七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊-第九章從面積到乘法公式復(fù)習(xí)教案-蘇科版.doc

第九章 從面積到乘法公式 單元總結(jié)提升-教案班級(jí)_姓名_學(xué)號(hào)_ 備課時(shí)間: 主備人:單元總結(jié)歸納一、本章的知識(shí)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：(一) 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.（二）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式 1.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的相乘，用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即a（bcd）= abacad.2.其幾何意義為：3.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的步驟：（1）按乘法分配律把乘積寫成單項(xiàng)式與單項(xiàng)式乘積的代數(shù)和的形式；（2）進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.（三）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.2.其幾何意義為： 3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的步驟：（1）用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)；（2）把所得的積相加.（四）乘法公式1. 完全平方式公式：（ab）2= a22ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍.可概括為“首平方，尾平方，乘積2倍放中央，中央符號(hào)回頭望”.（2）語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們的積的2倍的和；兩個(gè)數(shù)的差的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們的積的2倍的差（3）幾何意義：（a+b）2= a2+2ab+b2、 （a-b）2=a2-2ab+b2 2.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差，而公式的右邊恰好是這兩個(gè)數(shù)的平方差.（2）語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.（3）幾何意義： 5.因式分解（1）因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系： 把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解. 它與整式乘法是兩種互逆的恒等變形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依據(jù)是乘法分配律，其實(shí)質(zhì)是分配律的“逆用”； 提公因式分解因式的步驟是：a.找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式；b.提出多項(xiàng)式的公因式； 提公因式分解因式的關(guān)鍵是正確找出各項(xiàng)的公因式，當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式的公因式正確找出后，需要提取公因式，此時(shí)可以直接觀察出提出公因式后剩下的另一個(gè)公因式；也可以用原多項(xiàng)式去除以公因式，所得的商即為提出公因式后，剩下的另一個(gè)因式.（3）公式法分解因式： 平方差公式分解因式：a2b2=(a+b)(ab)，兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.完全平方公式分解因式：a22abb2(ab)2，兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.難點(diǎn)：1. 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，應(yīng)注意：（1）先把各因式里的系數(shù)組成一組，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，即進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算，先確定積的符號(hào)，再計(jì)算絕對值；（2）相同字母相乘時(shí)，利用同底數(shù)冪的乘法法則“底數(shù)不變，指數(shù)相加”；（3）對于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母，應(yīng)連同它的指數(shù)一起寫在積里，注意不能漏掉這部分因式；（4）單項(xiàng)式乘法中若有乘方、乘法等混合運(yùn)算，應(yīng)按“先乘方，再乘法”的順序進(jìn)行；（5）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的積仍是單項(xiàng)式，對于字母因式的冪的底數(shù)是多項(xiàng)式形式的，應(yīng)將其作為一個(gè)整體來運(yùn)算；（6）對于三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘，法則仍適用.2. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘應(yīng)注意：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果仍是多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；（2）計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，為了避免發(fā)生符號(hào)上的錯(cuò)誤，計(jì)算時(shí)可以分為兩步：先把“-”號(hào)放在括號(hào)外，把單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，然后去括號(hào)；（3）在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要進(jìn)行合并.3. 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式應(yīng)注意：（1）運(yùn)算時(shí)要按一定的順序進(jìn)行，防止漏項(xiàng)，積的項(xiàng)數(shù)在沒有合并同類項(xiàng)之前，應(yīng)是兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積；（2）多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，每項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，在計(jì)算時(shí)要正確確定積中各項(xiàng)的符號(hào)；（3）運(yùn)算結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)，并按某個(gè)字母的升冪或降冪排列.4.乘法公式 （1）運(yùn)用完全平方公式時(shí)應(yīng)注意：明確使用和的完全平方公式還是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分別代表什么；結(jié)果是三項(xiàng)式，首尾兩項(xiàng)分別是左邊二項(xiàng)式的每一項(xiàng)的平方，中間項(xiàng)是左邊兩項(xiàng)的積的二倍，尤其是中間項(xiàng)的二倍不能忘記.（2）運(yùn)用平方差公式時(shí)應(yīng)注意：首先明確能否利用平方差公式計(jì)算（能利用平方差的標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)二項(xiàng)式是兩數(shù)的和，另一個(gè)二項(xiàng)式是這兩數(shù)的差，我們把符號(hào)相同的數(shù)看作是a，把符號(hào)相反的項(xiàng)看作是b）；結(jié)果是平方差，且兩個(gè)數(shù)(項(xiàng))的位置不能弄錯(cuò)；必須注意系數(shù)、指數(shù)的變化（3）靈活應(yīng)用乘法公式首先必須做到心中牢記公式的“模樣”，在此前提下再認(rèn)真地對題目進(jìn)行細(xì)致觀察，想法設(shè)法通過調(diào)整項(xiàng)的位置和添括號(hào)等變形技巧，把式子湊成公式的“模樣”，然后就可以應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算了，這里關(guān)鍵是要善“變”.5.因式分解 （1）對因式分解結(jié)果的約定： a.與原多項(xiàng)式相等；b.為積的形式，即從整體上看，最后結(jié)果應(yīng)是一些因式的乘積；c.每個(gè)因式都是整式；d.在指定數(shù)集里，每個(gè)多項(xiàng)式不能再分解.e.形式最簡.（2）用提公因式法分解因式應(yīng)注意：a.公因式要提盡；b.小心漏項(xiàng)，提公因法分解因式后，括號(hào)里多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該相同；c.提取公因式后的多項(xiàng)式首項(xiàng)一般取正號(hào)；d.分解因式與整式的乘法是互逆的過程，所以可以用整式的乘法來驗(yàn)證因式分解的正確性；e.把含有相同字母的式子作為公因式提出來時(shí)，要特別注意統(tǒng)一式子中字母的順序；f.提公因式要干凈徹底，也就是說當(dāng)把多項(xiàng)式提出公因式后，剩下的另一個(gè)因式中應(yīng)該再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式：如果多項(xiàng)式是兩數(shù)差的形式，并且這兩個(gè)數(shù)又都可以寫成平方的形式，那么這個(gè)多項(xiàng)式可以運(yùn)用平方差公式分解因式；如果多項(xiàng)式是三項(xiàng)，其中兩項(xiàng)同號(hào)，且能寫成兩數(shù)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩數(shù)乘積的2倍，可以運(yùn)用完全平方公式分解.有時(shí)多項(xiàng)式不能直接使用公式時(shí)，還可以適當(dāng)將它們變形. (4)綜合運(yùn)用提公因式法和運(yùn)用公式法分解因式時(shí)要注意:1.如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提公因式，再進(jìn)一步分解;2.分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式的因式都不能再分解為止;3.因式分解的結(jié)果必須是幾個(gè)整式的積的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特別強(qiáng)調(diào)“三查”，檢查多項(xiàng)式的每一個(gè)因式是否還能繼續(xù)分解因式，還可以用整式乘法檢查因式分解的結(jié)果是否正確.整合拓展創(chuàng)新類型之一、基本概念型例1 下列變形中哪些變形是因式分解，哪些是整式乘法？(1)8a2b3c=2a2b2b32c (2)3a2+6a=3a(a+2)(3)x2=(x+)(x) (4)x24+3x=(x+2)(x2)+3x(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a5b)=4a225b2【思路分析】因式分解必須是左邊是多項(xiàng)式，右邊整體是積，且每個(gè)因式都是整式，它與整式乘法是互逆的恒等變形.解：（2）是因式分解，（6）是整式乘法.【點(diǎn)評】本題旨在復(fù)習(xí)學(xué)生對因式分解與整式乘法的認(rèn)識(shí).變式題 下列變形中，因式分解對不對？為什么？(1)x2yxy2=xy(xy) (2)a32ab+ab2=a(ab)2=a(a22ab+b2)(3)62ab4ab2+2ab=2ab(3a2b)(4)4a2100=(2a+10)(2a10)(5)a2b2=(ab)2提示： 第（2）題提取公因式a后，括號(hào)里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出現(xiàn)了漏項(xiàng)；第（4）題沒有分解徹底，應(yīng)先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）題混淆了兩個(gè)乘法公式.解：只有（1）是正確的.【說明】此題旨在提醒學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，1、剩下的1漏寫；2、沒有先提公因式分解不完全；3、平方差與差平方相混，尤其是(2)中是學(xué)生常見錯(cuò)誤類型，原因是學(xué)生對整式乘法先入為主，而對因式分解的本質(zhì)沒有完全理解，形成心理學(xué)上的“倒攝抑制”效應(yīng)，應(yīng)提醒學(xué)生注意.類型之二、基本運(yùn)算型1.整式乘法的運(yùn)算例2 先規(guī)定一種運(yùn)算：ab=ab+a-b，其中a、b為有理數(shù)，則ab+（b-a）b等于（ ）A.a2-b； B.b2-b； C.b2； D.b2-a.【思路分析】在（b-a）b中，把（b-a）看作是規(guī)定運(yùn)算中的a，展成一般形式后用整式的乘法進(jìn)行運(yùn)算.解：ab+（b-a）b= ab+a-b+ （b-a）b+（b-a）-b= ab+a-b+b2-ab+b-a-b= ab+a-b+b2-ab-a= b2-b.選B.【點(diǎn)評】解決這類問題，理清題目意思是解題關(guān)鍵.變式題 已知：A=2x2+3xy-y2，B=- xy，C= x3y3- x2y4.求：2AB2-C.提示：直接代入計(jì)算，在復(fù)雜的式子計(jì)算中，先算乘方，再算多項(xiàng)式乘法，最后合并同類項(xiàng).解：2AB2-C=2（2x2+3xy-y2）（- xy）2-（x3y3- x2y4） =（4x2+6xy-2y2）（x2y2）-x3y3+ x2y4 =x4y2+x3y3-x2y4-x3y3+ x2y4 = x4y2+x3y3- x2y4.例3 計(jì)算： （1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2； （2）（4xn+1-y）2+4y（xn-）8x2.【思路分析】利用乘法公式展開后計(jì)算.解：（1）原式=3（m2+2m+1）-5（m2-1）+2（m2-2m+1）=3m2+6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10； （2）原式=（16x2n+2-4xn+1y+ y2+4xny- y2）8x2 =（16x2n+2-4xn+1y+4xny）8x2 =2x2n-xn-1y+xn-2y.【點(diǎn)評】在整式的運(yùn)算中，為了運(yùn)算簡捷，要盡量利用乘法公式計(jì)算，混合運(yùn)算要注意運(yùn)算順序.盡管（2）中出現(xiàn)了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算，但應(yīng)用倒數(shù)可將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即（m+n）a=（m+n）=m+n=ma+na.可見掌握轉(zhuǎn)化思想，可以探索新知識(shí)，解決新問題.變式題 計(jì)算：（1）（a+b+c-d）（a-b+c+d）； （2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.提示： （1）建立平方差公式的模型后求解；（2）將（x+1）與（x+4），（x+2）與（x+3）先分別相乘.解：（1）觀察運(yùn)算符號(hào)，兩多項(xiàng)式中a、c符號(hào)相同，b、d符號(hào)相反，因此可以把a(bǔ)、c結(jié)合在一起，看成一項(xiàng)，把b、d結(jié)合在一起，看成另一項(xiàng)，應(yīng)用平方差公式計(jì)算.原式=（a+c）+（b-d）（a+c）-（b-d）=（a+c）2-（b-d）2=a2+2ac+c2-b2+2bd-d2；（2）經(jīng)過觀察1+4=2+3，因此將（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分別相乘，出現(xiàn)相同部分x2+5x，再視其為整體進(jìn)行運(yùn)算.原式=（x+1）（x+4） （x+2）（x+3）= x2+5x+4 x2+5x+6= （ x2+5x）+4 （x2+5x）+6= （ x2+5x）2+10（ x2+5x）+24=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24= x4+10x3+35x2+50x+24.2.因式分解例4 （1）分解因式:2x2-18= ; (2) 分解因式:a3-2a2b+ab2= ; (3) 分解因式:x2-y2+ax+ay= .【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分組分解法.解：（1）原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）；（2）原式=a（a2-2ab+b2）+a（a-b）2；（3）原式=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a）.【點(diǎn)評】中考對因式分解的要求不太高，都以基本題為主.但有不少學(xué)生在解答第（1）、（2）題時(shí)常常在提公因式后就結(jié)束答題，從而失分.因此，在做因式分解時(shí)，最后一定要檢驗(yàn)，使每個(gè)因式不能再分解才能結(jié)束.變式題 先閱讀，再分解因式： x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x-2）.仿照這種方法把多項(xiàng)式分解因式.提示 仿照例題，運(yùn)用添項(xiàng)、減項(xiàng)（配方），使其可以用平方差公式分解.解：=（x4+16x2+64）-16x2=（x2+8）2-（4x）2=（x2+4x+8）（x2-4x+8）類型之三、基本應(yīng)用型例5 若x24xy210y29=0，求x2y22x3y2x4y2的值.【思路分析】一個(gè)方程求兩個(gè)未知數(shù)顯然不容易，考慮已知等式的特點(diǎn)，將其整理為兩個(gè)完全平方式的和，利用其非負(fù)性求出x、y，再化簡所求代數(shù)式后代入求值.解：因?yàn)閤24xy210y29=0， 所以（x24x+4）（y210y25）=0， （x-2）2+（y-5）2=0，所以x=2，y=5.x2y22x3y2x4y2= x2y2（1+2x+x2）= （xy）2（1+x）2=（25）2（1+2）2=900.【點(diǎn)評】利用因式分解，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性是由一個(gè)方程解兩個(gè)未知數(shù)的常用方法之一.變式題 矩形的周長是28cm，兩邊長為x，y，若x3x2yxy2y30，求矩形的面積提示 把已知等式分解因式，利用矩形邊長的非負(fù)性尋求解題途徑.解：因?yàn)閤3x2yxy2y30，所以（x3x2y）（xy2+y3）0， x2（x+y）y2（x+y）=0， （x2y2）（x+y）=0， （x+y）（x-y）（x+y）=0， （x+y）2（x-y）=0，又因?yàn)榫匦蔚倪呴L總是非負(fù)數(shù)，即（x+y）20，所以有x-y=0，即x=y.而由矩形的周長是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.矩形的面積為49C.答：矩形的面積為49C.例6 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的兩個(gè)一次因式的積，試確定m的值.【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再對比系數(shù)求得m.解:設(shè)x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+acy2+(b+d)x+(ad+bc)y+bd.對比多項(xiàng)式的系數(shù)得由，兩式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)當(dāng)b=-8，d=3時(shí)，得a=9，c=-2，(2)當(dāng)b=3，d=-8時(shí)，得a=-2，c=9.m=-18. 【點(diǎn)評】本題實(shí)質(zhì)考查了學(xué)生對待定系數(shù)法的理解與運(yùn)用能力.變式題 已知多項(xiàng)式2x3-x2+m有一個(gè)因式(2x+1),求m的值.解答： 由已知條件可以設(shè)2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),則2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.對比多項(xiàng)式系數(shù)可得類型之四、思想方法型1.整體轉(zhuǎn)化思想例7 a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，e的絕對值是2，并且x=+2cd+e2，求9x2+x（4x-3）-2x（x-3）的值.【思路分析】整體確定a+b、cd的值，進(jìn)而得到x的值，將求值式化簡后再代入.解：根據(jù)題意，a+b=0，cd=1，|e|=2，所以x=+2cd+e2=+2cd+e2=+21+22=2+2=4.原式=9x2+（4x2-3x-2x2+6x）=11x2+3x=1142+43=6+12=188.【點(diǎn)評】本題綜合性強(qiáng)，涉及到以前學(xué)過的互為相反數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的積為1，絕對值的意義，題目較復(fù)雜，但還是應(yīng)依據(jù)先化簡，再求值的原則.變式題 （1）已知（a+b）2=144 ， (a-b)2=36, 求ab 與a2 + b2 的值. （2）設(shè)m2+m-1=0，求m3+2m2+2004的值.提示：本題在解題時(shí)要運(yùn)用整體思想.解：（1）已知（a+b）2=144， (a-b)2=36, a2 +2ab+ b2=144，a2 -2ab+ b2=36， 把a(bǔ)b 與a2 + b2分別看作是整體，兩式相加得到2（a2 + b2）=180，即a2 + b2=90， 兩式相減，得到4ab=108，即ab=27.答：ab=27，a2 + b2=90.（2）m2+m-1=0，m2+m=1.m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.答：m3+2m2+2004=2005.2.數(shù)形結(jié)合思想例8 在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（ab）（如圖1），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（ ）A.（a+b）（a-b）=a2-b2； B.（a+b）2=a2+2ab+b2；C.（a-b）2=a2-2ab+b2； D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.【思路分析】先寫出圖中面積的不同表達(dá)形式，再比較作出判斷.解：原陰影部分的面積為a2-b2，移動(dòng)后陰影部分的面積為（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，選A.【點(diǎn)評】從面積到乘法公式，從乘法公式到面積表達(dá)式，充分展示了數(shù)學(xué)里的“數(shù)”與“形”的和諧美.由“數(shù)”到“形”，有“形”到“數(shù)”，這樣反復(fù)觀察思考、操作運(yùn)算，對提高我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維是大有益處的.變式題 （蘇科版課課練P63 6）如圖，利用圖形因式分解：a2+7ab+12b2.提示：結(jié)合圖形尋求答案.解：a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.五、實(shí)踐型1.思維實(shí)踐型例9 多項(xiàng)式9x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方式，那么加上的單項(xiàng)式可以是 .（填上一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）【思路分析】許多學(xué)生在解答此題時(shí)，由于受思維定勢的影響，習(xí)慣于依據(jù)課本上的完全平方公式得9x2+1+6x=（3x+1）2，或9x2+1-6x=（3x-1）2，只要再動(dòng)動(dòng)腦筋，還可以得出：9x2+1+x4=（x2+1）2，9x2+1-1=（3x）2，9x2+1-9x2=12.解：所加的單項(xiàng)式可以是6x或x4或-1或-9x2.【點(diǎn)評】這是一個(gè)適度的開放題，對思維要求能力比較高.變式題 觀察一組式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412， 猜想一下，第n個(gè)式子是 .提示： 通過觀察幾個(gè)具體的等式，而抽象出一般規(guī)律，本題可以通過變形產(chǎn)生平方差，再反復(fù)用平方差公式得解.解：觀察已知式子，可知每個(gè)等式左邊第二項(xiàng)的底數(shù)與右邊的結(jié)果的底數(shù)為相鄰的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，變形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，且有關(guān)系5=21（1+1）+1，13=22（2+1）+1，25=23（3+1）+1，41=24（4+1）+1，從而第n個(gè)式子中右邊的底數(shù)為2n（n+1）+1，因此有：2n（n+1）+12-2n（n+1）2=2n（n+1）+1+2n（n+1）2n（n+1）+1-2n（n+1）=4n2+4n+1=（2n+1）2.故第n個(gè)式子為（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2.2.動(dòng)手實(shí)踐型例10 現(xiàn)有足夠的22，3 3的正方形和23的矩形圖片A、B、C（如圖），先從中各選取若干個(gè)圖片拼成不同的圖形，請你在下面給出的方格紙（每個(gè)小正方形的邊長均為1）中，按下列要求畫出一種拼法的示意圖（要求每兩個(gè)圖片之間既無縫隙，也不重疊，畫圖時(shí)必須保留作圖痕跡）.（1） 選取A型、B型兩種圖片各1塊，C型圖片2塊，拼成一個(gè)正方形；（2） 選取A型圖片4塊、B型圖片1塊，C型圖片4塊，拼成一個(gè)正方形；（3） 選取A型圖片3塊、B型圖片1塊，再選取若干塊C型圖片，拼成一個(gè)矩形.【思路分析】按常規(guī)思路是用畫圖（或?qū)嵨飯D片）嘗試去拼接，這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效率低.若設(shè)A形紙片的邊長是a，B型紙片的邊長為b（ba），則C型紙片的長為b、寬為a，抓住“拼接前后面積不變”這一條件，運(yùn)用因式分解，可使解題目標(biāo)的實(shí)施更明確，過程更簡明. 如（1）因拼接前后的總面積不變是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，則所拼接正方形邊長為a+b.可拼接如圖1所示的草圖（注：沒在提供的方格圖中畫）.（2）由拼接前后的面積是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，則所拼接正方形邊長為2a+b.可拼接如圖2所示的草圖.（3）拼接圖形面積為3a2+b2+（ ）ab，（ ）為整數(shù)，能夠拼接為某一圖，則其必能分解，結(jié)合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即選4張C型紙片即可拼接成一矩形，由分解因式的特點(diǎn)，可拼出如圖3的草圖.變式題 （蘇科版課課練P63 6）已知3種形狀的長方形和正方形紙片（如圖1）：用它們拼成一個(gè)長為（3a+2b）、寬為（a+b）的長方形，各需多少塊？并畫出圖形.提示：根據(jù)拼接前后面積不變知道長方形的面積為（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，顯然需要A正方形紙片3張、B正方形紙片2張、C長方形紙片5張，共10張紙片.解：需要A正方形紙片3張、B正方形紙片2張、C長方形紙片5張，共10張紙片. 畫圖如圖2所示.中考名題欣賞1.計(jì)算：（-1-2a）（2a-1）= ； 化簡：（m+n）（m-2n）= .解：（1）方法1：（-1-2a）（2a-1）=-2a+1-4a2+2a=1-4a2； 方法2：（-1-2a）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a2-1）=1-4a2； 方法3：（-1-2a）（2a-1）=（-1-2a）（-1+2a）=（-1）2-（2a）2=1-4a2.（2）方法1：原式=m2-mn+mn-2n2=m2-2n2；方法2：原式=（m+2n）（m-2n）=（m2-4n2）=m2-2n2；方法3：原式=2（m+n）（m-n）=2（m2-n2）=m2-2n2.【點(diǎn)評】該題考查乘法的基本運(yùn)算和靈活運(yùn)用乘法公式的能力，可以按多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行，也可以通過適當(dāng)變形巧用乘法公式來簡化計(jì)算.【方法技巧】對多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)變形，可達(dá)到運(yùn)用乘法公式來簡捷解題的目的.中考中對整式乘法知識(shí)的考查難度不大，但很靈活，在解題時(shí)我們一定要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住特點(diǎn)，創(chuàng)造性地解題.2.（1）把代數(shù)式xy2-9x分解因式，結(jié)果正確的是（ ） A.x（y2-9） B.x（y+3）2 C.x（y+3）（y-3） D.x（y+9）（y-9）（2）把代數(shù)式a3+ab2-2a2b分解因式的結(jié)果是 .解：（1）xy2-9x=x（y2-9）= x（y+3）（y-3），故選C；（2）原式=a（a2+b2-2ab）=a（a2-2ab+b2）=a（a-b）2.【點(diǎn)評】該題既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根據(jù)項(xiàng)數(shù)確定應(yīng)用什么公式.在中考中，對因式分解的考查一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，比較容易，但失分率卻比較高，主要是對因式分解的概念模糊，分解不徹底所致.如第（1）題，不少考生可能選A，第（2）題誤填a（a2+b2-2ab）.3. （1）如圖1是一個(gè)正方形與一個(gè)直角三角形所組成的圖形，則該圖形的面積為 （ ）A.m2+mn B. c. D. （2）三種不同類型的矩形地磚長寬如圖2所示若先有A類4塊，B類4塊，C類2塊，要拼成一個(gè)正方形，則應(yīng)多余出一塊 型地磚；這樣的地磚拼法表示了一個(gè)兩數(shù)和的平方的幾何意義，這個(gè)兩數(shù)和的平方是 .解：（1）S=m2+m（n-m）=m2+mn-m2=，選C；（2）通過動(dòng)手操作可得如圖3（答案不唯一），易知多了一塊C型地磚，其面積為（2m+n）2或4m2+4mn+n2.因此，依次填入C，（2m+n）2= 4m2+4mn+n2.【點(diǎn)評】第（1）題可分別求出正方形和直角三角形的面積，再求和；第（2）題可通過動(dòng)手操作，擺出圖形來尋求答案. 該題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力以及對單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和乘法公式完全平方公式的理解和掌握.利用幾何的面積法與代數(shù)的計(jì)算法相結(jié)合，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，提升了難度，更體現(xiàn)了新課標(biāo)的基本理念.4.老師在黑板上寫出三個(gè)算式：52-32=82，92-72=84，152-32=827，王華又接著寫出了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：112-52=812，152-72=822，（1）請你再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；（2）用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；（3）證明這個(gè)規(guī)律的正確性.解：（1）寫出兩個(gè)正確的算式，如：32-12=81，72-32=85等等；（2）規(guī)律：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)；（3）證明：設(shè)m、n為兩個(gè)整數(shù)，兩個(gè)奇數(shù)可表示為2m+1和2n+1， 則（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）. 當(dāng)m、n同是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，m-n一定為偶數(shù)，所以4（m-n）一定是8的倍數(shù)； 當(dāng)m、n一奇一偶時(shí)，則m+n+1一定是偶數(shù)，所以4（m+n-1）一定是8的倍數(shù). 所以，任意兩奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).（說明：規(guī)律說成是：“兩奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)”且證明正確也可得滿分，如果證明中加設(shè)mn的條件，不扣分）.【點(diǎn)評】這是一則探索規(guī)律題，等式左邊是兩個(gè)奇數(shù)的平方差，（大數(shù)減小數(shù)），右邊是8的倍數(shù).【方法技巧】解決探索規(guī)律題，要認(rèn)真觀察已給的等式和自己寫出的等式，充分聯(lián)想已有的知識(shí)，大膽猜想相應(yīng)的結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)密推理說明，即認(rèn)真觀察，廣泛聯(lián)想，大膽猜測，小心論證.5.化簡：（2x-1）2-（3x-1）（3x-1）+5x（x-1），再選一個(gè)你喜歡的數(shù)代替x求值.解：分別用完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，再去括號(hào)，合并同類項(xiàng).原式=4x2-4x+1-（9x2-1）+5x2-5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2-5x=-9x+2.取一個(gè)x值，代入求值即可.取x=0，則原式=2.【點(diǎn)評】這是一道自編自解題，先化簡，后取一個(gè)x值代入求值，但取x值既要使原代數(shù)式有意義，又要使計(jì)算簡捷方便.6.物資調(diào)運(yùn)是國民經(jīng)濟(jì)的重要問題，安排得當(dāng)可以為國家節(jié)省大量資金和物力，下面是一個(gè)車床調(diào)運(yùn)的實(shí)例.北京與上海分別制造同種型號(hào)的車床10臺(tái)和6臺(tái)，這些車床計(jì)劃分配到武漢和西安兩地，運(yùn)送一臺(tái)車床的費(fèi)用（單位：元）如下圖1所示，如果北京發(fā)往武漢x臺(tái)，上海發(fā)往西安y臺(tái)，求總運(yùn)費(fèi).終點(diǎn)始點(diǎn)武漢西安北京500400上海700950 圖1解：作出如圖2的網(wǎng)絡(luò)圖，并標(biāo)上相關(guān)的數(shù)據(jù)，由圖易知總運(yùn)費(fèi)W=500x+400（10-x）+950y+700（6-y）=100x+250y+8200（元）（答略）.【點(diǎn)評】這是一道實(shí)際應(yīng)用題，先從題目中（特別是表格中）提取相關(guān)信息，借助于整式運(yùn)算的知識(shí)來解答.這里運(yùn)用“詞、數(shù)、圖、式”一體化的解題思路，架起“示意圖”這座橋梁，達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的.這種方法將數(shù)化形，其優(yōu)越性在于直觀、形象，是將具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型的一種普遍使用的方法.章內(nèi)專題閱讀如何用乘法公式？乘法公式是初一代數(shù)的重要內(nèi)容，對今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)影響很大.也是中考考查的重要知識(shí)點(diǎn).本文介紹如何使用乘法公式.1.直接用例1 計(jì)算（3x2+y）（3x2-y）分析 本題符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，其中3x2相當(dāng)于公式中的a、y相當(dāng)于公式中的b，故可直接使用平方差公式.解 原式=（3x2）2-y2=9x4-y2.2.連續(xù)用例2 計(jì)算（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）（x-1）.分析 按順序直接計(jì)算量很大，把最后一個(gè)因式放到前面，則可連續(xù)使用平方差公式.解 原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x2-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1） =（x4-1）（x4+1）（x8+1）=（x8-1）（x8+1）= x16-1.3.整體用例3 計(jì)算（新教案9.4（3