高等數(shù)學(xué)綜合練習(xí)303.pdf

1 綜合練習(xí) 303 解答 一 填空題 1 以下函數(shù)的性質(zhì)中 是其他的充分條件 A 連續(xù) B 可偏導(dǎo) C 可微 D 有方向?qū)?shù) 解 選 C 2 函數(shù) 22 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 在 0 0處 A 連續(xù)且可偏導(dǎo) B 連續(xù)但不可偏導(dǎo) C 可偏導(dǎo)但不連續(xù) D 不連續(xù)不可偏導(dǎo) 解 當(dāng) x y沿ykx 趨向于 0 0時 2 1 k f x y k 依k的不同而不同 故 22 0 0 lim x y xy xy 不存在 即函數(shù)在 0 0處不連續(xù) 而 00 00 00 0 0limlim0 0 x xx f xf f xx 00 0 0 00 0 0limlim0 0 y yy fyf f yy 故可偏導(dǎo) 因此選 C 3 設(shè) F x y在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 00 xyD 若 則方程 0F x y 在 00 xy鄰域內(nèi)唯一確定連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù) yy x 使得 00 yy x 且 x y Fdy dxF 解 00 0F xy 00 0 y Fxy 4 sinsinfx yxyyx 在 2 2 處的最大方向?qū)?shù)為 2 解 2 2 2 2 grad sincos cossin1 1 2 2 xy fffyyx xyx 故 2 2 f l 的最大值為沿 1 1方向的導(dǎo)數(shù) 等于 1 12 5 設(shè) 2 yz t xz ue dt 則 du dz 解 2222 yzxzyzxz u eyexyexe z 6 設(shè) zf u v 有二階連續(xù)偏導(dǎo) uaxby vcxdy 則 2z x y 表達式 中 uv f的系數(shù)是 解 uvuv zuv ffafcf xxx 2 uuuvvuvvuuuvvuvv zuvuv affcffabfadfbcfcdf x yyyyy 故 uv f的系數(shù)是adbc 7 設(shè) 2 11 1 11 cos sin y MP LN dyfx y dxdfd 則 L M N P依次 為 解 2 11 12cos 4 1 11 4cos cos sin y dyfx y dxdfd 8 設(shè) 2222 xyza 1 是其第一卦限部分 則 2 xyzdv 3 A 222 xyzdv B 1 2 8xyzdv C 1 222 8xyzdv D 1 2 24x dv 解 2 222 xyzdvxyzdv 故選 B 二 設(shè) 23 uxy z 而 zz x y 是方程 222 3xyzxyz 確定的隱函數(shù) 求 1 1 1 u y 解 322 1 1 11 1 11 1 1 2323 uzz xyzxy z yyy 而 222 32233 zz xyzxyzyzxzxy yy 代入1 1 1xyz 得 1 1 1 1 z y 于是 1 1 1 231 u y 三 在曲面 222 221xyz 上找一點 使函數(shù) 222 uxyz 在該點沿方向 1 1 0l 的變化率最大 解 grad2 2 2uxyz 11 0 22 l e grad22 l u u exy l 令 222 221Lxyxyz 則 222 140 140 200 2210 x y z Lx Lyyx Lzz Lxyz 解得 1 2 x 1 2 y 0z 于是 11 0 22 2 u l 為最大值 1 1 0 2 2 2 u l 為最小值 4 四 求 2 D Iyx d 其中D是曲線 2 xy 和 2 32xy 所圍區(qū)域 解 2 2 1 32 xy y xy 故 2 2 3 21 2 1 24 5 y y Idyyx dx 五 求 22 Iz xydv 其中 22222 14 xyzzxy 解 sincos sinsin cos xr yr zr 故 22 4 222 001 21 sincossin 16 Iddrrr dr 六 求 22 xy L Ixy eds 其中L是 2 1yx 與yx 所圍區(qū)域的邊界 解 1 Lyx 1 2 0 2 x 1 12dsdxdx 2 cos sin x L y 3 44 22 sincosdsdd 3 Lyx 1 0 2 2 x 1 12dsdxdx 2 123 3 0 4 21 1 2 24 2cossin x LLL Ixx edxe d 2 1 2 2 2 0 131 2022122 222 x xx edxeee 七 求 1 ln