理2 設是任意數(shù)列, 嚴格遞增趨于,則當存在或為、時，有.證明 設.(1) 若是有限實數(shù),則,當時,有.由于,所以,上述各式相加得 .由此便得 .所以. 由恒等式得由于(),當時,有.因此當時, .這證明了.(2)若,則當充分大時,有.由(),可知(),且數(shù)列嚴格遞增.注意到,由(1)的結(jié)論得.從而.(3)若,可用代替轉(zhuǎn)化為(2)的情形.定理1與定理2統(tǒng)一稱為Stolz定理.例1 利用Stolz定理.證明(1例7)：設.證明.證明 令, ,則嚴格遞增趨于,由定理2,例2 求極限,其中為自然數(shù).解 令, ,由定理2,.（抓大頭思想）其中倒數(shù)第二式中表示關于的次數(shù)為的一個多項式.注 二項式定理在數(shù)學分析解題中經(jīng)常用到，本題只需抓住主要項次展開.例3 求極限,其中為自然數(shù).解 令, ,由定理2,.（抓大頭思想）其中倒數(shù)第二式分子與分母中的均表示關于的次數(shù)為的多項式.注 例3中當不是自然數(shù)時,只要(該條件保證),利用定理2,并令,我們有.再利用求函數(shù)極限的羅必塔法則,可以求出最后一式的極限為.例4 設.試證:極限存在時, .證明 因,而極限存在,故只需證明第一項趨于零.令,則由條件知,且.于是(應用定理2).例5 設,.證明.證明 由條件.用數(shù)學歸納法容易證明對所有自然數(shù)有,即.所以數(shù)列是嚴格單調(diào)遞減有下界的.由單調(diào)有界定理,極限存在,設極限值為.在中令得,由此得.由于嚴格單調(diào)遞增趨于,根據(jù)定理2, .注 此類型題目2011年華中師范大學碩士入學考試數(shù)學分析試卷出現(xiàn)過.1.3 利用壓縮影像原理和單調(diào)有界定理求極限壓縮影像原理 設可導且,是常數(shù).給定,令.證明序列收斂.證明 由拉格朗日中值定理，得.其中介于之間.故對任意自然數(shù),（,).由柯西收斂準則收斂.注 (1)利用壓縮影像原理必須保證是否保持在成立的范圍之內(nèi).(2) 稱為壓縮映射(因為) 例1 (1例11)：設,求極限.解 令(),則.又(),故稱為壓縮映射.由壓縮影像原理, 收斂.再對遞推公式,兩邊取極限即可. 例2 (1例13)：設是正數(shù),對任意自然數(shù),令.證明. 證明 令(),則.又(),從而有.故稱為壓縮映射.由壓縮影像原理, 收斂.再對遞推公式,兩邊取極限即可.注 本題還可以利用單調(diào)有界定理.例3 設,當時, .求.解 （法一）壓縮映射原理 令(),則.又(),從而有.故稱為壓縮映射.由壓縮影像原理, 收斂.再對遞推公式,兩邊取極限結(jié)合得.（法二）單調(diào)有界定理 顯然.由于與,所以,即單調(diào)遞減且有下界.故極限存在,令.由遞推關系式得.解得,即.例4 證明序列2, ,收斂,并求其極限.解 從序列特征可以看出,相鄰兩項的關系是 (1).（法一）壓縮映射原理 令(),則.又(),從而有.故稱為壓縮映射.由壓縮影像原理, 收斂.再對遞推公式,兩邊取極限結(jié)合得.（法二）變量代換方法 因此,設收斂,則極限滿足方程.又,所以.令 (2).(2)代入(1), (3).則將滿足(1)的序列的問題,轉(zhuǎn)化為滿足(3)的序列的問題.事實上, ,.由(3)利用數(shù)學歸納法,易證,即.例5 設, .求.解 容易證明單調(diào)遞增.現(xiàn)證對任意自然數(shù),.當時顯然成立.歸納假設.則.由單調(diào)有界定理, 有極限.設.對兩邊取極限得.解得.由于,故得.例6 設,證明收斂.證明 由的定義, .先證是單調(diào)遞減的.要證,只需證,即證.而恒成立.再證是單調(diào)遞減的.由于單調(diào)遞減趨于,故.取對數(shù)得,.所以這證明了單調(diào)遞減.最后證有下界0.又由于單調(diào)遞增趨于,可得不等式.因此.所以,由單調(diào)有界定理,收斂.設,這里稱為Euler常數(shù).可以證明.注 1. ，其中.2. 是單調(diào)遞減的也可以利用的導函數(shù)小于零來證,或者借助于不等式：,即 來證.3. 類似可以證明是單調(diào)遞增的.例7 設,且對任意自然數(shù),其中.求.解 由于,與故與同號.因此當時有,此時遞增有上界;當時有,此時遞減有下界.所以收斂,設.則.因為,解得,即. 例8 設, .求.解 若極限存在,設為,則,.因,.若,則;若,則.即在的左右來回跳動,而知: , (1).若收斂于,則,也收斂于.猜想:是否在左端單調(diào)遞增到,在右端單調(diào)遞減到.下面來考察的符號. (2).式(1),(2)表明以為上界, 以為下界.因此二子列收斂.記,.在式及中令,有,.所以.既然,故.注 此題等同于下面題目：設為斐波那契(Fibonacci)數(shù)列，又稱兔子數(shù)列，即,記.求.1.4 求函數(shù)極限的幾種方法一、 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限定理 (復合函數(shù)求極限定理) 設函數(shù)在連續(xù),函數(shù)有性質(zhì),則.推論 設,則.證明 由復合函數(shù)求極限定理, 例1 求極限解 令,則當時.解得.故.注 此例中取,得數(shù)列極限, .此外,其中.例2 求極限解 令,則().由于,所以.例3（例2推廣）已知且.求證證明 由條件可得其中,.于是，().令,則().由于,（由例2中的注）所以.注 此題目為2009年合肥工業(yè)大學碩士入學考試數(shù)學分析試題.例4 求極限.解 .由于,所以.例5 求極限.解 注意到（利用等價代換或者洛必達法則）,我們有.注 .練習 證明 (1) ; (2) .二、利用微分學方法(LHospital法則,Taylor公式)求極限例6 求極限.解 由導數(shù)公式得由LHospital法則得.例7 求極限.解 利用LHospital法則與等價無窮小代換得(等價無窮小代換) (化簡) (LHospital法則) .例8 設. 證明（1）；（2）.證明 （1）由條件.由,得對所有自然數(shù)成立，且當時，必有.又有.所以數(shù)列是嚴格單調(diào)遞減有下界的.由單調(diào)有界定理,極限存在,設極限值為.在（第二個等式成立是因為：當時，）中，令得,由此得.（2）由于嚴格單調(diào)遞增趨于,根據(jù)Stolz定理, =3.這里.注 此題目為2011年華中師范大學碩士入學考試數(shù)學分析試題.例9 求極限. 解 由指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性與LHospital法則得.其中表示指數(shù)函數(shù).注 推廣.例10 求極限.解 原極限可化簡為. (*)(*)式中分母的極限為,因此只要求分子的極限.(利用代換) (例6)因此.例11 設在上連續(xù),且,求數(shù)列極限解 將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限,然后利用LHospital法則 (變量代換)(將換成連續(xù)變量)(LHospital法則) .練習 設在上連續(xù),且,求數(shù)列極限 (答案)注 本題利用了最樸素的數(shù)學思想換元法,這在解題中經(jīng)常用到.例12 求極限.解 由LHospital法則得，練習 求極限 (答案1)例13 求極限,其中連續(xù)可導, .解 由條件知，.再由LHospital法則得，（LHospital法則）（）.例14 已知,求解 由LHospital法則，已知條件可化為.此時，必有.否則，若，則,矛盾！故.又,故.例15 求極限.解 利用Taylor公式 ,我們有.例16 求極限.解 利用Taylor公式 ,我們有.三、利用定積分求極限定理2 (1)若在上可積,則.(2) 若在內(nèi)單調(diào),且積分存在(可以是非正常積分),則(當0是瑕點時) (當1是瑕點時).(3) 若在內(nèi)單調(diào)遞減,且積分存在,則.證明 (1)由定積分定義直接得.(2)當在上可積時結(jié)論顯然成立.設是非正常積分,不妨設0是瑕點并設在內(nèi)單調(diào)遞減,顯然有 .對求和得.令,注意到,得.(3) 由于在內(nèi)單調(diào)遞減,對任意正數(shù)有. 對求和得.令得.再令得.例17 求極限,其中是大于