直線與平面習(xí)題精選精講.doc

習(xí)題精選精講 直線與平面（1）線面關(guān)系空間圖形起源平面直線問(wèn)題在平面幾何中已經(jīng)解決，這里所說(shuō)的線面關(guān)系是平面和平面外的直線關(guān)系.一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線和平面平行沒(méi)有公共點(diǎn).一桿立地，使圖形從平面伸展到空間，因此說(shuō)空間線面關(guān)系是空間圖形的起源.直線與平面垂直，是空間圖形的支柱，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn).【例1】如圖（1），已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)（）求證AM平面BDE；（）求證AM平面BDF；【解析】()記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,如圖（2） 圖（1） O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，四邊形AOEM是平行四邊形，AMOE平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE圖（2） 圖（3）（）如圖（3），BDAC，BDAF，且AC交AF于A，BD平面AE，又因?yàn)锳M平面AE，BDAM.AD=，AF=1，OA=1，AOMF是正方形，AMOF，又AMBD，且OFBD=O.AM平面BDF.【點(diǎn)評(píng)】 線面平行只要平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行就能判定，即最終于由兩條直線決定；而線面垂直時(shí)，需要平面外一直線與平面內(nèi)兩條直線垂直，而且這兩條直線必須相交，即需要三條直線決定.（2）線線關(guān)系尋找平面依托直線與平面位置關(guān)系的判定是通過(guò)直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系而確定的，即通過(guò)線線關(guān)系而最終確定.但，空間直線不能“懸空”，空間直線要尋找平面為依托.空間線線關(guān)系有三種，相交和平行屬平面幾何范疇，只有異面直線是空間圖形的象征.異面直線的定義為“不同在同一平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線”這才是空間概念.異面直線既是空間圖形的開(kāi)場(chǎng)白，也是空間圖形的結(jié)束語(yǔ).空間圖形一開(kāi)場(chǎng)，就介紹了異面直線的判定定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線.直到空間圖形的理論學(xué)完，才會(huì)用“角度和距離”來(lái)確定兩異面直線間的相對(duì)位置.從根本上講，研究空間圖形，就是研究?jī)僧惷嬷本€間的關(guān)系.【例2】已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：若；若；若；若a與b異面，且相交； 若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4【解】舉反例，找模型，如圖（4）.如圖所示：AB=a,BC=b,CC1=c，而AB與CC1是異面直線，即a、c是異面直線；所以不正確；是正確的；在右圖中取AB=a,平面CDD1C1是平面，CC1=b,而AB與CC1是異面直線，即a與b是異面直線；右圖中設(shè)AB=a,MN=b，平面CDD1C1為，則b也平行于，所以也不正確；在圖中設(shè)AB=a,B1C1=b,則垂直于a,b的直線有 圖（4）AA1，BB1，CC1，DD1，MN.所以也不正確所以真命題只有，即真命題的個(gè)數(shù)只有1個(gè)，答案選A.【點(diǎn)評(píng)】 線離不開(kāi)面，因此我們選擇了一個(gè)正方體作模型，線與線的關(guān)系一目了然.（3）面面關(guān)系歸到線面處理不同的平面建構(gòu)出了空間，也就是說(shuō)空間是由（不同）平面建設(shè)起來(lái)的.如何解決空間圖形問(wèn)題？通俗地說(shuō)：從哪兒來(lái)，回哪兒去！面面關(guān)系問(wèn)題，首先退到線面關(guān)系上去研究.兩個(gè)平面的平行問(wèn)題, 退到直線與平面平行上去研究； 兩個(gè)平面的垂直問(wèn)題，退到直線與平面垂直上去研究；兩個(gè)平面所成二面角的問(wèn)題，退到平面角上去研究.這就是空間幾何：從概念上講，從平面“進(jìn)到”空間見(jiàn)所有的判定定理；從研究上講，從空間“退到”平面見(jiàn)所有的性質(zhì)定理.【例3】已知：，l，求證：l【證法一】：如圖（5），在內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA垂直于與的交線于A，PB垂直 于與的交線于B，則PA，PB，l，lPA，lPB，與相交，PA與PB相交，又PA，PB，l圖（5） 圖（6）【證法二】：如圖（6），在內(nèi)作直線m垂直于與的交線，在內(nèi)作直線n垂直于與的交線，m，n，mn，又n，m，ml，l圖（7）【證法三】：如圖（7），在l上取一點(diǎn)P，過(guò)P作的垂線l【點(diǎn)評(píng)】證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個(gè)平面”的這一性質(zhì)，添加了在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線這是證法一、證法二的關(guān)鍵證法三是利用“如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)”這一性質(zhì)，添加了l這條輔助線，這是證法三的關(guān)鍵通過(guò)比較，應(yīng)仔細(xì)體會(huì)兩平面垂直時(shí)，添加輔助線的方法 通法 特法 妙法（1）定理法判定與性質(zhì)的雙刃劍線線關(guān)系，線面關(guān)系及面面關(guān)系的判定定理及性質(zhì)定理，都是判定它們的關(guān)系的理論依據(jù).【題1】在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：ADCC1；(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1側(cè)面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要條件嗎？請(qǐng)你敘述判斷理由.【解析】 (1)證明：AB=AC，D是BC的中點(diǎn)， 圖（9）ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD側(cè)面BB1C1CADCC1.(2)證明：延長(zhǎng)B1A1與BM交于N，連結(jié)C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1側(cè)面BB1C1C，C1N側(cè)面BB1C1C截面C1NB側(cè)面BB1C1C截面MBC1側(cè)面BB1C1C.(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過(guò)M作MEBC1于E，截面MBC1側(cè)面BB1C1CME側(cè)面BB1C1C，又AD側(cè)面BB1C1C.MEAD，M、E、D、A共面AM側(cè)面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)AM=DE=AA1，AM=MA1.【點(diǎn)評(píng)】本題用到線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理. (3)的結(jié)論在證必要性時(shí)，輔助線要重新作出.本題屬于知識(shí)組合題類，關(guān)鍵在于對(duì)題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.（2）轉(zhuǎn)化法空間圖形退到平面1.平行轉(zhuǎn)化2.垂直轉(zhuǎn)化每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的.例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【題2】 兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求證：MN平面BCE.【分析】 證法一利用線面平行的判定來(lái)證明.證法二通過(guò)證面面平行來(lái)證線面平行.【證法一】：作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，則MPAB，NQAB.MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE. 圖（11） 圖（12）【證法二】：如圖過(guò)M作MHAB于H，則MHBC，連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得MN平面BCE.【點(diǎn)評(píng)】 解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))線(外)線(外)面.或轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)平面平行.證法二中要證線面平行，通過(guò)轉(zhuǎn)化證兩個(gè)平面平行，正確的找出MN所在平面是一個(gè)關(guān)鍵.（3）模型法抽象關(guān)系變?yōu)榫唧w構(gòu)造輔助圖形解立體幾何題是立體幾何解題中的一個(gè)常見(jiàn)技巧，在求解有關(guān)位置關(guān)系問(wèn)題中最為突出，可以通過(guò)構(gòu)造平行六面體來(lái)解有關(guān)線面位置關(guān)系問(wèn)題.有時(shí)還需要將這個(gè)平行六面體視為最為特殊的正方體來(lái)處理.【題3】 若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩