微分方程——.docx

微分方程式一種工具，可以預見未來；現(xiàn)實世界：飛行飛行模擬裝置微分方程的作用1、模型化現(xiàn)象模型化后的數(shù)學模型是包含微分的方程故為微分方程；模型：微分方程（數(shù)學世界）能夠完成模擬實驗，也能用于預測；3、解釋2、計算解：函數(shù)飛行模擬裝置大氣運動模型化。模型計算。函數(shù)的解解釋。氣象模擬實驗。天氣預報關于物理運動的定律和法則；1、牛頓運動方程；如果得到的結(jié)果發(fā)生嚴重偏離，就再次返回到模型化這個步驟，考慮更加精密的模型；采用何等精度的模型取決于想從多遠的距離眺望滑翔機。從遙遠的地方眺望時，可以忽略其形狀，當做一個點來處理；若想知道滑翔機周圍空氣的流動狀態(tài)時，應考慮更加復雜和精密的模型；模型化是經(jīng)驗！掌握根據(jù)模型判斷結(jié)果的知識；對于典型現(xiàn)象，可以考慮各種各樣的模型，因此，要學會使用這些模型。貫通現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的本事。為什么能用微分方程進行模型化？“微積分的基本定理”1、函數(shù)、變量和曲線F常常作為函數(shù)的符號，但，將現(xiàn)象模型化時，經(jīng)常用文字表示。變量：將任意的數(shù)用文字表達的產(chǎn)物。自變量與因變量是主從關系?；铏C的運動模型化時必要地變量，時間是自變量；位移是因變量。斜率：數(shù)學世界中的變化率。更具有普遍性。指數(shù)函數(shù)、連續(xù)遞增、遞減“e”叫做納皮爾數(shù)。指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)連續(xù)變化的同時變化慢慢減弱底數(shù)為e的對數(shù)稱為自然對數(shù)。（在處理微分方程方面尤其重要）三角函數(shù)遞增、遞減搖擺變化的函數(shù)。定義：以直角三角形的各個邊長與角的關系定義的函數(shù)雙曲線函數(shù)與三角函數(shù)性質(zhì)非常相似的函數(shù)歐拉公式：引入虛數(shù)形成難以分離的關系；歐拉公式：雙曲線函數(shù)公式：微分：運動狀態(tài)變化的情況。速度變化的時候，圖標變成曲線。變化率曲線上點的切線的斜率；求“極限”(limit)是變量無限趨近于某個數(shù)的數(shù)學操作（方便連接現(xiàn)實世界與數(shù)學世界）_瞬時速度_平均速度2理解為兩次微分線性微分的次數(shù)=導函數(shù)的階數(shù)微分方程積分：齊次非齊次齊次非齊次非線性一階齊次線性：一階非齊次線性：考慮重力和粘性阻力的情況下的運動方程 第四章二階齊次線性：考慮談了和阻力的振動體系的運動方程 第五章二階非齊次線性：包含外力的振動體系的運動方程 第五章可分離變量微分方程：現(xiàn)象模型解解釋馬爾薩斯法則核衰變各種各樣的現(xiàn)象與一個表達式物流模型。（八組）現(xiàn)象：遞增、遞減的現(xiàn)象。用可分離變量微分方程做一個模型。北海道鹿增加時捕食鹿的北海道狼極度減少所致現(xiàn)實世界數(shù)學世界現(xiàn)象（鹿數(shù)量增加）模型化得到（模型） 應用 現(xiàn)象的說明解釋解0時，鹿隨時間急劇增加；值變大時，以更快的速度增加；從現(xiàn)實世界中鹿的數(shù)量，調(diào)查初始條件和然后推算病預測今后鹿的數(shù)量；馬爾薩斯法則：世界人口大爆發(fā)成為問題的不是人口的持續(xù)增加，而是人口的指數(shù)函數(shù)式的增加。最初提出人口增長方式與食物增長方式不同之處的人就是馬爾薩斯。馬爾薩斯法則：人口增加率與人口P成正比。比例常數(shù)表示人口增加的微分方程參數(shù)叫做增殖率，也叫馬爾薩斯徑數(shù)（徑數(shù)是參數(shù)，不是系數(shù)）核衰變：利用放射性物質(zhì)的衰變速度來測定年代；提起放射性物質(zhì)，總讓人感覺存在著一股危險的氣息。實際自然界也有恒定比例的放射性物質(zhì)存在，平常我們身邊也存在。年代測定中，經(jīng)常使用的物質(zhì)是碳元素。它是組成包括我們?nèi)祟愒趦?nèi)的所有生物社體的基本元素之一。植物在吸收碳元素時，如果釋放出與時鐘相關聯(lián)的東西，就可得知這個植物生存的年代。動物食用碳元素的植物，也可大概推測食用這些植物的動物生存的年代。這些碳元素中，能夠巧合地發(fā)現(xiàn)類似時鐘的東西。是宇宙中發(fā)射的放射線與上層空氣發(fā)生碰撞所產(chǎn)生的中性粒子，與空氣中的氮元素反應的產(chǎn)物。產(chǎn)生的碳元素與氧氣發(fā)生化合反應變成二氧化碳，在大氣中擴散。不能長時間穩(wěn)定地存在。最終會發(fā)射放射線，變成其他元素。（不僅限于）核衰變：發(fā)射放射線變成其他元素的現(xiàn)象；放射性同位素：發(fā)生核衰變的同位素；放射性同位素按照恒定的概率進行衰變。發(fā)生核衰變變成其他元素，所以原來的放射性同位素的數(shù)量會減少（不重新供給的話）。半衰期：原有的放射性同位素的原子經(jīng)過衰變之后變成原來的一半的時間間隔；根據(jù)放射性同位素的不同而數(shù)值不同。的半衰期是5730年。大氣中的和的比例是恒定的（嚴密地說也不是恒定的，為此，年代測定的正確性受到質(zhì)疑，關于推測年代的討論也此起彼伏）含和的二氧化碳的化學性質(zhì)完全相同（物理性質(zhì)不同），即，植物細胞內(nèi)的和的比例是恒定的。但，不進行光合作用時，就會放出類似時鐘的東西。植物、動物都可以通過調(diào)查生物遺體內(nèi)所含和的比例得知光合作用何時停止的。原子數(shù)的變化率（衰變速度）與原子數(shù)成正比。隨時間的推移會有恒定比例的原子開始衰變。半衰期與衰變常數(shù)的倒數(shù)成正比；衰變時間。這一點較為玄妙。等值樹停止光合作用的時間，但不能得知樹木的年代。各種各樣的現(xiàn)象與一個表達式：各種各樣的現(xiàn)象費希納法則核衰變馬爾薩斯法則火箭的到達速度 現(xiàn)實世界 數(shù)學世界牛頓冷卻法則物流模型：考慮實際情況，馬爾薩斯徑數(shù)改寫成隨著人口P的增加變小的形式，K為常數(shù)，則 _被修正過的描述人口增長的微分方程被修正的微分方程的解設t=0時人口為，則_修正的微分方程的解得到的解雖然有點復雜，要領就是從極端的地方開始考慮。,即，開始時，以指數(shù)函數(shù)式增加，接著增加率變得遲緩，然后到達恒定的值。上圖為被修正后的人口增加模型；這個模型被稱作物流模型。能很巧妙地說明工業(yè)制品普及的情況一階非齊次線性微分方程常數(shù)變易法現(xiàn)象模型解解釋常數(shù)變易法逐漸變化后變成恒定值的現(xiàn)象的說明；運動的物體受拖拽空氣產(chǎn)生粘性阻力和運動隊物體正面碰撞空氣的時候產(chǎn)生的慣性阻力粘性阻力拖拽產(chǎn)生的阻力與物體的速度成正比慣性阻力碰撞產(chǎn)生的阻力與速度的平方成正比阻力大小不可能超過重力的大小空氣阻力粘性阻力慣性阻力 速度 速度 空氣粘度 空氣的密度 物體的大小 物體的橫截面積 由物體形狀決定的常數(shù)若，物體為球形，L表示直徑，L=2r，則有： 空氣阻力小物體在黏性大的黏糊流體中緩慢移動時，黏性阻力變成主要阻力；大舞臺在黏性小的清爽液體中快速移動時，慣性阻力變成主要阻力；雨滴是什么？判斷標志雷諾數(shù)黏性阻力與慣性阻力之比，叫做雷諾數(shù)雷諾數(shù)小時，黏性阻力發(fā)揮主要作用，反之，慣性阻力發(fā)揮主要作用；大氣中，這樣，L=0.1mm為黏性阻力與慣性阻力發(fā)揮主要作用的分界點。半徑雨滴1000m（=1mm）云凝結(jié)核10m（=0.01mm）BB彈介于雨滴與云凝結(jié)核分界點的物質(zhì)模型：物體在空氣中下落的運動方程。（筆直向下）云凝結(jié)核的情況（只考慮黏性阻力）運動微分方程（云凝結(jié)核）終端速度云的速度1.2cm/s雨滴速度6.6m/s二階線性微分方程不只是搖擺運動振動現(xiàn)象振動模型1振動模型2 簡諧運動振動模型3 有阻力的情況小結(jié)特征