直線與圓的位置關(guān)系(相交.doc

二、直線與圓的位置關(guān)系（相交，相切，相離）已知圓，直線。1、位置關(guān)系的判定：判定方法1：聯(lián)立方程組，得到關(guān)于x（或y）的方程（1）相交；（2）相切；（3）相離。判定方法2： 若圓心到直線L的距離為d，（1）相交；（2）相切；（3）相離。例1、判斷直線與圓的位置關(guān)系。法一：直線恒過點(diǎn)，且P在圓O內(nèi)，所以直線L與圓O相交。法二：圓心O到直線L的距離為 當(dāng)時(shí)， 所以直線L與圓O相交。法三：聯(lián)立方程，消去y得 當(dāng)時(shí)，直線與圓相交； 當(dāng)時(shí)，直線L:，此時(shí)直線L與圓O相交。評(píng)法二和法三是判斷直線與圓位置關(guān)系的基本方法，但計(jì)算量偏大；而法一是先觀察直線的特點(diǎn)再結(jié)合圖，避免了大量的計(jì)算，因此體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)。例2、求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大最小值法一：設(shè)為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離為所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。xy0ABM3x+4y=25法二：如圖，直線l過圓心，且與垂直 于點(diǎn)M，此時(shí)，l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A、B。原點(diǎn)到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為。評(píng)法二是幾何做法，充分體現(xiàn)了它計(jì)算量小的優(yōu)勢。2、切線問題：例3：（1）已知點(diǎn)是圓C：上一點(diǎn)，求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；（。）法一：因點(diǎn)是圓C：上一點(diǎn)，所以， 當(dāng)且時(shí)，所以切線方程為，即（1）； 當(dāng)P為時(shí)，切線方程為，滿足方程（1）；當(dāng)P為時(shí)，切線方程為，滿足方程（1）；當(dāng)P為時(shí)，切線方程為，滿足方程（1）；當(dāng)P為時(shí)，切線方程為，滿足方程（1）；綜上，所求切線方程為。法二：設(shè)為所求切線上除P點(diǎn)外的任一點(diǎn)，xyOPM則由圖知，即，且滿足上面的方程。綜上，所求切線方程為。（2）已知圓O：，求過點(diǎn)P（4，6）的圓的切線PT的方程。解：當(dāng)PT方程為時(shí)，為圓O的切線，滿足題意； 設(shè)PT的方程為，即則圓心到PT的距離為，所以PT的方程為，即 綜上，切線PT的方程為。評(píng)（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法，但利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來判斷在計(jì)算上更簡潔。（2）過圓外一點(diǎn)向圓引切線，應(yīng)有兩條；過圓上一點(diǎn)作圓的切線，只有一條。例4、求過下列各點(diǎn)的圓C：的切線方程：（1）；（2）。解：（1）圓C:，圓心，且點(diǎn)A在圓C上，法一：設(shè)切線方程為，則圓心到切線的距離為 ，所以所求切線方程為。法二：，所以所求切線方程為即（2）點(diǎn)B在圓外，所以過B點(diǎn)的切線有兩條設(shè)切線方程為，則圓心C到切線的距離為 又直線也是圓的切線方程所以所求切線方程為和。 APBOxy例5、設(shè)點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，求的取值范圍。（）法一：u表示過點(diǎn)且與圓有交點(diǎn)的直線l的斜率， 如圖，當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，PA的斜率不存在，直線PB的方程為，圓心到直線PB的距離為，所以。法二：設(shè)，則 評(píng)法一利用數(shù)形結(jié)合的思想，是解決這類問題的基本方法。 法二把這個(gè)幾何問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域的問題，但此三角函數(shù)問題計(jì)算量偏大，難以解決，反過來，我們可以把求值域的問題轉(zhuǎn)化為本題去解決，就顯得要好用的多。要善于處理代數(shù)問題和幾何問題之間轉(zhuǎn)化的問題。xOyPABL例6、從直線上一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為A、B，求四邊形PAOB面積的最小值。解：因?yàn)樗援?dāng)最小時(shí)，最小，又因當(dāng)時(shí)最小，此時(shí)，。xOyPABD例7、（切點(diǎn)弦）過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為A、B，求：直線AB的方程。法一：如圖，,由射影定理知，所以O(shè)分的比為，所以，又當(dāng)時(shí)即當(dāng)或時(shí)，切線方程滿足上式所以所求切線的方程為。法二：設(shè)，則過A點(diǎn)的切線為，過點(diǎn)，同理有由以上兩式可以看出A、B的坐標(biāo)都滿足方程，它是一條直線的方程，而過兩點(diǎn)的直線有且僅有一條，所以直線AB的方程為。評(píng)法一先求得直線AB的斜率及其上一點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程，做起來運(yùn)算量比較大。而法二巧妙的避開了求AB的坐標(biāo)，設(shè)而不求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程概念的深刻理解。3、弦長公式：若L與C交于A、B兩點(diǎn)，求AB方法1：利用弦心距與半徑求弦長；方法2：利用弦長公式求弦長：或例8、求圓心在點(diǎn)，且在直線上截得的弦長為的圓的方程。法一：圓心到直線的距離為 所以所求圓的方程為。法二：設(shè)圓的方程為，則由，消去y得由韋達(dá)定理，所以所求圓的方程為。xOyPBAC例9、過點(diǎn)的直線l與圓交于A、B兩點(diǎn)，若使最小，求直線l的方程。 解：圓，圓心，r=2因，當(dāng)d最大時(shí)，最小，此時(shí)，直線，所以直線l的方程為即。4、弦中點(diǎn)問題：若L與C交于P、Q兩點(diǎn)，P、Q的中點(diǎn)為M1) 若已知圓方程與M，求直線的方程。2) 若已知圓方程與直線L的斜率，求M的軌跡。3) 若已知圓方程，又知直線L過定點(diǎn)(m，n)，求M的軌跡。例10、（1）若點(diǎn)為圓的弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程。解：圓心，因，且l過點(diǎn)P， 的方程為即（2）若直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡。解：設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn)，消去y得由韋達(dá)定理， 由消去b得，又因M在圓內(nèi)，所以所求軌跡為直線在圓內(nèi)的部分。（3）經(jīng)過原點(diǎn)作圓的割線l，交圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡。法一：設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn)，直線l的方程為，由消去y得，又因代入得，因M點(diǎn)在圓內(nèi)，所以所求軌跡為圓在圓內(nèi)的部分。法二：設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn)，因， 當(dāng)且時(shí)，有即 ； 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M不存在；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M與C重合，符合方程； 因M點(diǎn)在圓內(nèi)所求軌跡為圓在圓內(nèi)的部分。法三：設(shè)為所求軌跡上任一點(diǎn)，點(diǎn)在以O(shè)C為直徑的圓上，即，因M點(diǎn)在圓內(nèi)，所以所求軌跡為圓在圓內(nèi)的部分。作業(yè)：1. 求以點(diǎn)(1，2)為圓心，與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程2. 在圓的切線中，求與直線平行的切線方程。3. 一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，-1）和直線相切，且圓心在上，求它的方程。4. 圓的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于16，求此切線的方程。5. 已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。6. 若圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值是4，求k7. 設(shè)a +b+1=0 , 試求:的最小值8. 已知實(shí)數(shù)滿足：（1）求y-2x的取值范圍；（2）求的取值范圍。9. 自點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，求光線L所在的直