二階全矩陣空間上的極小秩保持問題.doc

本科學生畢業(yè)論文二階全矩陣空間上的極小秩保持問題黑 龍 江 工 程 學 院二一年六月The Graduation Thesis for Bachelors DegreePreserving Minimal Rank on 22 Full Matrix Spaces黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文摘 要在數(shù)學的各學科領(lǐng)域中，研究各種不變量以及不變量保持的映射和變換是一個十分活躍的課題?？坍嬀仃嚰g保持某些函數(shù)、子集、關(guān)系、變換等不變量的線性算子的問題被稱為線性保持問題。本文主要是在特征不為2的域上，刻畫并證明了二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式。論文的主要工作有以下幾方面：1、介紹線性保持問題的研究背景、分類、常用解決方法及相關(guān)領(lǐng)域已取得的成果，還有極小秩保持問題的研究現(xiàn)狀。2、介紹了極小秩保持問題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識，為第三章定理的證明做準備。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時,全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明。3、在特征不為2的域上，時,全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明基礎(chǔ)上，利用高等代數(shù)的知識，刻畫并證明了二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式，這也是本文的主要內(nèi)容。關(guān)鍵詞：線性保持；極小秩；線性算子；數(shù)域；特征ABSTRACTIn the areas of every mathematic subject, it is a very active topic to study all kinds of invariant and invariant maintain the mapping and transformation. The problems to characterize the linear operators which preserve certain functions, subsets, relations or transformations invariants between matrix sets are called “Linear Preserver Problems”. The thesis characterize and prove the second full matrix space maintain the minimal of its own rank in the form of linear operator over the field of characteristic not 2.This paper includes:1.Introduce the problem of linear maintain and the study background,classification,common solutions and the related field has been achieved.and the status of the maintain minimal rank.2.Introduce the maintain problem in the minimal rank to use some of the basics.prepair for proving the theorem in the chapter 3.including sets, transformations,group-s, rings,fields and the concept of minimal rank.The proof of full matrix space to maintain the minimal rank of its own operator when over the field of characteristic not 2 is given.3.On the basis of the proof of full matrix space to maintain the minimal rank of its own operator when over the field of characteristic not 2,using the knowledge of the advanced algebra, we characterize and prove the second full matrix space to maintain the minimal of its own rank in the form of linear operator.this is the main content of the thesis. Key words: Linear preserver ; Minimal rank; Linear operator; Several domain; Characteristic36黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文目 錄摘 要IABSTRACTII第1章 緒 論11.1 課題背景與發(fā)展概況11.1.1 線性保持問題的背景11.1.2 線性保持問題的四個主要類型21.1.3 線性保持問題的兩個解決方法41.1.4 加法保持問題的四個主要類型61.2極小秩保持問題的研究現(xiàn)狀71.3本論文的主要研究工作和文章結(jié)構(gòu)11第2章 引言與預備知識122.1 引言122.2 預備知識122.3 本章小結(jié)19第3章 二階全矩陣空間上保持極小秩的線性變換213.1 引言213.2 符號說明213.3 二階全矩陣空間概述213.4 證明思路233.5 主要結(jié)論233.6 本章小結(jié)24結(jié) 論25參考文獻26致 謝28附 錄29黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文第1章 緒 論1.1 課題背景與發(fā)展概況1.1.1 線性保持問題的背景研究各種不變量以及不變量保持的映射和變換歷來是數(shù)學各學科領(lǐng)域關(guān)注的問題。在矩陣論中，人們對矩陣集之間保不變量的算子很感興趣，稱其為保持問題。線性保持問題是其中一個比較熱門的研究領(lǐng)域，其中包括線性保持問題，加法保持問題，乘法保持問題等。因為保持問題在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應用背景，所以近些年這類問題的研究也十分活躍，國內(nèi)外許多學者做了大量的研究工作，取得了大量成果。而其中主要分為兩大類：線性保持問題和加法保持問題。那么下面讓我們來認識一下什么是線性保持問題：設(shè)是一個代數(shù)系統(tǒng)(域，體，一般交換環(huán)等)，,記上的矩陣加法半群，他們常被取作所有矩陣的集合，所有對稱矩陣的集合，所有交錯矩陣的集合,所有Hermitian矩陣的集合，所有上三角矩陣的集合等。如果一個映射:滿足如下的條件（1）和（2），則稱是線性映射或線性算子。（1） ；（2） .特別地，當時，稱為線性變換?？坍嬃藦牡降谋３帜承┖瘮?shù)、子集、關(guān)系、變換等不變量的線性映射的結(jié)構(gòu)問題稱為線性保持問題，簡記為LPP（Linear Preserver Problems）。最近，一些學者已開始研究比“線性保持問題” 更加廣泛的“加法保持問題”，即在上述定義中取，為加法子群，并將條件（2）去掉，則稱為加法保持問題。而，經(jīng)常被取作所有全矩陣空間的集合、所有對稱矩陣空間的集合、所有上三角矩陣空間的集合等。有關(guān)于線性保持問題的研究最早始于1897年Frobenius給出的保行列式的線性變換的刻畫1和Kantor的2。到了二十世紀六十年代美國矩陣論專家Marcus研究了秩1保持這一核心問題之后，成果才大批出現(xiàn)3, 4。特別是近三十年，線性保持問題已成為國際上矩陣論中的熱門課題之一。這一方面是因為它的理論價值；另一方面是因為它許多問題在微分方程、系統(tǒng)控制、數(shù)理統(tǒng)計等領(lǐng)域有著廣泛的應用背景。1989年曹重光在黑龍江大學自然科學學報上發(fā)表了“局部矩陣環(huán)上矩陣模的保冪等自同態(tài)”一文5，在國內(nèi)引發(fā)了對線性保持問題的研究，這些年來涌現(xiàn)出了一大批成果。1.1.2 線性保持問題的四個主要類型1992年，Li在文獻2中將線性保持問題概括為以下四個主要類型：類型1:保持函數(shù)設(shè)是上的(純量值，向量值或集值)函數(shù)，上的線性算子滿足例如當時，F(xiàn)robenius分別解決了,以及時的情形，其中是復數(shù)域，記矩陣的行列式，記矩陣的跡。當時，Minc解決了的情形，其中是任意的代數(shù)封閉域：劉紹武和王路群將Minc的結(jié)果推廣到含1的交換環(huán)；Wong也在非交換環(huán)上解決了這個問題；劉紹武等和曹重光分別解決了對稱矩陣空間和三角矩陣空間的情形；Beasley,Pullman和Gregory解決了當是某些半環(huán)的情形。當時，參見Liu6的第七章，其中記的譜。類型2:保持子集設(shè),上的線性算子滿足。例如，當時，Chan等首先解決了的情形，其中表示實數(shù)域。曹重光和王路群等先后將Chan等的結(jié)果分別推廣到特征不為2的局部環(huán)和含1的交換環(huán)。Beasley和Pullman在元素個數(shù)大于2的任何域上研究了這個問題，并提出了兩個Open問題，曹重光和張顯等解決了其中一個，后來劉紹武將這兩個問題在更廣泛的主理想整環(huán)上同時解決。曹重光和劉紹武等也先后在體上解決了這個問題。關(guān)于類型2的一個變形是：設(shè)且,上的線性算子滿足。關(guān)于這類問題也取得了一些成果7。類型3:保持關(guān)系設(shè)是上的一個關(guān)系，的上的線性算子滿足對任何的時成立或當且僅當。例如，當取作可交換時，即若，則Pierce和Watkins刻畫了任意域上保交換的非退化線性算子，之后Choi等又去掉非退化的條件進行研究，另外，Chan和Lim也研究了實對稱矩陣空間上保交換的線性算子。當取作時，其中表示的Moore-Penrose逆，曹重光8在特征不為2及3的域上解決了這個問題，之后曹重光和張顯等又分別解決了特征29及特征310的域的情形；關(guān)于實四元數(shù)體上的這個問題也被曹重光解決。類似地，當取作時，其中表示的群逆，也有這方面的研究文獻出現(xiàn)。另外，張顯和曹重光也在一些非負半環(huán)上研究了保持某種關(guān)系的LPP。對于類型3的一個變形是：設(shè)上的兩個線性算子和滿足對任何的時成立或當且僅當。例如:張顯和楊忠鵬等的研究11, 12。類型4:保持變換給定一個變換：，上的線性算子滿足例如，Chan等分別考慮了及的LPP，其中是某個固定的正整數(shù)，是的伴隨矩陣。1.1.3 線性保持問題的兩個解決方法LPP已分成不同的研究領(lǐng)域，而在現(xiàn)有的問題上改變基本的矩陣空間或某些限制條件，則很容易產(chǎn)生新的LPP,所以每個問題都有不同的變化。不同的LPP需要不同的方法和技巧去解決，這就導致了解決 LPP的方法和技巧的多樣化。例如，歷史上人們曾應用過算子理論、組合學、圖解理論、抽象代數(shù)、乘積代數(shù)等數(shù)學工具處理過不同的LPP。盡管解決LPP的方法多種多樣，但也存在著一些處理類似問題的統(tǒng)一方法。一個很好的例子就是13中的方法，他們用投影幾何的方法解決了兩個無關(guān)的LPP,即刻劃了上交換性保持和數(shù)值域保持。另外的例子是Botta的幾篇文章14,15，他用代數(shù)幾何的結(jié)果證明了很多LPP。方法1：對偶方法此方法的思想就是除了研究之外還研究的對偶交換，見16此方法主要用于研究線性等距的問題。注意到線性算子若保持上的某些范數(shù)，當且僅當它的對偶變換也保持對應的范數(shù)，雖然所研究的范數(shù)或單位范數(shù)球面可能是很復雜的，但可能其對偶范數(shù)或?qū)ε挤稊?shù)球面卻擁有簡單的結(jié)構(gòu)，因此可以較容易地刻劃其對偶變換，并因此而確定的結(jié)構(gòu)。在解決這樣的問題時,文獻17中給出的下面的命題是十分有用的。命題 令是上線性算子，則下列條件彼此等價：（1） 保持譜模；（2） 把可逆矩陣集映到其本身；（3） 保持跡函數(shù)；（4） 把奇異值為1, 0,，0的矩陣集映到其本身；（5） 滿足: 或 其中可逆；（6） 滿足: 或 其中可逆。應用此方法的例子還可參閱18。方法2：微分幾何方法設(shè)是上的等價關(guān)系，對任意，令為基于的等價類，即。文獻19中給出的下面命題十分重要。命題 設(shè)是上的滿足，的線性算子，令為的等價類的切空間，則（1） 且（2） 若非退化 則應用此方法的例子還可參閱20,21。最后應該指出的是：對于在不同的矩陣空間上相同的LPP而言，它們的結(jié)果看起來十分相似，但問題的難易程度及其證明方法可能是非常不同的。例如，從22, 23可看出全矩陣空間上冪等保持的LPP當域的特征為2時的證明要比特征不為2時難的多，并且二元域的情形至今仍是一個Open問題,而三角矩陣空間上冪等保持的LPP須對算子加可逆的限制，否則情況太復雜，甚至對稱矩陣空間上冪等保持的LPP需加更強的條件。加法保持問題顯然是LPP的推廣，但是由于不能應用線性空間的理論及系數(shù)交換的性質(zhì)，使得這類問題的難度和技巧性大大增加。不過值得注意的是，對于特殊的系數(shù)，根據(jù)其加法的特性，還是可以交換的。設(shè)是一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，記上的矩陣加法半群，是一個從到的加法映射，由其定義易見：（1） 若k是自然數(shù)，則（2） 若自然數(shù)滿足對任意的成立，則（3） 若自然數(shù)滿足且對任意成立，則（4） 若自然數(shù)滿足且對任意的成立，則1.1.4 加法保持問題的四個主要類型由于加法保持問題的研究起步較晚，和LPP相比較來講結(jié)果還比較少，但在四種類型上也各有研究，下面就對加法保持問題的四種類型的研究現(xiàn)狀進行一下簡要的說明。類型1:保持函數(shù)例如，當或時的情形均依賴接下來要描述的類型2中保秩1的問題得以解決。類型2:保持子集由于上面的類型1因為欠缺這一類型而無法得到完整解決，還請仔細閱讀以下內(nèi)容。例如，當時，Omladic和Semrl首先解決了的情形，其中表示復數(shù)域。隨后，Bell和Sourour描述了的情形，其中表示一般域。2003年，Cao和Zhang又說明了的情形，其中是特征不為2也不為3的域，2005年，Tang做出了時的結(jié)果，這里是復數(shù)域。當時，Cao等作出了和時的結(jié)果，這里是特征不為2的域。類型3:保持關(guān)系例如，當取作時，表示的Moore-Penrose逆，張顯，曹重光等在特征不為2的域上解決了這個問題。此外還有，對于由定義的關(guān)系(這是一種偏序關(guān)系)，You和Tang在對稱矩陣空間和交錯矩陣空間上刻畫了保持這種關(guān)系的加法映射。類型4:保持變換例如，Tang等研究了當，及時的情形，這里是的伴隨矩陣。與LPP類似，對于在不同的矩陣空間上相同的加法保持問題而言，它們的結(jié)果可能是相似的，但問題的難易程度和其證明方法或許是非常不同的。例如，早在1996年曹重光和張顯就作出了域的特征不為2時，其上的全矩陣空間保冪等的加法映射，但當域的特征為2時，至今仍是一個Open問題。在本小節(jié)中，主要介紹了線性保持問題的基本概念，發(fā)展歷程，以及線性保持問題、加法保持問題的四個基本類型。1.2極小秩保持問題的研究現(xiàn)狀1999年，Wasin So在文獻24中刻畫了特征為0的代數(shù)閉域上保持極小秩的線性算子，即為如下定理。定理1.2.124 時，若是上保持極小秩的線性變換,則存在矩陣，使得或者 其中，是上的線性函數(shù)。2006年張志旭等25證明了對于一般數(shù)域，上述結(jié)論仍成立。在定理的證明過程中他刻畫了上保持極小秩的線性算子。因為極小秩在平移、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置及相似條件下市不變的，所以一下兩個線性算子顯然是保持極小秩的：， （1）或， （2）其中是一非零常數(shù)，且可逆，是一線性函數(shù)。自然聯(lián)想到這一結(jié)論的逆是否正確。即如果是上的保持極小秩的線性算子，則是否可以表示成（1）或（2）的形式呢？時，經(jīng)論證這一結(jié)論是正確的。具體的證明過程由定理給出。定理 1.2.225 當時，若是上的一個線性算子，且保持極小秩，則可以表示為（1）或（2）的形式。證明 假設(shè)是一個秩1陣。根據(jù)性質(zhì)，有.因此設(shè)，其中，特別地，.現(xiàn)定義一個線性函數(shù)，.定義一個線性算子，則有.即.同時 即 .這樣在一般數(shù)域上的推廣，可知保持秩1陣。因此可以有如下四種形式中的一種：（1） ， 且可逆.（2） ， 且可逆.（3） ， ，其中，使得任意秩陣均可由線性表出.（4）， ，其中，使得任意可逆陣均可由線性表出。若為（3）或（4）的形式，則.所以若，則.這與保持極小秩矛盾。所以，且可逆或，且可逆.又保持極小秩為零的陣，則，且，所以，。因此，且可逆.或 ，且可逆.所以.或.其中，且可逆.下面假設(shè)為極小秩為的矩陣的集合。則由定理的證明可以得到下面的推論：推論 1.2.125 當時，若是上的一線性算子，且滿足，則可以表示為（1）或（2）的形式。在上述結(jié)論的證明中，文獻24利用了代數(shù)閉域這個條件并假設(shè)域的特征為 0，文獻25雖然去掉了代數(shù)閉域這個條件但仍局限在數(shù)域上討論，而數(shù)域的特征為0。2007年，陳嘉佳和譚宜家26去掉了這兩個條件并證明對于特征不為2的任意域(注：這里 不一定是數(shù)域)，上述結(jié)論仍成立。這里因為第二章也介紹了一些關(guān)于他們的結(jié)論，所以這里就不給出他們結(jié)論的完整證明，只給出結(jié)論部分以方便說明問題。定理 1.2.326 設(shè)域滿足,為矩陣空間中保持極小秩的線性算子,則可表為: 或其中,為中的可逆矩陣,是上的線性函數(shù)。證明： 設(shè)是秩為1的階矩陣,則。因此,即,其中,且。所以由知, ,其中,且.,定義,則不難證明,是上的線性函數(shù)。再設(shè),則是上的線性算子。并且因此,.又因為.所以,。由引理4,為到的保秩1的線性算子。于是由引理1知,存在可逆矩陣,使得滿足如下4種情況之一:（1）；（2）；（3）,其中:為線性算子,滿足,當時,都有；（4）,其中:為線性算子,滿足,當時,都有.若滿足情況（3）,那么,由知,.但此時,或.當時, ,此時,；當時,因此, ,或1,這與保極小秩矛盾。同理可證,為（4）這種情況也是不可能的。所以,必為形式1)或2),即或.又因為,所以,從而存在,使得.另一方面,由知, ,這樣.所以,即或.則或,證明完畢。1.3本論文的主要研究工作和文章結(jié)構(gòu)本文主要是利用高等代數(shù)的知識，在特征不為2的域上，刻畫并證明二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式。第1章,緒論。介紹線性保持問題的研究背景、分類、常用解決方法及相關(guān)領(lǐng)域已取得的成果，還有極小秩保持問題的研究現(xiàn)狀。第2章，引言與預備知識。介紹了極小秩保持問題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識，為第3章定理的證明做準備。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時,全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明。第3章，二階全矩陣空間上保持極小秩的線性變換。在特征不為2的域上，利用高等代數(shù)的知識，刻畫并證明二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式，這也是本文的主要內(nèi)容。第2章 引言與預備知識2.1 引言 極小秩是建筑、工程、控制等方面重要的不變量之一。對于矩陣，它的極小秩與其非平凡不變多項式的個數(shù)之間滿足關(guān)系，其中表示的非平凡不變多項式的個數(shù)，所以方陣平凡不變多項式的個數(shù)等于極小秩。因此研究保持平凡不變多項式的個數(shù)、非平凡不變多項式的個數(shù)、極小秩的變換是等價的。 本章主要介紹極小秩保持問題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時,全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明過程。2.2 預備知識 定義2.2.127 集合是指一類研究對象的全體，組成集合的對象個體成為集合的元素。表示屬于集合，表示不是集合的元素，集合常用舉例法或性質(zhì)表示法標出。 不含任何元素的集合稱為空集合，記為，若兩個集合與含有相同的元素，稱為兩個集合相等，記為。若集合的元素全是集合的元素，則稱為的子集合，記為。若集合與同時滿足與，則。 設(shè)與是兩個集合，既屬于又屬于的全體元素的集合稱為與的交，記為。屬于或?qū)儆诘娜w元素所成集合稱為與的并，記為。 定義2.2.227 設(shè)與是兩個集合，若對中的每一個元素，按照某一法則都有中一個確定的元素與之對應，則稱為集合到的一個映射。若映射使元素與元素對應，就記為，稱為在映射下的像，稱為的一個原像。 集合到集合的兩個映射及，若對的每個元素都有，則稱與相等，記為。 設(shè)是一個集合，若，則稱為集合的恒等映射或單位映射。 設(shè)，分別是集合到，到的映射，則稱為乘積。 設(shè)是集合到的一個映射，用代表在映射下像的全體，稱為在映射下像的集合，。 若，就映射為映上的或滿射。 若在映射下，中不同元素的像也一定不同，則映射稱為單設(shè)。一個映射若既是單設(shè)又是滿射就稱為雙射。一個集合到其自身的映射叫做變換。 定義2.2.327 設(shè)是一個非空集合，是一個數(shù)域，在集合中的元素之間定義了加法運算（即對任，有唯一的，使），在數(shù)域與集合中的元素之間定義了數(shù)乘運算（即對任一與，有唯一的，使）。如果加法與數(shù)乘運算滿足以下規(guī)則：（1） ；（2） ；（3） 存在，使對任，有；0稱為的零元素；（4） 存在的負元素，使；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；則稱為線性空間。線性空間的元素也稱向量，所以線性空間也稱向量空間。 線性空間有以下簡單性質(zhì)：（1） 零元素是唯一的；（2） 負元素是唯一的；（3） ；（4） 若，則或. 定義2.2.428 令是數(shù)域上一個向量空間，到自身的一個線性映射叫做的一個線性變換。 定義2.2.527 設(shè)是數(shù)域上的一個線性空間，是中一組向量，稱為向量組的一個線性組合，也稱向量可由向量組線性表出。 定義2.2.627 若（1） ；（2）是中兩個向量組，如果（1）中每個向量可以由（2）線性表出，則稱（1）可以由（2）線性表出。若（1）與（2）可以相互線性表出，則稱（1）與（2）是等價的。 定義2.2.727 線性空間中向量稱為線性相關(guān)，如果在數(shù)域中有個不全為零的數(shù)，使，如果向量不線性相關(guān)，就稱為線性無關(guān)。 由以上定義得到如下幾個常用結(jié)論：（1） 單個向量線性相關(guān)的充要條件是；兩個以上向量線性相關(guān)的充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合。（2） 若向量組線性無關(guān)，且可被線性表出，則.（3） 若向量組線性無關(guān)，但向量組，線性相關(guān)，則可以被線性表出，而且表示法唯一。 定義2.2.827 若在線性空間中有個線性無關(guān)的向量，但中沒有更多數(shù)量的線性無關(guān)的向量，則稱為維的。若在中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，則稱為無線維的。 定義2.2.927 令是數(shù)域上一個維向量空間是上的一個基，于是的每一個向量可以唯一表成其中系數(shù)是被向量和基唯一確定的，這組數(shù)稱為在基下的坐標，記為. 定理2.2.127 若在線性空間中有個線性無關(guān)的向量，且中任一向量都可以由它們線性表出，則是維的，而是的一組基。設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，與是的兩組基。關(guān)系式稱為基變換公式，可以形式地寫為其中 稱為由基到的過渡矩陣。 中元素在基下的坐標與在基下的坐標滿足關(guān)系式或者設(shè)和是中的兩個向量組，是兩個矩陣，則有以下運算規(guī)則：；. 定義2.2.1028 令是一個非空集合，它帶有一個代數(shù)運算，叫作乘法：對與任意的，有中唯一確定的元素，記作，與它對應，叫做與的積如果下列條件滿足，那么說關(guān)于乘法做成一個群：（1）對于任意的，有；（2）在中存在一個元素，叫做的單位元，它具有性質(zhì)，對，有；（3）對于的每一個元素，存在的一個元素使得，叫做的逆元。 定義2.2.1128 設(shè)是一個非空集合。帶有兩個運算，分別叫做加法和乘法。如果下列條件被滿足，就稱是一個環(huán)：（1） 對于加法來說作成一個阿貝爾群；（2） 的乘法滿足結(jié)合律：對于中任意元素，和，等式成立；（3）加法與乘法由分配律聯(lián)系著：對于中任意元素，和，等式；成立。 定義2.2.1228 設(shè)是一個有單位元的交換環(huán)。如果的每一個非零元素都是可逆元，那么就稱是一個域。定義2.2.1328 設(shè)是一個域，使得的最小正整數(shù)叫做域的特征。 如果不存在正整數(shù)，使得，那么就說域的特征是零。 定理2.2.228 設(shè)是一個域（1） 如果。那么對于中任意非零元素和，（2） 如果，那么對于的任意非零元素，和， 定理2.2.328 設(shè)是一個特征為素數(shù)的域。在里以下等式成立：，定義2.2.1428 設(shè)和是環(huán)（或域）。：是一個映射，如果對于中任意元素都有；那么就說，是一個同態(tài)映射。如果還是一個雙射，那么就說是一個同構(gòu)映射，這時就說環(huán)（或域）與同構(gòu)。定義2.2.1524 設(shè)，則為矩陣的極小秩，記。定義2.2.1629 若線性變換：滿足，則稱是上保持極小秩的線性變換。 由極小秩的定義,可得以下性質(zhì):（1）平移不變性：；（2）數(shù)乘不變性：；（3）相似不變性：為可逆矩陣；（4）轉(zhuǎn)置不變性： ；（5）；（6）；（7）.若無特別聲明,總表示一個域。 引理2.2.126 設(shè):為矩陣空間上保秩1的線性算子,即，那么存在可逆矩陣, ,使得滿足下面情況之一:（1） ；（2） ；（3） ,其中:為線性算子,滿足,當時,都有；（4）,其中:為線性算子,滿足,當時,都有. 引理2.2.226 設(shè)并且,，那么相似于某一個對角矩陣,其中且. 證明: 設(shè)矩陣的Smith標準型為,其中為的不變多項式,=1,2,3,且, =1,2.下證.若的次數(shù)1.因為多項式的次數(shù)為3,且, ,所以只能是: 從而與矩陣相似，此時。這與條件矛盾。 因此，這樣或且的次數(shù)1. 若，設(shè)，則由文獻4中的定理2知,相似于矩陣.則,有.因為矩陣中有一個二階子式,所以.所以.這與條件矛盾,因此,其中的次數(shù)1且.因為的次數(shù)是3,所以的次數(shù)只能是1,的次數(shù)只能是2.這樣,具有形式,其中. 若,那么相似于矩陣.此時或.這與條件矛盾； 若,那么相似于對角矩陣,此時有3種情況:；.容易看出,情況和都與條件矛盾,而情況恰好滿足引理的條件。因此相似于對角矩陣.證明完畢。 引理2.2.326 設(shè)域滿足,為線性算子,且滿足: ，那么,若,則. 引理2.2.426 設(shè)域滿足,為線性算子且滿足:（1）,；（2）, ,其中表示位置上元素是1,其余元素全為0的階矩陣。那么, 為上保秩1的線性算子,即. 定理2.2.426 設(shè)域滿足,為矩陣空間中保持極小秩的線性算子,則可表為: 或 其中,為中的可逆矩陣,是上的線性函數(shù)。 證明: 設(shè)是秩為1的階矩陣,則.因此,即,其中,且.所以由知, ,其中,且.,定義,則不難證明,是上的線性函數(shù)。再設(shè),則是上的線性算子。并且因此,.又因為.所以,.由引理4,為到的保秩1的線性算子。于是由引理1知,存在可逆矩陣,使得滿足如下4種情況之一:（1）；（2）；（3）,其中:為線性算子,滿足,當時,都有；（4）,其中:為線性算子,滿足,當時,都有. 若滿足情況（3）,那么,由知,.但此時,或。當時, ,此時,；當時,因此, ,或1,這與保極小秩矛盾。同理可證,為4)這種情況也是不可能的。 所以必為形式（1）或（2）,即或.又因為,所以,從而存在,使得.另一方面,由知, ,這樣.所以,即或.則或.證明完畢。2.3 本章小結(jié) 本章介紹了極小秩保持問題中用到的一些基礎(chǔ)知識，目的是為下一章定理的證明做準備。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時,全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明。第3章 二階全矩陣空間上保持極小秩的線性變換3.1 引言線性保持極小秩問題首先是在1999年，由Wasin So刻畫了特征為0的代數(shù)閉域上保持極小秩的線性算子形式。2006年，張志旭等人證明了對于一般數(shù)域，上述結(jié)論仍成立，而數(shù)域的特征為0。2007年，陳嘉佳等人去掉了這個條件，證明對于特征不為2的任意域上該結(jié)論仍然成立。本章就是受上面結(jié)論的啟發(fā)來考慮的。在特征不為2的域上，利用高等代數(shù)的知識，刻畫并證明二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式，這也是本文的主要內(nèi)容。3.2 符號說明設(shè)是一個特征不為2的域，是上全矩陣空間，是上全矩陣空間，也稱為上的二階全矩陣空間。是單位矩陣，是所有可逆矩陣構(gòu)成的群，稱為一般線性群，是由中所有非零元構(gòu)成的乘法群。對于矩陣，記是的轉(zhuǎn)置矩陣，是的逆矩陣，是的伴隨矩陣，是酉群，是的秩，是的極小秩。3.3 二階全矩陣空間概述設(shè)是一個特征不為2的域，是由上所有的矩陣構(gòu)成的矩陣集合，可以證明該矩陣集合是線性空間，稱之為域上的二階全矩陣空間。設(shè)，是中的任意數(shù)，那么關(guān)于，滿足下面性質(zhì)：（1） ；設(shè)，左邊求和后為，右邊求和顯然與左側(cè)相等，所以成立。（2）；設(shè)，左側(cè)為+ =，而右側(cè)求解后結(jié)果為，兩側(cè)相等，所以成立。（3） ；因為，顯然成立。（4） 存在，使得成立；因為存在，所以存在，所以上述結(jié)論成立。（5） ；左側(cè)括號內(nèi)加法后得到=；右側(cè)等于=，左右相等，所以結(jié)論成立。（6） ；左側(cè)計算得；右側(cè)計算得= ，左右相等，所以滿足.（7） ；左側(cè)計算得=，右側(cè)計算得，左右相等，所以成立。（8） ；數(shù)字1乘以結(jié)果仍然是，即。以上證明可以看出，滿足線性空間的8個條件，稱之為域上的二階全矩陣空間。3.4 證明思路該定理的證明主要運用了線性空間基的性質(zhì)，方法采用反證法。證明結(jié)論時重點為證明一組向量是一組基，則可用到任意一組向量可由基線性表示的知識點，證明條件時同樣運用該知識點，另外還有數(shù)量陣的性質(zhì)，定理自然得證。3.5 主要結(jié)論定理3.5.1：設(shè)：是線性變換，則，同時是的基，此外，是非奇異的。證明：因為，所以當是數(shù)量陣時，當不是數(shù)量陣時。因為，所以是數(shù)量陣是數(shù)量陣，即。下證是的基。設(shè)，由于是線性變換，是數(shù)量陣，可知是數(shù)量陣，故，因此，線性無關(guān)。若不是的基，則可設(shè)由于是線性變換，是數(shù)量陣，可知是數(shù)量陣，故矛盾。當是數(shù)量陣時，設(shè)，則也是數(shù)量陣，故當是數(shù)量陣時，.當不是數(shù)量陣時，其中，不全為0，若為數(shù)量陣，設(shè)，即，其中，不全為0，和是的基矛盾，故不是數(shù)量陣，從而當不是數(shù)量陣時，故，。是非奇異的是顯然的，證明略。3.6 本章小結(jié)本章主要是在特征不為2的域中，對二階全矩陣空間中保持極小秩的線性算子形式進行了證明，即：設(shè)：是線性變換，則，同時是的基，此外，是非奇異的.結(jié) 論本論文利用數(shù)量陣、線性空間基的定義、性質(zhì)等有關(guān)知識，在特征不為2的任意域上，證明了二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式。首先，介紹了極小秩的概念、背景、發(fā)展歷程、中外學者的著作。其次，介紹了極小秩保持問題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識，內(nèi)容由淺入深，便于理解。最后，得出本文主要結(jié)論。在特征不為2的域中，對二階全矩陣空間中保持極小秩的線性算子形式進行了證明，即：設(shè)：是線性變換，則，同時是的基，此外，是非奇異的?，F(xiàn)在對于線性保持問題的研究越來越受大家的關(guān)注，本論文研究的也只是冰山一角，由于我的知識貯備有限，所以不免在論文中會出現(xiàn)錯誤，請大家多多批評指正。另外，目前線性保持問題在應用方面已經(jīng)有了一定的位置，但在極小秩方面，作為它的一個分支在現(xiàn)實應用中還有很大一部分可開發(fā)空間。希望以后會有更多的人在這方面取得突破。參考文獻1 G.FROBENIUS.Uber die Darstellung der endichen Gruppen durch linera 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This is also called algebraic form complete. This is the mature period algebra. Before, mathematicians in Hilbert only for some special algebra form gives the general problem, it is the greatest contribution. Paul Gorda (1837-1912). He devoted all his lifes Dan almost no variables theory research,