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文檔簡介

二、直線與圓的位置關(guān)系(相交,相切,相離)已知圓,直線。1、位置關(guān)系的判定:判定方法1:聯(lián)立方程組,得到關(guān)于x(或y)的方程(1)相交;(2)相切;(3)相離。判定方法2: 若圓心到直線L的距離為d,(1)相交;(2)相切;(3)相離。例1、判斷直線與圓的位置關(guān)系。法一:直線恒過點(diǎn),且P在圓O內(nèi),所以直線L與圓O相交。法二:圓心O到直線L的距離為 當(dāng)時(shí), 所以直線L與圓O相交。法三:聯(lián)立方程,消去y得 當(dāng)時(shí),直線與圓相交; 當(dāng)時(shí),直線L:,此時(shí)直線L與圓O相交。評(píng)法二和法三是判斷直線與圓位置關(guān)系的基本方法,但計(jì)算量偏大;而法一是先觀察直線的特點(diǎn)再結(jié)合圖,避免了大量的計(jì)算,因此體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)。例2、求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大最小值法一:設(shè)為圓上一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線的距離為所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),。xy0ABM3x+4y=25法二:如圖,直線l過圓心,且與垂直 于點(diǎn)M,此時(shí),l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A、B。原點(diǎn)到直線的距離,所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為,最小值為。評(píng)法二是幾何做法,充分體現(xiàn)了它計(jì)算量小的優(yōu)勢。2、切線問題:例3:(1)已知點(diǎn)是圓C:上一點(diǎn),求過點(diǎn)P的圓C的切線方程;(。)法一:因點(diǎn)是圓C:上一點(diǎn),所以, 當(dāng)且時(shí),所以切線方程為,即(1); 當(dāng)P為時(shí),切線方程為,滿足方程(1);當(dāng)P為時(shí),切線方程為,滿足方程(1);當(dāng)P為時(shí),切線方程為,滿足方程(1);當(dāng)P為時(shí),切線方程為,滿足方程(1);綜上,所求切線方程為。法二:設(shè)為所求切線上除P點(diǎn)外的任一點(diǎn),xyOPM則由圖知,即,且滿足上面的方程。綜上,所求切線方程為。(2)已知圓O:,求過點(diǎn)P(4,6)的圓的切線PT的方程。解:當(dāng)PT方程為時(shí),為圓O的切線,滿足題意; 設(shè)PT的方程為,即則圓心到PT的距離為,所以PT的方程為,即 綜上,切線PT的方程為。評(píng)(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法,但利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來判斷在計(jì)算上更簡潔。(2)過圓外一點(diǎn)向圓引切線,應(yīng)有兩條;過圓上一點(diǎn)作圓的切線,只有一條。例4、求過下列各點(diǎn)的圓C:的切線方程:(1);(2)。解:(1)圓C:,圓心,且點(diǎn)A在圓C上,法一:設(shè)切線方程為,則圓心到切線的距離為 ,所以所求切線方程為。法二:,所以所求切線方程為即(2)點(diǎn)B在圓外,所以過B點(diǎn)的切線有兩條設(shè)切線方程為,則圓心C到切線的距離為 又直線也是圓的切線方程所以所求切線方程為和。 APBOxy例5、設(shè)點(diǎn)是圓上任一點(diǎn),求的取值范圍。()法一:u表示過點(diǎn)且與圓有交點(diǎn)的直線l的斜率, 如圖,當(dāng)直線l與圓相切時(shí),PA的斜率不存在,直線PB的方程為,圓心到直線PB的距離為,所以。法二:設(shè),則 評(píng)法一利用數(shù)形結(jié)合的思想,是解決這類問題的基本方法。 法二把這個(gè)幾何問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域的問題,但此三角函數(shù)問題計(jì)算量偏大,難以解決,反過來,我們可以把求值域的問題轉(zhuǎn)化為本題去解決,就顯得要好用的多。要善于處理代數(shù)問題和幾何問題之間轉(zhuǎn)化的問題。xOyPABL例6、從直線上一點(diǎn)做圓的切線,切點(diǎn)為A、B,求四邊形PAOB面積的最小值。解:因?yàn)樗援?dāng)最小時(shí),最小,又因當(dāng)時(shí)最小,此時(shí),。xOyPABD例7、(切點(diǎn)弦)過圓外一點(diǎn)做圓的切線,切點(diǎn)為A、B,求:直線AB的方程。法一:如圖,,由射影定理知,所以O(shè)分的比為,所以,又當(dāng)時(shí)即當(dāng)或時(shí),切線方程滿足上式所以所求切線的方程為。法二:設(shè),則過A點(diǎn)的切線為,過點(diǎn),同理有由以上兩式可以看出A、B的坐標(biāo)都滿足方程,它是一條直線的方程,而過兩點(diǎn)的直線有且僅有一條,所以直線AB的方程為。評(píng)法一先求得直線AB的斜率及其上一點(diǎn)的坐標(biāo),再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程,做起來運(yùn)算量比較大。而法二巧妙的避開了求AB的坐標(biāo),設(shè)而不求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程概念的深刻理解。3、弦長公式:若L與C交于A、B兩點(diǎn),求AB方法1:利用弦心距與半徑求弦長;方法2:利用弦長公式求弦長:或例8、求圓心在點(diǎn),且在直線上截得的弦長為的圓的方程。法一:圓心到直線的距離為 所以所求圓的方程為。法二:設(shè)圓的方程為,則由,消去y得由韋達(dá)定理,所以所求圓的方程為。xOyPBAC例9、過點(diǎn)的直線l與圓交于A、B兩點(diǎn),若使最小,求直線l的方程。 解:圓,圓心,r=2因,當(dāng)d最大時(shí),最小,此時(shí),直線,所以直線l的方程為即。4、弦中點(diǎn)問題:若L與C交于P、Q兩點(diǎn),P、Q的中點(diǎn)為M1) 若已知圓方程與M,求直線的方程。2) 若已知圓方程與直線L的斜率,求M的軌跡。3) 若已知圓方程,又知直線L過定點(diǎn)(m,n),求M的軌跡。例10、(1)若點(diǎn)為圓的弦AB的中點(diǎn),求直線AB的方程。解:圓心,因,且l過點(diǎn)P, 的方程為即(2)若直線與圓相交于A、B兩點(diǎn),求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡。解:設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn),消去y得由韋達(dá)定理, 由消去b得,又因M在圓內(nèi),所以所求軌跡為直線在圓內(nèi)的部分。(3)經(jīng)過原點(diǎn)作圓的割線l,交圓于A、B兩點(diǎn),求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡。法一:設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn),直線l的方程為,由消去y得,又因代入得,因M點(diǎn)在圓內(nèi),所以所求軌跡為圓在圓內(nèi)的部分。法二:設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn),因, 當(dāng)且時(shí),有即 ; 當(dāng)時(shí),點(diǎn)M不存在;當(dāng)時(shí),點(diǎn)M與C重合,符合方程; 因M點(diǎn)在圓內(nèi)所求軌跡為圓在圓內(nèi)的部分。法三:設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn),點(diǎn)在以O(shè)C為直徑的圓上,即,因M點(diǎn)在圓內(nèi),所以所求軌跡為圓在圓內(nèi)的部分。作業(yè):1. 求以點(diǎn)(1,2)為圓心,與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程2. 在圓的切線中,求與直線平行的切線方程。3. 一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)P(2,-1)和直線相切,且圓心在上,求它的方程。4. 圓的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于16,求此切線的方程。5. 已知對(duì)于圓上任一點(diǎn),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。6. 若圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值是4,求k7. 設(shè)a +b+1=0 , 試求:的最小值8. 已知實(shí)數(shù)滿足:(1)求y-2x的取值范圍;(2)求的取值范圍。9. 自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓相切,求光線L所在的直

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